טרינוליום של הטופס X ^ 2 + BX + C (עם דוגמאות) - מתמטיקה - 2025

לפני שלומדים לפתור את הטרינום של הטופס x ^ 2 + bx + c , ואפילו לפני שמכירים את המושג טרינומי, חשוב לדעת שני מושגים חיוניים; כלומר המושגים מונומיום ופולינום. מונומיום הוא ביטוי מהסוג a * x ⁿ , כאשר a הוא מספר רציונלי, n הוא מספר טבעי ו- x הוא משתנה.

פולינום הוא שילוב ליניארי של מונומיאלים מהצורה _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , כאשר כל אחד a _i , עם i = 0, …, n, הוא מספר רציונלי, n הוא מספר טבעי ו- a_n הוא לא נועד. במקרה זה אומרים כי מידת הפולינום היא n.

פולינום שנוצר על ידי סכום של שני מונחים בלבד (שני מונומיומים) בדרגות שונות מכונה בינומיאל.

טרינוליות

פולינום שנוצר בסכום של שלוש מונחים בלבד (שלושה מונומיאלים) בדרגות שונות מכונה טרינום. להלן דוגמאות לטרינומיומים:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

ישנם כמה סוגים של טרינוליות. מבין אלה, הטרינום הריבועי המושלם בולט.

טרינום מרובע מושלם

טרינום מרובע מושלם הוא תוצאה של ריבוע דו-מיני. לדוגמה:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² -2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z ) ²

מאפייני טרינוליות כיתה ב '

מרובע מושלם

באופן כללי, טרינוליום של הצורה גרזן ² + bx + c הוא ריבוע מושלם אם המבחין שלו שווה לאפס; כלומר, אם b ² -4ac = 0, שכן במקרה זה יהיה לו שורש בודד והוא יכול לבוא לידי ביטוי בצורה a (xd) ² = (√a (xd)) ² , כאשר d הוא השורש שכבר הוזכר.

שורש של פולינום הוא מספר בו הפולינום הופך לאפס; במילים אחרות, מספר שכאשר מחליף את x בביטוי הפולינומי, מביא לאפס.

פתרון הנוסחה

נוסחה כללית לחישוב שורשי פולינום מדרגה שנייה של הצורה גרזן ² + bx + c היא הנוסחה הרזולוצית, הקובעת כי שורשים אלה ניתנים על ידי (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, כאשר b ² -4ac ידוע כמפלה ולרוב מצוין על ידי ∆. מנוסחה זו יוצא כי לגרזן ² + bx + c יש:

- שני שורשים אמיתיים שונים אם ∆> 0.

- שורש אמיתי יחיד אם ∆ = 0.

- אין לו שורש אמיתי אם ∆ <0.

במה שלאחר מכן , ייחשבו רק טרינוליומים מהצורה x ² + bx + c, כאשר ברור ש- c חייב להיות מספר שאינו אפס (אחרת זה יהיה בינומי). לסוגים אלה של טרינוליות יש יתרונות מסוימים בעת ביצוע פעולות איתם.

פרשנות גיאומטרית

מבחינה גיאומטרית, את trinomial x ² + BX + C הוא פרבולה אשר פותח כלפי מעלה ויש לו את קודקוד בנקודה (-b / 2, -b ² /4 + C) של מטוס קרטזית כי x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -b ² /4 + ג.

פרבולה זו חותכת את ציר ה- Y בנקודה (0, c) וציר X בנקודות (d ₁ , 0) ו- (d ₂ , 0); ואז d ₁ ו- d ₂ הם שורשי הטרינום. יכול לקרות שלטרינום יש שורש יחיד, ובמקרה זה החיתוך היחיד עם ציר ה- X יהיה (d, 0).

זה יכול לקרות שגם לטרינום אין שום שורש אמיתי, ובמקרה זה לא יצטלב את ציר ה- X בשום שלב.

לדוגמה, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² הוא הפרבולה עם קודקוד ב -3,0), המצטלב את ציר Y ב (0, 9) ולציר ה- X ב -3,0).

פקטורינג טרינומי

כלי שימושי מאוד בעבודה עם פולינומים הוא פקטורינג, אשר מורכב מביטוי של פולינום כתוצר של גורמים. באופן כללי, בהינתן טרינוליום מהצורה x ² + bx + c, אם יש לו שני שורשים שונים d ₁ ו- d ₂ , ניתן לחשב אותו כ- (xd ₁ ) (xd ₂ ).

אם יש לו שורש בודד d, ניתן לחשב אותו כ- (xd) (xd) = (xd) ² , ואם אין לו שורש אמיתי, הוא נשאר זהה; במקרה זה היא לא מודה בפקטוריזציה כתוצר של גורמים שאינם מעצמה.

משמעות הדבר היא כי הכרת שורשי טרינום בצורה שהוקמה כבר, ניתן לבטא בקלות את הפקטורציה שלו, וכפי שכבר הוזכר לעיל, תמיד ניתן לקבוע שורשים אלה באמצעות הרזולוציה.

עם זאת, קיימת כמות משמעותית מסוג טרינוומיום מסוג זה שניתן לבצע בחינה מבלי לדעת תחילה מה שורשיהם, מה שמפשט את העבודה.

ניתן לקבוע את השורשים ישירות מהגורם ללא שימוש בנוסחת הרזולוציה; אלה הפולינומים של הצורה x ² + (a + b) x + ab. במקרה זה יש לנו:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

מכאן ניתן לראות כי השורשים הם –a ו- –b.

במילים אחרות, ניתן trinomial x ² + bx + c, אם יש שני מספרים u ו- v כך ש c = uv ו- b = u + v, אז x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

כלומר, בהינתן trinomial x ² + bx + c, זה מאומת תחילה אם יש שני מספרים כאלה שכפלים הם נותנים את המונח העצמאי (c) והוסיפו (או חיסרו, תלוי במקרה), הם נותנים את המונח שמלווה את ה- x ( ב).

לא על כל הטרינוליומים בדרך זו ניתן ליישם שיטה זו; בו לא ניתן להשתמש בהרזולוציה והאמור חל.

דוגמאות

דוגמא 1

כדי לגבש את הטרינום הבא x ² + 3x + 2, המשך באופן הבא:

עליכם למצוא שני מספרים כך שכאשר מוסיפים אותם התוצאה היא 3 וכי כאשר מכפילים אותם התוצאה היא 2.

לאחר ביצוע בדיקה ניתן להסיק כי המספרים שחיפשת הם: 2 ו- 1. לכן, x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

דוגמא 2

כדי לבחון את הטרינום x ² -5x + 6, אנו מחפשים שני מספרים שהסכום שלהם הוא -5 והתוצר שלהם הוא 6. המספרים העונים על שני התנאים הללו הם -3 ו -2. לפיכך, הפקטורציה של הטרינום הנתון היא x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

הפניות

1. Fuentes, A. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחשבון. Lulu.com.
2. גארו, מ '(2014). מתמטיקה: משוואות ריבועיות: כיצד פותרים משוואה ריבועית. מארילו גרו.
3. הייסלר, אי.פי, ופול, רס (2003). מתמטיקה לניהול וכלכלה. פירסון חינוך.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., and Estrada, R. (2005). מתמטיקה 1 SEP. מפתן.
5. Preciado, CT (2005). קורס מתמטיקה שלישי. פרוגרסו עריכה.
6. רוק, נ.מ. (2006). אלגברה אני קלה! כל כך קל. צוות רוק עיתונות.
7. Sullivan, J. (2006). אלגברה וטריגונומטריה. פירסון חינוך.