קיימת מטריצה אורתוגונאלית כאשר המטריצה האמורה מוכפלת בתוצאות הטרנספורמציה שלה במטריקס הזהות. אם ההיפך של מטריצה שווה לטרנספר אז המטריצה המקורית היא אורתוגונאלית.
מטריצות אורתוגונליות בעלות המאפיין שמספר השורות שווה למספר העמודות. יתר על כן, וקטורי השורה הם וקטורים אורתוגונאליים יחידה, וקטורי השורה להמחשתם הם גם הם.
איור 1. דוגמה למטריצה אורתוגונלית וכיצד היא הופכת אובייקטים גיאומטריים. (הוכן על ידי ריקרדו פרז)
כאשר מטריצה אורתוגונלית מוכפלת באמצעות הווקטורים של מרחב וקטורי, היא מייצרת טרנספורמציה איזומטרית, כלומר טרנספורמציה שאינה משנה את המרחקים ושומרת על הזוויות.
נציג טיפוסי של מטריצות אורתוגונליות הם מטריצות סיבוב. טרנספורמציות של מטריצות אורתוגונליות במרחב וקטורי נקראות טרנספורמציות אורתוגונליות.
התמורות הגיאומטריות של סיבוב ושיקוף של נקודות המיוצגות על ידי הווקטורים הקרטזיים שלהם מתבצעות על ידי החלת מטריצות אורתוגונליות על הווקטורים המקוריים בכדי להשיג את הקואורדינטות של הווקטורים הטרנספורמטיים. מסיבה זו מטריצות אורתוגונליות נמצאות בשימוש נרחב בעיבוד גרפיקה ממוחשבת.
נכסים
מטריצה M הוא מאונך אם מוכפל לשרבב שלה M T נותן וכתוצאה מכך מטריצת היחידה שאני . באופן דומה, תוצר ההעברה של מטריצה אורתוגונאלית על ידי המטריצה המקורית מביא למטריצת הזהות:
MM T = M T M = I
כתוצאה מההצהרה הקודמת, יש לנו כי טרנספר של מטריצה אורתוגונלית שווה למטריצה ההפוכה שלה:
M T = M -1 .
קבוצת המטריצות האורתוגונליות של הממד nxn מהווה את הקבוצה האורטוגונלית O (n). ותת המשנה של O (n) של מטריצות אורטוגונליות עם קובע +1 מהווה את קבוצת המטבולים המיוחדים לאיחודיים SU (n). מטריצות הקבוצה SU (n) הינן מטריצות המייצרות טרנספורמציות לינאריות של סיבוב, המכונות גם קבוצת הסיבובים.
הפגנה
אנו רוצים להראות שמטריצה היא אורתוגונאלית אם ורק אם, וקטורי השורה (או וקטורי העמודות) הם אורטוגונלים זה לזה ושל נורמה 1.
נניח שהשורות של מטריצה אורתוגונלית nxn הן n וקטורים אורטונמליים של המימד n. אם זה מסומן על ידי נ ' 1 , v 2 ., …, V n אלי וקטורי n מחזיק:
שם ניכר שאכן קבוצת וקטורי השורה היא קבוצה של וקטורים אורטוגונליים עם נורמה אחת.
דוגמאות
דוגמא 1
הראו כי המטריצה 2 x 2 שבשורה הראשונה שלה יש את הווקטור v1 = (-1 0) ובשורה השנייה שלו הווקטור v2 = (0 1) היא מטריצה אורתוגונאלית.
הפיתרון: המטריצה M בנויה וחישוב ה- M T שלה מחושב :
בדוגמה זו המטריצה M מועברת בעצמה, כלומר המטריצה והטרנספר שלה זהים. הכפל M בכפוף ל- M T :
מאומת כי MM T שווה למטריצת הזהות:
כאשר המטריצה M מוכפלת על ידי הקואורדינטות של וקטור או נקודה, מתקבלים קואורדינטות חדשות המתאימות לשינוי שהמטריצה מבצעת על הווקטור או הנקודה.
איור 1 מראה כיצד M הופך את הווקטור u ל- u ' וגם כיצד M הופך את המצולע הכחול למצולע האדום. מכיוון ש- M הוא אורתוגונאלי, אז מדובר במהפך אורתוגונאלי, השומר על המרחקים והזוויות.
דוגמא 2
נניח שיש לך מטריצה של 2 x 2 שהוגדרה במימוש שניתנה על ידי הביטוי הבא:
מצא את הערכים האמיתיים של a, b, c ו- d כך שהמטריצה M היא מטריצה אורתוגונאלית.
הפיתרון: בהגדרה, מטריצה היא אורתוגונלית אם מכפילה אותה במעבר שלה מתקבלת מטריצת הזהות. כזכור שהמטריצה שהועברה מתקבלת מהשורות המקוריות ומחליפות עמודות, מתקבלת השוויון הבא:
אנו מבצעים כפל מטריצות שיש לנו:
בהשוואת יסודות המטריצה השמאלית לאלמנטים של מטריצת הזהות מימין, אנו משיגים מערכת של ארבע משוואות עם ארבעה אלמונים a, b, c ו- d.
אנו מציעים עבור a, b, c ו- d את הביטויים הבאים במונחים של יחסים טריגונומטריים סינוס וקוסינוס:
עם הצעה זו ובשל הזהות הטריגונומטרית הבסיסית, המשוואות הראשונה והשלישית מסתפקות אוטומטית בשוויון יסודות המטריצה. המשוואות השלישית והרביעית זהות ובשוויון מטריצות לאחר החלפת הערכים המוצעים נראה כך:
מה שמוביל לפיתרון הבא:
לבסוף מתקבלים הפתרונות הבאים למטריצה האורתוגונאלית M:
שימו לב כי לראשון הפתרונות יש קובע +1 ולכן הוא שייך לקבוצה SU (2) ואילו לפיתרון השני יש קובע -1 ולכן אינו שייך לקבוצה זו.
דוגמא 3
בהינתן המטריצה הבאה, מצא את הערכים של a ושל b כך שיהיה לנו מטריצה אורתוגונאלית.
הפיתרון: כדי שמטריצה נתונה תהיה אורטוגונלית, המוצר עם טרנספרו חייב להיות מטריצת הזהות. לאחר מכן, מתבצע מוצר המטריצה של המטריצה הנתונה עם המטריצה המועברת שלה, מה שמביא לתוצאה הבאה:
בשלב הבא, התוצאה משווה למטריצת זהות 3 x 3:
בשורה השנייה, העמודה השלישית כוללת (ab = 0), אך לא יכולה להיות אפס, כי אחרת לא תתגשם השוויון של האלמנטים בשורה השנייה והעמודה השנייה. אז בהכרח b = 0. החלפת b עבור הערך 0 שיש לנו:
ואז נפתרת המשוואה: 2a ^ 2 = 1, שהפתרונות שלה הם: + ½√2 ו- -½√2.
אם לוקחים את הפיתרון החיובי עבור, מתקבלת המטריצה האורתוגונאלית הבאה:
הקורא יכול לאמת בקלות כי וקטורי השורות (וגם וקטורי העמודות) הם אורטוגונליים ויחידים, כלומר אורתונמליים.
דוגמא 4
הראו שהמטריצה A שקטורי השורה שלה הם v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) ו- v3 = (0 0 -1) היא מטריצה אורתוגונאלית. בנוסף מצא את הווקטורים הופכים מהבסיס הקנוני i, j, k לקטורים u1 , u2 ו- u3 .
הפיתרון: יש לזכור כי היסוד (i, j) של מטריצה כפול הטרנספוזיה שלו, הוא התוצר הסקלרי של הווקטור של השורה (i) על ידי זה של העמודה (j) של התמליל. יתר על כן, מוצר זה שווה לדלתא של קרונקר במקרה שהמטריצה אורתוגונלית:
במקרה שלנו זה נראה כך:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
איתו מוצג שמדובר במטריקס אורתוגונאלי.
יתר על כן u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) ולבסוף u3 = A k = (0, 0, -1)
הפניות
- אנתוני ניקוליידס (1994) Determinants & Matrices. פרסום עובר.
- בירקהוף ומקלנה. (1980). אלגברה מודרנית, עורכת. Vicens-Vives, מדריד.
- Casteleiro Villalba M. (2004) מבוא לאלגברה לינארית. ESIC מערכת.
- דייב קירקבי (2004) מתמטיקה Connect. היינמן.
- ג'ני אוליב (1998) מתמטיקה: מדריך הישרדות של סטודנטים. הוצאת אוניברסיטת קיימברידג '.
- ריצ'רד ג'יי בראון (2012) מתמטיקה בת 30 שניות: 50 התיאוריות המרחיבות את המוח במתמטיקה. Ivy Press Limited.
- ויקיפדיה. מטריצה אורתוגונאלית. התאושש מ: es.wikipedia.com
- ויקיפדיה. מטריצה אורתוגונאלית. התאושש מ: en.wikipedia.com