חישוב הקירובים באמצעות ההפרש - מתמטיקה - 2025

קירוב במתמטיקה הוא מספר שאינו הערך המדויק של משהו, אך הוא כל כך קרוב אליו שהוא נחשב שימושי כמו אותו ערך מדויק.

כאשר נעשים קירובים במתמטיקה, זה מכיוון שבאופן ידני קשה (או לפעמים בלתי אפשרי) לדעת את הערך המדויק של מה שאתה רוצה.

הכלי העיקרי בעבודה עם קירובים הוא ההפרש של פונקציה.

ההפרש של פונקציה f, המצוינת על ידי Δf (x), אינו אלא הנגזרת של הפונקציה f כפול השינוי במשתנה הבלתי תלוי, כלומר Δf (x) = f '(x) * Δx.

לפעמים משתמשים ב- df ו- dx במקום Δf ו- Δx.

קירובים באמצעות הדיפרנציאל

הנוסחה המיושמת לביצוע קירוב באמצעות ההפרש נובעת בדיוק מהגדרת הנגזרת של פונקציה כמגבלה.

נוסחה זו ניתנת על ידי:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

כאן מובן כי Δx = x-x0, ולכן x = x0 + Δx. בעזרת זה ניתן לכתוב מחדש את הנוסחה כ-

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

יש לציין כי "x0" אינו ערך שרירותי, אלא ערך כזה ש- f (x0) ידוע בקלות; יתר על כן, "f (x)" הוא רק הערך שאנו רוצים לקרב.

האם יש קירובים טובים יותר?

התשובה היא כן. האמור לעיל הוא הפשוט ביותר מבין הקירובים המכונים "קירוב ליניארי".

לקירובים באיכות טובה יותר (השגיאה שנעשתה פחותה) משתמשים בפולינום עם נגזרות יותר המכונות "פולינום של טיילור", כמו גם שיטות מספריות אחרות כמו שיטת ניוטון-רפסון, בין היתר.

אִסטרָטֶגִיָה

האסטרטגיה להלן היא:

- בחר בפונקציה מתאימה f לביצוע הקירוב והערך «x» כך ש f (x) הוא הערך שיש לקרבו.

- בחר ערך "x0", קרוב ל- "x", כך שקל לחשב f (x0).

- חישוב Δx = x-x0.

- חשב את הנגזרת של הפונקציה y f '(x0).

- החלף את הנתונים בנוסחה.

נפתרו תרגילי קירוב

במה שממשיך יש סדרת תרגילים שבהם נעשים קירובים באמצעות הדיפרנציאל.

תרגיל ראשון

בערך √3.

פִּתָרוֹן

בעקבות האסטרטגיה יש לבחור בפונקציה מתאימה. במקרה זה ניתן לראות כי הפונקציה לבחירה חייבת להיות f (x) = √x והערך שיש לקרבו הוא f (3) = √3.

עכשיו עלינו לבחור ערך "x0" קרוב ל "3" כך שקל לחשב f (x0). אם "x0 = 2" נבחר, "x0" קרוב ל- "3" אך f (x0) = f (2) = √2 לא קל לחשב.

הערך המתאים של "x0" הוא "4", מכיוון ש" 4 "קרוב ל" 3 "וגם f (x0) = f (4) = √4 = 2.

אם "x = 3" ו- "x0 = 4", אז Δx = 3-4 = -1. כעת אנו ממשיכים לחשב את הנגזרת של f. כלומר, f '(x) = 1/2 * √x, כך f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

החלפת כל הערכים בנוסחה שאתה מקבל:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

אם אתה משתמש במחשבון תקבל √3≈1.73205 … זה מראה שהתוצאה הקודמת היא קירוב טוב לערך האמיתי.

תרגיל שני

בערך 10.

פִּתָרוֹן

כמו קודם, f (x) = √xy נבחר כפונקציה, במקרה זה x = 10.

הערך של x0 לבחירת הפעם הוא "x0 = 9". אז יש לנו כי Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ו- f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

כאשר מעריכים בפורמולה מתקבל זאת

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…

בעזרת מחשבון מתקבל √10 ≈ 3.1622776… כאן ניתן לראות גם כי התקבלה לפני כן קירוב טוב.

תרגיל שלישי

משוער ³√10, כאשר ³√ מציין את שורש הקוביה.

פִּתָרוֹן

ברור שהפונקציה המשמשת בתרגיל זה היא f (x) = ³√x והערך של "x" חייב להיות "10".

ערך קרוב ל- "10" כך ששורש הקוביה שלו ידוע הוא "x0 = 8". ואז יש לנו את ה- Δx = 10-8 = 2 ו- f (x0) = f (8) = 2. יש לנו גם את ה- f '(x) = 1/3 * ³√x², וכתוצאה מכך f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

החלפת הנתונים בפורמולה מתקבלת כי:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

המחשבון אומר ש- ³√10 ≈ 2.15443469 … לכן הקירוב שנמצא טוב.

תרגיל רביעי

Ln משוער (1.3), כאשר "ln" מציין את פונקציית הלוגריתם הטבעי.

פִּתָרוֹן

ראשית אנו בוחרים כפונקציה f (x) = ln (x) והערך של "x" הוא 1.3. כעת, כשנדע מעט על פונקציית הלוגריתם, אנו יכולים לדעת ש- ln (1) = 0, ויתרה מכך "1" קרוב ל" 1.3 ". לכן "x0 = 1" נבחר ובכך Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

מצד שני f '(x) = 1 / x, כך f' (1) = 1. בבחינת הנוסחה הנתונה יש לנו:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

בעזרת מחשבון יש לנו את ה- ln (1.3) ≈ 0.262364 … אז הקירוב שנעשה הוא טוב.

הפניות

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). מתמטיקה פרקלקולוס. פרנטיס הול PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). מתמטיקה של Precalculus: גישה לפיתרון בעיות (2, Illustrated ed.). מישיגן: פרנטיס הול.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). אלגברה וטריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.
4. Larson, R. (2010). פרקלקולוס (8 עורכים). לימוד Cengage.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). גיאומטריה אנליטית. מרידה - ונצואלה: עריכה ונצולנה קליפורניה
6. פרז, CD (2006). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.
7. פרסל, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). חשבון (מהדורה תשיעית). אולם פרנטיס.
8. Saenz, J. (2005). חישוב דיפרנציאלי עם פונקציות טרנסצנדנטיות מוקדמות למדע והנדסה (מהדורה שנייה מהדורה). אֲלַכסוֹן.
9. סקוט, קליפורניה (2009). גיאומטריה של המטוס הקרטזיאני, חלק: חרקים אנליטיים (1907) (הדפסה מחודשת). מקור הברק.
10. סאליבן, מ '(1997). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.