מצומד בינומיאל: כיצד לפתור זאת, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

הבינומית המצומד של הבינומית אחרת היא זו שבה הם נבדלים זה מזה רק על ידי סימן של המבצע. הבינומיום, כשמו כן הוא, הוא מבנה אלגברי המורכב משני מונחים.

כמה דוגמאות לבינומיומים הם: (a + b), (3m - n) ו- (5x - y). ובינומיאלים מצומדים בהתאמה הם: (a - b), (-3m - n) ו- (5x + y). כפי שניתן לראות מייד, ההבדל הוא בסימן.

איור 1. בינומיום והבינומיום המצורף שלו. יש להם אותם תנאים, אך הם שונים זה מזה. מקור: פ. זפטה.

בינומית מוכפלת בצירוף שלה מביאה למוצר מדהים הנמצא בשימוש נרחב באלגברה ומדע. תוצאת הכפל היא חיסור ריבועי המונחים של הבינומיום המקורי.

לדוגמה, (x - y) הוא דו-מיניאלי והצמד שלו הוא (x + y). אז המוצר של שני הבינומים הוא ההבדל בין ריבועי המונחים:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

איך פותרים דו-מיניום מצומד?

הכלל המוצהר של בינומיומים מצומדים הוא הבא:

כדוגמה ליישום, נתחיל בהדגמת התוצאה הקודמת, שניתן לעשות באמצעות התכונה החלוקה של המוצר ביחס לסכום האלגברי.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

הכפל לעיל התקבל על ידי ביצוע השלבים הבאים:

- המונח הראשון של הבינומיום הראשון כפול המונח הראשון של השני

- ואז הראשון של הראשון, עבור השני של השני

- ואז השני של הראשון על ידי הראשון של השני

- סוף סוף השני של הראשון על ידי השני של השני.

כעת בואו נעשה שינוי קטן בעזרת המאפיין הקומוטטיבי: yx = xy. זה נראה כמו זה:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

מכיוון שיש שני מונחים שווים אך עם סימן הפוך (מודגשים בצבע ומודגשים בקו תחתון), הם מבוטלים וזה מפשט:

(x - y) (x + y) = xx - yy

לבסוף מוחלים כי הכפלת מספר בפני עצמה שווה להעלאתו לריבוע, כך xx = x ² וגם yy = y ² .

באופן זה מוכח מה שצוין בסעיף הקודם, כי תוצר של סכום והשוני הוא ההבדל בין הכיכרות:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

איור 2. סכום כפול ההבדל שלו הוא הפרש בריבועים. מקור: פ. זפטה.

דוגמאות

- בינומיומים מצומדים של ביטויים שונים

דוגמא 1

מצא את הצירוף של (y ² - 3y).

תשובה : (y ² + 3y)

דוגמא 2

השג את התוצר של (y ² - 3y) והצמיד שלו.

תשובה: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

דוגמא 3

פיתוח המוצר (1 + 2a). (2a -1).

תשובה: הביטוי הקודם שווה ל- (2a + 1). (2a -1), כלומר הוא תואם לתוצר של בינומיום והמצומד שלו.

ידוע כי תוצר של בינומיה על ידי הבינוומי המצורף שלו שווה להבדל בין הריבועים של מונחי הבינומיום:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

דוגמא 4

כתוב את המוצר (x + y + z) (x - y - z) כהבדל בריבועים.

תשובה: אנו יכולים להטמיע את הטרינוליומים הנ"ל לצורה הבינומית המצומדת, ולהשתמש בזהירות בסוגריים ובסוגריים מרובעים:

(x + y + z) (x - y - z) =

בדרך זו ניתן ליישם את ההבדל בין המשבצות:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

דוגמא 5

לבטא את המוצר (m ² - m -1). (M ² + m -1) כהבדל בריבועים.

תשובה : הביטוי הקודם הוא תוצר של שני טרינוליומים. תחילה יש לכתוב אותו כתוצר של שני בינומיומים מצומדים:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

אנו מיישמים את העובדה שתוצר בינומיה על ידי צמידו הוא ההבדל הריבועי של תנאיו, כפי שהוסבר:

. = (m ² -1) ² - m ²

תרגילים

כמו תמיד, אתה מתחיל בתרגילים הפשוטים ביותר ואז מגדיל את רמת המורכבות.

- תרגיל 1

כתוב (9 - עד ² ) כמוצר.

פִּתָרוֹן

ראשית, אנו כותבים את הביטוי כהבדל בריבועים, על מנת ליישם את מה שהוסבר בעבר. לכן:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

בשלב הבא אנו מקווים, שקול לכתיבת הפרש ריבועים זה כמוצר, כפי שהתבקש בהצהרה:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- תרגיל 2

גורם 16x ² - 9y ⁴ .

פִּתָרוֹן

פירוש ביטוי פירושו לכתוב אותו כמוצר. במקרה זה, יש צורך לשכתב בעבר את הביטוי, כדי להשיג הפרש ריבועים.

לא קשה לעשות זאת, מכיוון שבמבט טוב, כל הגורמים הם ריבועים מושלמים. לדוגמא 16 היא הריבוע של 4, 9 היא הריבוע של 3, ו ^-4 היא הריבוע של y ² ו- x ² הוא הריבוע של x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

ואז אנו מיישמים את מה שכבר ידענו קודם לכן: שהבדל בין ריבועים הוא תוצר של בינומים מצומדים:

(4x) ² - (3 ו ^-2 ) ² = (4x - 3 ו ² ). (4x + 3 ו ^-2 )

- תרגיל 3

כתוב (א - ב) כתוצר של בינומים

פִּתָרוֹן

יש לכתוב את ההפרש לעיל כהבדלי ריבועים

(√a) ² - (√b) ²

ואז מיושם שההבדל בין הריבועים הוא תוצר הבינומים המצורפים

(√a - √b) (√a + √b)

- תרגיל 4

אחד השימושים בבינומי המצומד הוא רציונליזציה של ביטויים אלגבריים. הליך זה מורכב מחיסול שורשיו של המכנה לביטוי שברירי, אשר במקרים רבים מקל על הפעולות. הוא מתבקש להשתמש בבינומי המצומד כדי לתרץ את הביטוי הבא:

√ (2-x) /

פִּתָרוֹן

הדבר הראשון הוא לזהות את הבינומיום המצומד של המכנה:.

כעת אנו מכפילים את המספר והמכנה של הביטוי המקורי בבינומי המצומד:

√ (2-x) / {.}

במכנה של הביטוי הקודם אנו מכירים את התוצר של הפרש בסכום, שכבר ידוע לנו שהוא תואם את ההבדל בין ריבועי הבינומיה:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

פישוט המכנה הוא:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

כעת אנו עוסקים במונה, עבורו נחיל את המאפיין החלוקי של המוצר ביחס לסכום:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

בביטוי הקודם אנו מכירים את התוצר של הבינומיום (2-x) על ידי הצמיד שלו, שהוא המוצר הבולט שווה להבדל המשבצות. בדרך זו מתקבל סוף סוף ביטוי רציונלי ומפשט:

/ (1 - x)

- תרגיל 5

פיתוח המוצר הבא, תוך שימוש בתכונות הבינומיום המצומד:

.

פִּתָרוֹן

4a ^{(2x + 6y)} - 9 א ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) גמיעת ^(6y) - 9 א ^(2x) גמיעת ^(-6y) = גמיעת ^(2x)

הקורא הקשוב יבחין בגורם המשותף שהודגש בצבע.

הפניות

1. Baldor, A. 1991. אלגברה. עריכה תרבותית Venezolana SA
2. González J. תרגילי בינומי מצומדים. התאושש מ: academia.edu.
3. מורה למתמטיקה אלכס. מוצרים מדהימים. התאושש מ- youtube.com.
4. Math2me. בינומיומים מצומדים / מוצרים בולטים. התאושש מ- youtube.com.
5. מוצרים בינומיים מצומדים. התאושש מ: lms.colbachenlinea.mx.
6. ויטואל. בינומיומים מצומדים. התאושש מ-: youtube.com.