טרפז ישראלי: תכונות, יחסים ונוסחאות, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

שווה שוקי טרפז הוא מרובע שבו שני הצדדים הם מקבילים זה לזה ובנוסף, שני זוויות צמודות לאחד הצדדים המקבילים האלה יש את אותה המידה.

באיור 1 יש לנו ABCD הרביעי, בו הצדדים AD ו- BC הם מקבילים. בנוסף לזוויות ∠DAB ו- ∠ADC הצמודים לצד המקביל לספירה יש מידה זהה α.

איור 1. איור 1. טרפז ישראלי. מקור: פ. זפטה.

אז מצולע רביעי, או מצולע ארבע צדדי, הוא למעשה טרפז עם שדיים.

בטרפז, הצדדים המקבילים נקראים הבסיסים והצדדים הלא מקבילים נקראים הצדדים. מאפיין חשוב נוסף הוא הגובה, שהוא המרחק המפריד בין הצדדים המקבילים.

מלבד הטרפז עם איזבוליים ישנם סוגים אחרים של טרפז:

-סולפן rapezoid, שיש לו את כל הזוויות שלו ואת הצדדים השונים.

-ראפוזואיד מלבני, בו צד אחד יש זוויות סמוכות.

הצורה הטרפזית נפוצה בתחומי עיצוב שונים, אדריכלות, אלקטרוניקה, חישוב ועוד רבים, כפי שנראה בהמשך. מכאן החשיבות של היכרות עם תכונותיו.

נכסים

בלעדי לטרפז השביל

אם טרפז הוא שדיים, יש לו את המאפיינים האופייניים הבאים:

1.- לצדדים אותה מדידה.

2.- הזוויות הסמוכות לבסיסים שוות.

3.- הזוויות ההפוכות משלימות.

4.- לאלכסונים יש אורך זהה, שני הקטעים המצטרפים לקודקודים הנגדיים זהים.

5.- הזווית הנוצרת בין הבסיסים והאלכסונים כולם באותה מידה.

6.- יש לו היקף מוקף.

לעומת זאת, אם טרפז עומד באף אחד מהתכונות שלעיל, זהו טרפז עם שדיים.

אם בטרפז עם שדיים אחד הזוויות צודק (90 מעלות), אז גם כל הזוויות האחרות יהיו ישרות ויוצרים מלבן. כלומר, מלבן הוא מקרה מסוים של טרפז עם איזוס.

איור 2. איור 2. מיכל הפופקורן ושולחנות בית הספר מעוצבים כטרפז. מקור: Pxfuel (משמאל) / מקדואל קרייג דרך פליקר. (ימין)

לכל הטרפז

מערך המאפיינים הבא תקף לכל טרפז:

7.- חציון הטרפז, כלומר הקטע המצטרף לנקודות האמצע של הצדדים הלא מקבילים שלו, מקביל לכל אחד מהבסיסים.

8.- אורך החציון שווה לחצי הגודל (הסכום המחולק ב -2) של בסיסו.

9.- החציון של טרפז חותך את האלכסונים בנקודת האמצע.

10.- האלכסונים של טרפז מצטלבים בנקודה המחלקת אותם לשני חלקים פרופורציונליים למרכיבי הבסיס.

11.- סכום הריבועים של האלכסונים של טרפז שווה לסכום המשבצות של דפנותיו בתוספת התוצר הכפול של בסיסיו.

12.- לחתך המצטרף לנקודות האמצע של האלכסונים יש אורך שווה להבדל למחצה של הבסיסים.

13.- הזוויות הסמוכות לצדדים משלימות.

14.- לטרפז יש היקף חרוט אם ורק אם סכום בסיסיו שווה לסכום הצדדים.

15.- אם לטרפז יש היקף חתום, אז הזוויות עם קודקוד במרכז ההיקף האמור והצדדים העוברים בקצוות של אותו צד הם זוויות ישרות.

מערכות יחסים ונוסחאות

מערך היחסים והנוסחאות שלהלן מופנה לתרשים 3, כאשר בנוסף לטרפז השביל, מוצגים קטעים חשובים אחרים שכבר הוזכרו, כמו אלכסונים, גובה וחציון.

איור 3. איור 3. חציון, אלכסונים, גובה והיקף עוקף בטרפז עם שדיים. מקור: פ. זפטה.

מערכות יחסים ייחודיות של הטרפז השביל

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA ו- ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º ו- ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C ו- D שייכים למעגל המתואר.

מערכות יחסים לכל טרפז

1. אם AK = KB ו- DL = LC ⇒ KL - AD ו- KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 ו- DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC ו- DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º ו- ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- אם AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R מאשר שווה ממספר AD, BC, AB ו- DC

15.- אם ∃ R שווה בין AD, BC, AB ו- DC, אז:

∡BRA = ∡DRC = 90 מעלות

יחסים לטרפז עם איזבול עם היקף חתום

אם בטרפז שווה-ערך, סכום הבסיסים שווה לפעמיים לרוחב, אזי היקף החתום קיים.

איור 4. טרפז בהיקף חתום. מקור: פ. זפטה.

המאפיינים הבאים חלים כאשר הטרפז עם איזבול עם היקף חתום (ראה איור 4 לעיל):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- האלכסונים מצטלבים בזוויות ישרות: AC ⊥ BD

18.- הגובה מודד זהה לחציון: HF = KL, כלומר h = m.

19.- ריבוע הגובה שווה לתוצר הבסיסים: h ² = BC⋅AD

20.- בתנאים ספציפיים אלה, שטח הטרפז שווה לריבוע הגובה או לתוצר הבסיסים: שטח = h ² = BC⋅AD.

נוסחאות לקביעת צד אחד, הכרת האחרים וזווית

בהכרת בסיס, לרוחב וזווית, ניתן לקבוע את הבסיס האחר על ידי:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

אם אורך הבסיסים והזווית ניתנים כנתונים ידועים, האורך של שני הצדדים הוא:

c = (a - b) / (2 Cos α)

קביעת צד אחד, הכרת הצד האחר ואלכסון

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / א

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

כאשר d ₁ הוא אורך האלכסונים.

בסיס מגובה, שטח ובסיס אחר

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

בסיסים לרוחב ידועים, שטח וזווית

c = (2A) /

חציון רוחבי ידוע, אזור וזווית

c = A / (m sin α)

ידוע בגובה הצדדים

h = √

גובה ידוע זווית ושני צדדים

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

אלכסונים ידועים בכל הצדדים, או בשני הצדדים ובזווית

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

היקף משולש השבילים

P = a + b + 2c

איזור טרפז

ישנן מספר נוסחאות לחישוב השטח, תלוי בנתונים הידועים. להלן הידוע ביותר, תלוי בבסיסים ובגובה:

A = h⋅ (a + b) / 2

ואתה יכול גם להשתמש באחרים אלה:

אם ידועים הצדדים

A = √

כשיש לך שני צדדים וזווית

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

אם ידוע רדיוס המעגל החתום וזווית

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

כאשר ידועים הבסיסים והזווית

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

אם ניתן לחרוט את הטרפז היקף

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-הכיר את האלכסונים והזווית שהם יוצרים זה עם זה

A = (ד ₁ ² /2) γ = סן (ד ₁ ² /2) δ סן

כשיש לך לרוחב, לחציון ולזווית

A = mc.sen α = mc.sen β

רדיוס המעגל המתואר

רק הטרפזואידים השניים הם בעלי היקף מוגדר. אם הבסיס הגדול יותר a, הצדדי c והאלכסוני d1 _ידועים , אז הרדיוס R של המעגל שעובר בארבע הקודקודים של הטרפז הוא:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

איפה p = (a + c + d ₁ ) / 2

דוגמאות לשימוש בטרפז השביל

הטרפז עם איזבוליים מופיע בתחום העיצוב, כפי שניתן לראות באיור 2. והנה כמה דוגמאות נוספות:

באדריכלות ובנייה

האינקה הקדומה הכירה את הטרפז השביל והשתמשו בו כאל יסוד בניין בחלון זה בקוזקו, פרו:

איור 5. חלון טרפז בקוריקנצ'ה, קוזקו. מקור: Wikimedia Commons.

וכאן הטרפז מופיע שוב בגיליון הטרפז שנקרא, חומר המשמש לעתים קרובות בבנייה:

איור 6. גיליון מתכת טרפזי המגן באופן זמני על חלונות הבניין. מקור: Wikimedia Commons.

בעיצוב

כבר ראינו כי הטרפז השואב מופיע בחפצים יומיומיים, כולל מאכלים כמו חטיף שוקולד זה:

איור 7. חטיף שוקולד שפניו מעוצבות כטרפז עם איזוס. מקור: Pxfuel.

תרגילים שנפתרו

- תרגיל 1

לטרפזואידי איזוגלוסיס בסיס גדול מ- 9 ס"מ, בסיס פחות מ- 3 ס"מ, והאלכסונים שלו 8 ס"מ כל אחד. לחשב:

א) צד

ג) גובה

ג) היקף

ד) שטח

איור 8. תרשים לתרגיל 1. מקור: F. Zapata

פתרון ל

גובה CP = h מתוכם, כאשר רגל הגובה מגדירה את הקטעים:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

שימוש במשפט פיתגורס למשולש הימני DPC:

ג ² = h ² + (א - ב) ² /4

וגם למשולש APC המשולש:

ד ² = h ² + AP ² = h ² + (א b +) ² /4

לבסוף, גורם אחר חבר מופחת, המשוואה השנייה מהראשונה ופשוטה:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6.08 ס"מ

פיתרון ב

h ² = D ² - (א b +) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5.29 ס"מ

פיתרון ג

היקף = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 ס"מ

פיתרון ד

שטח = h (a + b) / 2 = 5.29 (12) / 2 = 31.74 ס"מ

- תרגיל 2

יש טרפז שווה-שרירים שבסיסו הגדול פי שניים מהקטן יותר ובסיסו הקטן יותר שווה לגובה שהוא 6 ס"מ. לְהַחלִיט:

א) אורך הרוחב

ב) היקף

ג) שטח

ד) זוויות

איור 8. תרשים לתרגיל 2. מקור: F. Zapata

פתרון ל

נתונים: a = 12, b = a / 2 = 6 ו- h = b = 6

אנו ממשיכים כך: אנו מציירים את הגובה h ומיישמים את משפט הפיתגורס על משולש היפוזיטוז «c» והרגליים h ו- x:

c ² = h ² + xc ²

אז אתה צריך לחשב את ערך הגובה מהנתונים (h = b) וזה של הרגל x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

החלפת הביטויים הקודמים שיש לנו:

ג ² = b ² + (ab) ² /2 ²

כעת מוצגים הערכים המספריים וזה מפשט:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

השגת:

c = 3√5 = 6.71 ס"מ

פיתרון ב

ההיקף P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61.42 ס"מ

פיתרון ג

השטח כפונקציה של גובה ובסיסי הבסיס הוא:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 ס"מ ²

פיתרון ד

הזווית α שיוצרת הרוחב עם הבסיס הגדול יותר מתקבלת על ידי טריגונומטריה:

שזוף (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63.44º

הזווית השנייה, זו שיוצרת את הרוחב עם הבסיס הקטן יותר היא ß, המשלים ל α:

β = 180º - α = 180º - 63.44º = 116.56º

הפניות

1. EA 2003. אלמנטים של גאומטריה: עם תרגילים וגיאומטריה של המצפן. אוניברסיטת מדיין.
2. קמפוס, פ. 2014. מתמטיקה 2. גרפו עורך פטריה.
3. Freed, K. 2007. גלה מצולעים. חברת חינוך בנצ'מרק.
4. Hendrik, V. 2013. מצולעים כללית. Birkhäuser.
5. IGER. Tacaná סמסטר א 'במתמטיקה. IGER.
6. גיאומטריה ג'וניור. 2014. מצולעים. Lulu Press, Inc.
7. מילר, האדרמס והורנסבי. 2006. מתמטיקה: נימוקים ויישומים. 10. מַהֲדוּרָה. פירסון חינוך.
8. Patiño, M. 2006. מתמטיקה 5. פרוגרסו עריכה.
9. ויקיפדיה. טרַפֵּז. התאושש מ: es.wikipedia.com