טרנספורמציה LAPLACE: הגדרה, היסטוריה ולמה היא מיועדת - מתמטיקה - 2025

התמרת לפלס כבר בשנים האחרונות חשיבות רבה במחקרים הנדסה, מתמטיקה, פיזיקה, בין תחומים מדעיים אחרים, כמו גם היותו של עניין רב בתיאוריה, מספק דרך פשוטה לפתור בעיות שמגיעים מדע והנדסה.

במקור הוצג טרנספורמציית Laplace על ידי פייר-סימון Laplace במחקרו על תורת ההסתברות, ונקבע בתחילה כאל אובייקט מתמטי בעל עניין תיאורטי גרידא.

יישומים עכשוויים מתעוררים כאשר מתמטיקאים שונים ניסו לתת הצדקה פורמלית ל"כללים המבצעיים "בהם השתמש Heaviside בחקר המשוואות של התיאוריה האלקטרומגנטית.

הַגדָרָה

לאפשר f להיות פונקציה המוגדרת עבור t ≥ 0. טרנספורמציית Laplace מוגדרת כך:

אומרים כי טרנספורמציית Laplace קיימת אם האינטגרל הקודם מתכנס, אחרת נאמר כי טרנספורמציית Laplace אינה קיימת.

באופן כללי, אותיות קטנות משמשות לציון הפונקציה שיש לשנות, ואותיות גדולות תואמות את התמרה שלה. בדרך זו יהיה לנו:

דוגמאות

קחו למשל את הפונקציה הקבועה f (t) = 1. יש לנו שינוי זה:

בכל פעם שהאינטגרל מתכנס, זה בכל פעם ש> 0. אחרת, s <0, האינטגרל מתפצל.

תן g (t) = t. טרנספורמציה Laplace ניתנת על ידי

על ידי שילוב על ידי חלקים וידע כי ה- te ^-st נוטה ל- 0 כאשר הוא נוטה לאינסוף ו- s> 0, יחד עם הדוגמה הקודמת שיש לנו:

הטרנספורמציה עשויה להתקיים או לא עשויה להתקיים, למשל עבור הפונקציה f (t) = 1 / t האינטגרל שמגדיר את טרנספורמציית הלפלייס שלו לא מתכנס ולכן התמורה שלו לא קיימת.

תנאים מספיקים כדי להבטיח שהטרנספורמציה של Laplace לפונקציה f קיימת הם ש- f הוא רציף באופן חלקי עבור t ≥ 0 ונמצא בסדר מעריכי.

אומרים שפונקציה היא רציפה באופן חלקי עבור t ≥ 0, כאשר לכל מרווח עם a> 0, יש מספר סופי של נקודות _tk, כאשר ל- f יש הפסקות והיא רציפה בכל interval.

מצד שני, אומרים שפונקציה היא בסדר מעריכי c אם ישנם קבועים אמיתיים M> 0, c ו- T> 0 כך:

כדוגמאות יש לנו ש- f (t) = t ² הוא בסדר אקספוננציאלי, שכן -t ² - <e ^3t עבור כל t> 0.

באופן רשמי יש לנו את המשפט הבא

משפט (תנאי קיום מספקים)

אם f היא פונקציה רציפה חלקית עבור t> 0 ושל סדר מעריכי c, טרנספורמציית Laplace קיימת עבור s> c.

חשוב להדגיש שמדובר בתנאי מספק, כלומר יכול להיות המקרה שיש פונקציה שאינה עומדת בתנאים אלה וגם אז טרנספורמציית Laplace שלה קיימת.

דוגמה לכך היא הפונקציה f (t) = t ^-1/2 שאינה רציפה באופן ^חלקי עבור t ≥ 0 אך טרנספורמציית ה- Laplace שלה קיימת.

שינוי Laplace של כמה פונקציות בסיסיות

הטבלה הבאה מציגה את התמורות Laplace של הפונקציות הנפוצות ביותר.

הִיסטוֹרִיָה

טרנספורמציית לפלס חייבת את שמה לפייר-סימון לפלאס, מתמטיקאי צרפתי ואסטרונום תיאורטי, שנולד בשנת 1749 ונפטר בשנת 1827. תהילתו הייתה כזו שכונה "ניוטון של צרפת".

בשנת 1744 לאונרד אוילר הקדיש את לימודיו לאינטגרלים עם הטופס

כפתרונות של משוואות דיפרנציאליות רגילות, אך הוא זנח במהירות את החקירה הזו. בהמשך, ג'וזף לואי לגראנז ', שהעריץ מאוד את אוילר, חקר גם אינטגרלים מסוגים אלו וקשר אותם לתורת ההסתברות.

1782, לפלס

בשנת 1782 לפלס החל ללמוד אינטגרלים כמו פתרונות למשוואות דיפרנציאליות ולדברי ההיסטוריונים, בשנת 1785 הוא החליט לנסח מחדש את הבעיה, שהביאה מאוחר יותר למהפכות לפלס כפי שהן מובנות כיום.

לאחר שהוכנס לתחום תורת ההסתברות, זה היה עניין מועט עבור המדענים באותה תקופה ונראה רק כאובייקט מתמטי בעל עניין תיאורטי בלבד.

אוליבר Heaviside

זה היה באמצע המאה התשע-עשרה, כאשר המהנדס האנגלי אוליבר הייוויסייד גילה שניתן להתייחס למפעילי דיפרנציאל כאל משתנים אלגבריים, ובכך נותן ללפלס להפוך את היישום המודרני שלהם.

אוליבר Heaviside היה פיזיקאי, מהנדס חשמל ומתמטיקאי אנגלי, יליד לונדון בשנת 1850 ונפטר בשנת 1925. בעודו מנסה לפתור בעיות משוואות דיפרנציאליות החלות על תורת הרטט והשתמש במחקריו של לפלס, החל לעצב את יישומים מודרניים של טרנספורמציות Laplace.

התוצאות שהציג Heaviside התפשטו במהירות ברחבי הקהילה המדעית של אותה תקופה, אך מכיוון שעבודתו לא הייתה קפדנית, הוא זכה לביקורת מהירה על ידי המתמטיקאים המסורתיים יותר.

עם זאת, התועלת בעבודתו של Heaviside בפתרון משוואות בפיזיקה הפכה את שיטותיו לפופולריות בקרב פיסיקאים ומהנדסים.

למרות הכישלונות הללו ואחרי כמה עשורים של ניסיונות כושלים, בתחילת המאה העשרים ניתן היה לתת הצדקה קפדנית לכללים המבצעיים שניתנו על ידי Heaviside.

ניסיונות אלה נשאו פרי בזכות מאמצי מתמטיקאים שונים כמו ברומיץ ', קרסון, ואן דר פול.

נכסים

בין המאפיינים של טרנספורמציית Laplace בולטים הבאים:

לינאריות

בואו ל- c1 ו- c2 להיות קבועים ופונקציות f (t) ו- g (t) שהטרנספורמציות Laplace שלה הן F (ים) ו- G (ים) בהתאמה, אז יש לנו:

בשל נכס זה אומרים כי טרנספורס Laplace הוא מפעיל לינארי.

דוגמא

משפט תרגום ראשון

אם זה קורה:

ו- 'a' הוא כל מספר אמיתי, כך:

דוגמא

מכיוון שהטרנספורמציה של Laplace של cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) אז:

משפט תרגום שני

כן

כך

דוגמא

אם f (t) = t ^ 3, אז F (ים) = 6 / s ^ 4. ולכן הטרנספורמציה של

הוא G (ים) = 6e ^-2s / s ^ 4

שינוי בקנה מידה

כן

ו 'א' הוא ממש לא נדרש, עלינו לעשות זאת

דוגמא

מכיוון שהטרנספורמציה של f (t) = sin (t) היא F (ים) = 1 / (s ^ 2 + 1) יש לנו את זה

טרנספורמציית הנגזרים של Laplace

אם f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ הם רציפים עבור t ≥ 0 והם בסדר מעריכי ו- f ⁽ⁿ⁾ (t) הוא רציף באופן חלקי עבור t ≥ 0, אז

טרנספורמציה Laplace של אינטגרלים

כן

כך

כפל על ידי t

אם עלינו לעשות זאת

כך

חלוקה לפי t

אם עלינו לעשות זאת

כך

פונקציות תקופתיות

לאפשר f להיות פונקציה תקופתית עם תקופה T> 0, כלומר f (t + T) = f (t), אם כן

התנהגות F (ים) כמו s נוטה לאינסוף

אם f הוא רציף בחלקים ובסדר מעריכי ו

כך

הופכים הפוכים

כאשר אנו מיישמים את טרנספורמציית Laplace לפונקציה f (t) אנו משיגים F (ים) המייצג טרנספורמציה זו. באותה דרך אנו יכולים לומר ש f (t) הוא טרנספורמציית Laplace ההפוכה של F (ים) ונכתב כ

אנו יודעים שהטרנספורמציות של Laplace של f (t) = 1 ו- g (t) = t הם F (s) = 1 / s ו- G (s) = 1 / s ² בהתאמה, לכן יש לנו את זה

כמה טרנספורמציות הפוכות נפוצות של Laplace הן כדלקמן

יתר על כן, טרנספורמציית Laplace ההפוכה היא ליניארית, כלומר נכון

תרגיל

למצוא

כדי לפתור תרגיל זה עלינו להתאים את הפונקציות F (ים) לאחת מהטבלה הקודמת. במקרה זה אם ניקח + 1 = 5 ומשתמשים במאפיין הליניאריות של השינוי ההפוך, אנו נכפיל ונחלק ב -4! מקבל

עבור השינוי ההפוך השני אנו מיישמים שברים חלקיים כדי לשכתב את הפונקציה F (ים) ואז את המאפיין של ליניאריות, ולקבל

כפי שניתן לראות מדוגמאות אלה, מקובל שהפונקציות F (ים) המוערכות אינן תואמות במדויק אף אחת מהפונקציות שניתנות בטבלה. למקרים אלה, כפי שניתן לראות, די לשכתב את הפונקציה עד שהיא תגיע לצורה המתאימה.

יישומים של טרנספורמציה Laplace

משוואות דיפרנציאליות

היישום העיקרי של טרנספורמציות Laplace הוא לפתור משוואות דיפרנציאליות.

בעזרת המאפיין של טרנספורמציה של נגזרת ברור ש

Y של נגזרות ה- n-1 הוערך ב- t = 0.

מאפיין זה הופך את התמורה ליעילה מאוד לפתרון בעיות בערך ההתחלתי בהן מעורבות משוואות דיפרנציאליות עם מקדמים קבועים.

הדוגמאות הבאות מראות כיצד להשתמש בטרנספורמציה Laplace כדי לפתור משוואות דיפרנציאליות.

דוגמא 1

בהתחשב בבעיית הערך ההתחלתי הבאה

השתמש בטרנספורמציה Laplace כדי למצוא את הפיתרון.

אנו מיישמים את טרנספורמציית Laplace על כל אחד מחברי המשוואה הדיפרנציאלית

לפי התכונה של טרנספורמציה של נגזרת שיש לנו

על ידי פיתוח כל הביטוי וניקוי Y (ים) שיש לנו

באמצעות שברים חלקיים כדי לשכתב את הצד הימני של המשוואה שאנו מקבלים

לבסוף, המטרה שלנו היא למצוא פונקציה y (t) המספקת את המשוואה הדיפרנציאלית. השימוש בשינוי Laplace ההפוך נותן לנו את התוצאה

דוגמא 2

לִפְתוֹר

כמו במקרה הקודם, אנו מיישמים את הטרנספורמציה משני צידי המשוואה ומונחים נפרדים אחר מונח.

בדרך זו יש לנו כתוצאה

החלפה עם הערכים הראשוניים הנתונים ופתרון עבור Y (ים)

באמצעות שברים פשוטים אנו יכולים לשכתב את המשוואה כדלקמן

ויישום טרנספורמציית Laplace ההפוכה נותן לנו את התוצאה

בדוגמאות אלה, ניתן להסיק שלא בצדק כי שיטה זו אינה טובה בהרבה משיטות מסורתיות לפתרון משוואות דיפרנציאליות.

היתרונות של טרנספורמציה Laplace הם בכך שאתה לא צריך להשתמש בוואריאציה של פרמטרים או לדאוג למקרים השונים של שיטת המקדם הבלתי מוגדרת.

בנוסף, כאשר אנו פותרים בעיות ערך ראשוניות בשיטה זו, כבר מההתחלה אנו משתמשים בתנאים ההתחלתיים, כך שאין צורך לבצע חישובים אחרים כדי למצוא את הפיתרון המסוים.

מערכות של משוואות דיפרנציאליות

ניתן להשתמש בטרנספורמציה Laplace למציאת פתרונות למשוואות דיפרנציאליות רגילות בו זמנית, כפי שהדוגמה הבאה מראה.

דוגמא

לִפְתוֹר

עם התנאים הראשוניים x (0) = 8 ו- y (0) = 3.

אם עלינו לעשות זאת

כך

הפיתרון נותן לנו כתוצאה מכך

ולהחיל את טרנספורמציית Laplace ההפוכה שיש לנו

מכניקה ומעגלי חשמל

לשינוי Laplace יש חשיבות רבה בפיזיקה, יש לו בעיקר יישומים למכניקה ומעגלי חשמל.

מעגל חשמלי פשוט מורכב מהאלמנטים הבאים

מתג, סוללה או מקור, משרן, נגדי וקבל. כאשר הסגר מתג נוצר זרם חשמלי שמסומן על ידי i (t). המטען על הקבל מסומן על ידי q (t).

על פי החוק השני של קירכהוף, המתח המיוצר על ידי מקור E במעגל הסגור צריך להיות שווה לסכום של כל אחת מנפילות המתח.

הזרם החשמלי i (t) קשור לטעינה q (t) בקבל על ידי i = dq / dt. מצד שני, ירידת המתח בכל אחד מהיסודות מוגדרת כך:

ירידת המתח על פני הנגד היא iR = R (dq / dt)

ירידת המתח על משרן היא L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

ירידת המתח על פני קבל הוא q / C

בעזרת נתונים אלה והחלת החוק השני של קירכהוף על המעגל הסגור הפשוט מתקבלת משוואה דיפרנציאלית מסדר שני המתארת ​​את המערכת ומאפשרת לנו לקבוע את הערך של q (t).

דוגמא

משרן, קבל וקונטר מחוברים לסוללה E, כפי שמוצג באיור. המשרן הוא 2 תרנגולות, הקבל הוא 0.02 פארדים וההתנגדות היא 16 אוהם. בזמן t = 0 המעגל סגור. מצא את המטען והזרם בכל עת t> 0 אם E = 300 וולט.

יש לנו שהמשוואה הדיפרנציאלית המתארת ​​מעגל זה היא הבאה

כאשר התנאים הראשוניים הם q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

החלת טרנספורמציית Laplace נקבל את זה

ופתרון עבור Q (t)

ואז, להחיל את טרנספורמציית Laplace ההפוכה שיש לנו

הפניות

1. G. Holbrook, J. (1987). טרנספורמציה Laplace למהנדסי אלקטרוניקה. לימוזה.
2. Ruiz, LM, & Hernandez, MP (2006). משוואות דיפרנציאליות ושינוי Laplace עם יישומים. UPV עריכה.
3. סימונס, GF (1993). משוואות דיפרנציאליות עם יישומים ותווים היסטוריים. מקגרו-היל.
4. שפיגל, מר (1991). Laplace הופך. מקגרו-היל.
5. Zill, DG ו- Cullen, MR (2008). משוואות דיפרנציאליות עם בעיות בערך הגבול. Cengage Learning Editores, SA