המשפטים הראשונים והשניים של תאלס ממילטוס מבוססים על קביעת משולשים מאותם דומים (משפט ראשון) או ממעגלים (משפט שני). הם שימשו מאוד בתחומים שונים. לדוגמה, המשפט הראשון שימש מאוד למדידת מבנים גדולים כאשר לא היו מכשירי מדידה מתוחכמים.
תאלס ממילטוס היה מתמטיקאי יווני שסיפק תרומות רבות לגאומטריה, ששתי המשפטות הללו בולטות (בחלק מהטקסטים הוא נכתב גם בשם תאלס) ויישומיהם השימושיים. תוצאות אלה שימשו לאורך ההיסטוריה ואיפשרו לפתור מגוון רחב של בעיות גיאומטריות.
תאלס מילטוס
המשפט הראשון של תאלס
המשפט הראשון של תאלס הוא כלי שימושי מאוד המאפשר, בין היתר, בניית משולש הדומה למשנהו, שהיה ידוע בעבר. מכאן נגזרות גרסאות שונות למשפט הניתנות ליישום בהקשרים מרובים.
לפני שנתן את הצהרתך, הבה נזכור כמה מושגים של דמיון למשולשים. בעיקרו של דבר, שני משולשים דומים אם זוויותיהם חופפות (יש להם אותה מידה). התוצאה היא העובדה שאם שני משולשים דומים, הצדדים התואמים (או ההומולוגיים) שלהם פרופורציונליים.
המשפט הראשון של תאלס קובע כי אם קו נמשך במקביל לאחד הצדדים שלו במשולש נתון, המשולש החדש שהתקבל יהיה דומה למשולש הראשוני.
מתקבל קשר גם בין הזוויות הנוצרות, כפי שמוצג באיור הבא.
יישום
מבין היישומים הרבים שלה, בולטת עניין מיוחד והיא קשורה לאחת הדרכים בהן בוצעו מדידות של מבנים גדולים בעת העתיקה, תקופה בה חי תאלס ובו לא היו אמצעי מדידה מודרניים הם קיימים עכשיו.
נאמר שכך הצליח תאלס למדוד את הפירמידה הגבוהה ביותר במצרים, Cheops. לצורך כך הניח תאלס כי השתקפויות קרני השמש נגעו בקרקע ויצרו קווים מקבילים. תחת הנחה זו הוא מסמר מקל או קנה אנכית באדמה.
לאחר מכן הוא השתמש בדמיון של שני המשולשים שהתקבלו, האחד נוצר באורך הצל של הפירמידה (שניתן לחשב בקלות) ואת גובה הפירמידה (הלא נודע), והשני נוצר באורכי הצל. וגובה המוט (שאפשר גם לחשב אותו בקלות).
בעזרת המידתיות בין אורכים אלה ניתן לפתור את גובה הפירמידה ולדעת אותה.
למרות ששיטת מדידה זו יכולה לתת שגיאה בקירוב משמעותית ביחס לדיוק הגובה ותלויה בהקבלה של קרני השמש (שבתורה תלויה בזמן מדויק), יש להכיר בכך שזה רעיון גאוני מאוד ושהיא סיפקה חלופת מדידה טובה לזמן ההוא.
דוגמאות
מצא את הערך של x בכל מקרה ומקרה:
המשפט השני של תאלס
המשפט השני של תאלס קובע משולש ימני הכתוב במעגל בכל נקודה זהה.
משולש שנקבע להיקף הוא משולש שקודקודיו נמצאים על ההיקף, וכך נשארים כלולים בו.
באופן ספציפי, המשפט השני של תאלס קובע את הדברים הבאים: בהינתן היקף של מרכז O וקוטר AC, כל נקודה B של ההיקף (למעט A ו- C) קובעת משולש ABC נכון, עם זווית ישרה
בדרך של הצדקה, נציין כי גם OA וגם OB ו- OC תואמים את רדיוס המעגל; לכן המדידות שלהם זהות. מכאן נובע כי המשולשים OAB ו- OCB הם שדונים, היכן
ידוע כי סכום זוויות המשולש שווה ל 180 מעלות. בעזרת זה עם משולש ABC יש לנו:
2b + 2a = 180º.
באופן שווה, יש לנו b + a = 90º ו- b + a =
שימו לב שהמשולש הימני שמספק המשפט השני של תאלס הוא בדיוק זה שהתנועתית שלו שווה לקוטר ההיקף. לכן זה נקבע לחלוטין על ידי חצי מעגל המכיל את נקודות המשולש; במקרה זה, חצי מעגל עליון.
בואו נציין כי במשולש הימני המתקבל באמצעות המשפט השני של תאלס, התנופה מחולקת לשני חלקים שווים על ידי OA ו- OC (הרדיוס). בתורו, מדד זה שווה לקטע OB (גם הרדיוס), התואם לחציון של המשולש ABC על ידי B.
במילים אחרות, אורך החציון של המשולש הימני ABC המתאים לקודקוד B נקבע לחלוטין על ידי מחצית ההיפוטוזה. נזכיר כי החציון של משולש הוא הקטע מאחד הקודקודים לנקודת האמצע של הצד הנגדי; במקרה זה, קטע BO.
תחום מוקף
דרך נוספת להתבונן במשפט השני של תאלס היא דרך היקפים שמתוחמים למשולש ימין.
ככלל, היקף המופלט למצולע מורכב מהיקף העובר דרך כל קודקודיו, בכל פעם שניתן לצייר אותו.
בעזרת המשפט השני של תאלס, בהינתן משולש ימין, אנו תמיד יכולים לבנות היקפים המופנים אליו, עם רדיוס השווה למחצית ההיפוטוזה ומרכז מרכזי (מרכז ההיקף) שווה לנקודת האמצע של היפנוזה.
יישום
יישום חשוב מאוד של המשפט השני של תאלס, ואולי גם הנפוץ ביותר הוא למצוא את קווי המשיק למעגל נתון, דרך נקודה P החיצונית אליו (ידועה).
שימו לב כי בהינתן מעגל (מצויר בכחול באיור שלמטה) ונקודה חיצונית P, ישנם שני קווים המשיקים למעגל העוברים דרך פ. יהפכו T ו- T 'לנקודות המוח, r רדיוס המעגל, או המרכז.
ידוע כי הקטע העובר ממרכז המעגל לנקודת המנגנון זהה, הוא בניצב לקו המשיק הזה. אז זווית ה- OTP נכונה.
ממה שראינו קודם במשפט הראשון של תאלס ובגרסאותיו השונות, אנו רואים שאפשר לחרוט את משולש ה- OTP במעגל אחר (באדום).
באופן דומה מתקבל שניתן לחרוט את המשולש OT'P באותו היקף קודם.
במשפט השני של תאלס נקבל גם כי הקוטר של ההיקף החדש הזה הוא בדיוק התנוחה המשולשת של המשולש OTP (שהוא שווה לנקודת המפתח של המשולש OT'P), והמרכז הוא נקודת האמצע של היפנוזה זו.
כדי לחשב את מרכז ההיקף החדש, מספיק לחשב את נקודת האמצע בין המרכז - נניח M - של ההיקף ההתחלתי (שאנו כבר מכירים) לנקודה P (אותה אנו מכירים גם). אז הרדיוס יהיה המרחק בין נקודה זו M לפ.
בעזרת הרדיוס ומרכז המעגל האדום אנו יכולים למצוא את המשוואה הקרטזית שלו, שזכור לנו שניתנה על ידי (xh) 2 + (yk) 2 = c 2 , כאשר c הוא הרדיוס והנקודה (h, k) היא מרכז ההיקף.
בידיעתנו כעת את המשוואות של שני המעגלים, נוכל להצטלב אותם על ידי פתרון מערכת המשוואות שנוצרה על ידיהם, ובכך להשיג את הנקודות של Tangency T ו- T '. לבסוף, בכדי לדעת את קווי המשיק הרצויים, מספיק למצוא את המשוואה של הקווים העוברים דרך T ו- P, ובאמצעות T 'ו- P.
דוגמא
קחו למשל היקף בקוטר AC, מרכז O ורדיוס 1 ס"מ. תן ל- B להיות נקודה על ההיקף כך ש- AB = AC. כמה גובה א.ב.
פִּתָרוֹן
לפי המשפט השני של תאלס, יש לנו שהמשולש ABC צודק וההתנוחה התחתונה תואמת את הקוטר, שבמקרה זה הוא 2 ס"מ (הרדיוס הוא 1 ס"מ). ואז, לפי משפט פיתגורס:
הפניות
- אנה לירה, PJ (2006). גיאומטריה וטריגונומטריה. זאפופן, חליסקו: Umiciones Umbral.
- Goodman, A., and Hirsch, L. (1996). אלגברה וטריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.
- גוטיירז, Á. ל. (2004). מתודולוגיה ויישומים של מתמטיקה במשרד החינוך של ESO.
- IGER. (2014). מתמטיקה סמסטר ב '. גואטמלה: IGER.
- חוסה ג'ימנס, LJ (2006). מתמטיקה 2. זאפופן, חליסקו: Umbral Ediciones.
- מ ', ש' (1997). טריגונומטריה וגיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.
- פרז, תואר שני (2009). היסטוריה של מתמטיקה: אתגרים וכיבושים באמצעות דמויותיה. מזל מאזניים עריכה.
- Viloria, N., & Leal, J. (2005). גיאומטריה אנליטית. עריכה ונצולנה קליפורניה