משפט אוקליד: הוכחה, יישום ותרגילים - מתמטיקה - 2025

משפט אוקלידס מציג את המאפיינים של משולש אלי למתוח קו מחלק אותו לשני משולשים חדשים שדומים ו, בתורו, דומים המשולשים המקורי; אז יש קשר של מידתיות.

אוקליד היה מגדולי המתמטיקאים והגיאומטריסטים של העת העתיקה שביצעו מספר הוכחות למשפטים חשובים. אחד העיקריים שבהם הוא זה הנושא את שמו, אשר זכה ליישום רחב.

זה היה המקרה מכיוון שבאמצעות משפט זה הוא מסביר בצורה פשוטה את מערכות היחסים הגיאומטריות הקיימות במשולש הימני, שם רגלי המשולש קשורות לתחזיות שלהם על היפרנוזה.

נוסחאות והדגמה

המשפט של אוקליד מציע שבכל משולש ימני, כאשר נמתח קו - המייצג את הגובה המתאים לקודקוד הזווית הימנית ביחס להיפוטוזה - נוצרים שני משולשים ימניים מהמקור.

משולשים אלה יהיו דומים זה לזה ויהיו דומים למשולש המקורי, מה שאומר שהצדדים הדומים שלהם פרופורציונליים זה לזה:

זוויות שלושת המשולשים חופפות; כלומר כאשר הם מסתובבים 180 מעלות סביב קודקודם, זווית אחת עולה בקנה אחד עם השנייה. זה מרמז שכולם יהיו זהים.

באופן זה ניתן לאמת את הדמיון הקיים בין שלושת המשולשים על ידי שוויון זוויותיהם. מהדמיון של משולשים, אוקליד קובע את הפרופורציות של אלה משתי משפטים:

משפט גובה.

משפט הרגליים.

למשפט זה יש יישום רחב. בימי קדם זה שימש לחישוב גבהים או מרחקים, מה שמייצג התקדמות גדולה לטריגונומטריה.

הוא מיושם כיום בתחומים שונים המבוססים על מתמטיקה, כמו הנדסה, פיזיקה, כימיה ואסטרונומיה, בתחומים רבים אחרים.

משפט גובה

במשפט זה נקבע כי בכל משולש ימני, הגובה הנמשך מהזווית הימנית ביחס לזרם היפופי הוא הממוצע הפרופורציונלי הגיאומטרי (ריבוע הגובה) בין השלכות הרגליים שהוא קובע על היפוזה.

כלומר, ריבוע הגובה יהיה שווה להכפלת הרגליים המוקרנות היוצרות את היפוזה:

h _c ² = m _* n

הפגנה

בהינתן משולש ABC, שנמצא ממש בקודקוד C, עלילת הגובה מייצרת שני משולשים ימניים דומים, ADC ו- BCD; לכן הצדדים התואמים שלהם הם פרופורציונליים:

באופן כזה כי גובה h _ג שמתאים CD פלח, התואם את אלכסון AB = C, ובכך יש לנו:

זה בתורו:

לפתור את הצנרת (h _c ), להכפיל את שני חברי השוויון, יש לנו:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

לפיכך, הערך של ההיפוטוזה ניתן על ידי:

משפט רגליים

במשפט זה נקבע כי, בכל משולש ימין, המידה של כל רגל תהיה הממוצע הפרופורציונלי הגיאומטרי (הריבוע של כל רגל) בין מידת היפוזה (שלמה) לבין ההשלכה של כל אחת עליה:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

הפגנה

בהינתן משולש ABC, שנמצא ממש בקודקוד C, בצורה כזו שההתנוחה התחתונה שלו היא c, כאשר מתארים את הגובה (h) נקבעים תחזיות הרגליים a ו- b, שהם הקטעים m ו- n בהתאמה, ואשר שוכבים על ההיפותוזה.

לפיכך, הגובה המצויר במשולש הימני ABC מייצר שני משולשים ימניים דומים, ADC ו- BCD, כך שהצדדים המתאימים הם פרופורציונליים, כמו זה:

DB = n, שהוא השלכה של רגל CB על היפרנוזה.

AD = m, שהוא השלכה של הרגל AC על היפרנוזה.

לאחר מכן נקודת ההזרקה c נקבעת על ידי סכום רגלי התחזיות שלה:

c = m + n

בגלל הדמיון בין המשולשים ADC ו- BCD, יש לנו:

האמור לעיל זהה ל:

לפתור לרגל "א" בכדי להכפיל את שני חברי השוויון, יש לנו:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

לפיכך, הערך של הרגל "a" ניתן על ידי:

באותו אופן, בגלל הדמיון בין המשולשים ACB ו- ADC, יש לנו:

האמור לעיל שווה ל:

לפתור לרגל "ב" להכפיל את שני חברי השוויון, יש לנו:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

לפיכך, הערך של רגל "b" ניתן על ידי:

קשר בין משפטי אוקליד

המשפטים המתייחסים לגובה ולרגליים קשורים זה בזה מכיוון שהמידה של שניהם נעשית ביחס להיפוטוזה של המשולש הימני.

דרך הקשר בין משפטי אוקליד ניתן למצוא גם את הגובה; זה אפשרי על ידי פתרון הערכים של m ו- n ממשפט הרגליים והם מוחלפים במשפט הגובה. בדרך זו מתקיים כי הגובה שווה לכפל הרגליים, מחולק על ידי היפוזה:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

במשפט הגובה אנו מחליפים את m ו- n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

תרגילים שנפתרו

דוגמא 1

בהינתן המשולש ABC, ממש ב A, קבע את המידה של AC ו- AD, אם AB = 30 ס"מ ו- BD = 18 ס"מ

פִּתָרוֹן

במקרה זה יש לנו את המידות של אחת מהרגליים המוקרנות (BD) ושל אחת מרגלי המשולש המקורי (AB). בדרך זו ניתן ליישם את משפט הרגליים כדי למצוא את הערך של הרגל לפני הספירה.

AB ² = BD _* לפני הספירה

(30) ² = 18 _* לפני הספירה

900 = 18 _* לפני הספירה

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 ס"מ

ניתן למצוא את הערך של תקליטור רגל בידיעה ש- BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 ס"מ

כעת ניתן לקבוע את הערך של רגל AC, להחיל שוב את משפט הרגל:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 ס"מ

כדי לקבוע את ערך הגובה (AD), משפט הגובה מיושם, מכיוון שערכי הרגליים המוקרנות CD ו- BD ידועים:

לספירה ² = 32 _* 18

לספירה ² = 576

AD = √576

AD = 24 ס"מ

דוגמא 2

קבע את הערך של הגובה (h) של משולש MNL, ממש ב- N, בידיעה את מדדי הקטעים:

NL = 10 ס"מ

MN = 5 ס"מ

PM = 2 ס"מ

פִּתָרוֹן

יש לנו את המידה של אחת הרגליים המוקרנת על תת-האזור (PM), כמו גם את המידות של רגלי המשולש המקורי. בדרך זו ניתן ליישם את משפט הרגליים כדי למצוא את הערך של הרגל השנייה המוקרנת (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

מכיוון שכבר ידוע ערך הרגליים וההיפוטוס, באמצעות הקשר של משפטי הגובה והרגליים, ניתן לקבוע את ערך הגובה:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 ס"מ.

הפניות

1. בראון, א '(2011). כאוס, פרקטלים ודברים מוזרים. קרן התרבות הכלכלית.
2. קבררה, VM (1974). מתמטיקה מודרנית, כרך ג '.
3. דניאל הרננדז, עקורים (2014). מתמטיקה שנה ג '. קראקס: סנטילנה.
4. אנציקלופדיה בריטניקה, i. (אלף תשע מאות תשעים וחמש). אנציקלופדיה היספנית: מקרופדיה. הוצאת אנציקלופדיה בריטניקה.
5. אוקליד, RP (1886). מרכיבי הגיאומטריה של אוקליד.
6. Guardeño, AJ (2000). מורשת המתמטיקה: מאוקליד לניוטון, הגאונים דרך ספריהם. אוניברסיטת סביליה.