משפט צ'בישוב: מה זה, יישומים ודוגמאות - מתמטיקה - 2025

משפט צ'ביצ'ב (צ'ביצ'ב או אי שוויון) הוא אחת התוצאות הקלאסית החשוב ביותר של תורת ההסתברות. זה מאפשר להעריך את ההסתברות לאירוע המתואר במונחים של משתנה X אקראי, על ידי מתן גבול שאינו תלוי בהתפלגות המשתנה האקראי אלא בשונות של X.

המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישוב (שנכתב גם בשם צ'בצ'וב או צ'צ'ביף) שלמרות שלא היה הראשון שהצהיר את המשפט, היה הראשון שהעניק הוכחה בשנת 1867.

אי השוויון הזה, או כאלו שבשל תכונותיהם נקראים אי השוויון של צ'בישוב, משמש בעיקר לקירוב הסתברויות על ידי חישוב גבהים.

ממה זה מורכב?

במחקר תורת ההסתברות, מתרחש שאם ידועה פונקצית החלוקה של משתנה X אקראי, ניתן לחשב את הערך הצפוי שלו - או את הציפייה המתמטית E (X) - ואת השונות שלו Var (X), כל עוד סכומים כאלה קיימים. עם זאת, השיחה אינה בהכרח נכונה.

כלומר, בידיעת E (X) ו- Var (X) לא בהכרח ניתן להשיג את פונקציית החלוקה של X, ולכן כמויות כמו P (-X-> k) עבור חלק k> 0 קשה מאוד להשיג. אך בזכות אי השוויון של צ'בישוב אפשר להעריך את ההסתברות של המשתנה האקראי.

המשפט של צ'בישוב אומר לנו שאם יש לנו משתנה X אקראי על שטח מדגם S עם פונקציית הסתברות p, ואם k> 0, אז:

יישומים ודוגמאות

בין היישומים הרבים למשפט צ'בישוב, ניתן להזכיר את הדברים הבאים:

הגבלת הסתברויות

זהו היישום הנפוץ ביותר ומשמש לנתינת גבול עליון עבור P (-XE (X) -≥k) כאשר k> 0, רק עם השונות והציפייה של המשתנה האקראי X, מבלי לדעת את פונקציית ההסתברות .

דוגמא 1

נניח שמספר המוצרים שיוצרו בחברה במהלך שבוע הוא משתנה אקראי עם ממוצע של 50.

אם ידוע שהשונות של שבוע ייצור שווה ל 25, אז מה נוכל לומר על ההסתברות שהייצור השבוע יהיה שונה ביותר מעשרה מהממוצע?

פִּתָרוֹן

להחיל את אי השוויון של צ'בישוב שיש לנו:

מכאן ניתן להשיג כי ההסתברות שבשבוע הייצור מספר המאמרים עולה על הממוצע במעל ל -10 הוא לכל היותר 1/4.

הוכחת משפטים לגבול

אי השוויון של צ'בישוב ממלא תפקיד חשוב בהוכחת משפטי הגבול החשובים ביותר. כדוגמה יש לנו את הדברים הבאים:

חוק חלש של מספרים גדולים

חוק זה קובע כי בהינתן רצף X1, X2, …, Xn, … של משתנים אקראיים עצמאיים עם אותה התפלגות ממוצעת E (Xi) = μ ושונות Var (X) = σ ² , ומדגם ממוצע ידוע של:

אז עבור k> 0 יש לנו:

או באופן שווה:

הפגנה

בואו נבחין תחילה את הדברים הבאים:

מכיוון ש X1, X2, …, Xn אינם תלויים, יוצא ש:

לכן ניתן לקבוע את הדברים הבאים:

ואז, בעזרת משפט צ'בישוב, יש לנו:

לבסוף, המשפט נובע מהעובדה שהגבול מימין הוא אפס כאשר n מתקרב לאינסוף.

יש לציין כי מבחן זה נערך רק למקרה בו קיימת השונות של Xi; כלומר, זה לא משתנה. לפיכך אנו מבחינים כי המשפט נכון תמיד אם E (Xi) קיים.

משפט גבישוב מגביל

אם X1, X2, …, Xn, … הוא רצף של משתנים אקראיים בלתי תלויים כך שקיים איזה C <אינסוף, כזה ש- Var (Xn) ≤ C עבור כל הטבעי n, אז עבור כל k> 0:

הפגנה

מכיוון שרצף השונות מוגבל באופן אחיד, יש לנו את Var (Sn) ≤ C / n, עבור כל הטבעי n. אבל אנו יודעים ש:

ביצוע של נטיות לאינסוף, התוצאות הבאות:

מכיוון שההסתברות אינה יכולה לחרוג מערך 1, מתקבלת התוצאה הרצויה. כתוצאה ממשפט זה נוכל להזכיר את המקרה המסוים של ברנולי.

אם ניסוי חוזר על עצמו n פעמים באופן עצמאי עם שתי תוצאות אפשריות (כישלון והצלחה), כאשר p הוא ההסתברות להצלחה בכל ניסוי ו- X הוא המשתנה האקראי המייצג את מספר ההצלחות שהתקבלו, אז עבור כל k> 0 אתה חייב:

גודל המדגם

מבחינת השונות, אי השוויון בצ'בישוב מאפשר לנו למצוא גודל מדגם n המספיק בכדי להבטיח שההסתברות ש -Sn-μ -> = k מתרחשת היא קטנה ככל הרצוי, המאפשרת קירוב לממוצע.

באופן ספציפי, בואו ל- X1, X2,… Xn להיות מדגם של משתנים אקראיים בלתי תלויים בגודל n ונניח ש E (Xi) = μ והשונות שלו σ ² . ואז, על ידי אי השוויון של צ'בישוב יש לנו:

דוגמא

נניח ש- X1, X2, … Xn הם מדגם של משתנים אקראיים עצמאיים עם חלוקת ברנולי, כך שהם לוקחים את הערך 1 עם ההסתברות p = 0.5.

מה חייב להיות גודל המדגם בכדי להיות מסוגל להבטיח שההסתברות שההפרש בין הממוצע החשבוני Sn לערכו הצפוי (העולה על יותר מ- 0.1), פחות או שווה ל 0.01?

פִּתָרוֹן

יש לנו ש- E (X) = μ = p = 0.5 וה- Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0.25. על ידי אי השוויון של צ'בישוב, לכל K> 0 שיש לנו:

כעת, אם לוקחים k = 0.1 ו- δ = 0.01, יש לנו:

בדרך זו ניתן להסיק כי יש צורך בגודל מדגם של לפחות 2500 כדי להבטיח שההסתברות לאירוע -Sn - 0.5 -> = 0.1 היא פחות מ- 0.01.

אי-שוויון מסוג צ'בישוב

יש כמה אי שוויון שקשור לחוסר השוויון של צ'בישוב. אחד הידועים שבהם הוא אי השוויון במרקוב:

בביטוי זה X הוא משתנה אקראי לא שלילי עם k, r> 0.

אי השוויון במרקוב יכול ללבוש צורות שונות. לדוגמה, תן ל- Y להיות משתנה אקראי לא שלילי (כך P (Y> = 0) = 1) ונניח ש- E (Y) = μ קיים. נניח גם ש- (E (Y)) ^r = μ _r קיים עבור מספר שלם r> 1. כך:

אי שוויון נוסף הוא גאוסי, שמספר לנו כי בהינתן משתנה אקראי חד-מודלי X עם מצב באפס, ואז עבור k> 0,

הפניות

1. קאי לאי צ'ונג. תורת היכולת היסודית עם תהליכים סטוכסטיים. ספרינגר-ורלאג ניו יורק בע"מ
2. קנת ה. רוזן. מתמטיקה נפרדת ויישומיה. SAMCGRAW-היל / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. פול ל 'מאייר. הסתברות ויישומים סטטיסטיים. SA ALHAMBRA מקסיקנה.
4. ד"ר סימור ליפשוץ 2000 פתרו בעיות במתמטיקה בדידה. מקגרו היל.
5. ד"ר סימור ליפשוץ בעיות תיאוריה והסתברות. מקגרו היל.