בולצאנו המשפט קובע כי אם פונקציה היא רציפה בכול נקודה של בקטע סגור והוא מרוצה כי הדימוי של "A" ו- "B" (תחת הפונקציה) יש סימנים מנוגדים, אז יהיה לפחות נקודה אחת " c "במרווח הפתוח (a, b), באופן שהפונקציה המוערכת ב-" c "תהיה שווה ל 0.
משפט זה הוחלט על ידי הפילוסוף, התיאולוג והמתמטיקאי ברנרד בולצאנו בשנת 1850. מדען זה, יליד צ'כיה של ימינו, היה אחד המתמטיקאים הראשונים בהיסטוריה שהוכיחו רשמית את המאפיינים של פונקציות רצופות.
הֶסבֵּר
משפט בולזנו ידוע גם כמשפט ערכי הביניים, המסייע בקביעת ערכים ספציפיים, במיוחד אפסים, של פונקציות ריאליות מסוימות של משתנה אמיתי.
בפונקציה נתונה f (x) ממשיכה - כלומר, f (a) ו- f (b) מחוברים על ידי עקומה-, כאשר f (a) נמצא מתחת לציר ה- x (הוא שלילי), ו- f (b) על ידי מעל ציר ה- x (הוא חיובי), או להפך, באופן גרפי תהיה נקודת חתך על ציר ה- x שתייצג ערך ביניים «c», שיהיה בין «a» ו- «b», והערך של f (c) יהיה שווה ל -0.
בעת ניתוח גרפי של משפט בולזנו, ניתן לראות כי עבור כל פונקציה רציפה f המוגדרת במרווח, כאשר f (a) * f (b) פחות מ -0, יהיה לפחות שורש אחד "c" של אותה פונקציה בתוך של המרווח (א, ב).
משפט זה אינו קובע את מספר הנקודות במרווח הפתוח הזה, הוא רק קובע כי יש לפחות נקודה אחת.
הפגנה
כדי להוכיח את משפט בולזנו, ההנחה היא שאבדן הכלליות הוא ש- f (a) <0 ו- f (b)> 0; לפיכך, יכולים להיות ערכים רבים בין "a" ו- "b" שעבורם f (x) = 0, אך צריך להציג רק אחד.
נתחיל בהערכת f בנקודת האמצע (a + b) / 2. אם f ((a + b) / 2) = 0 אז ההוכחה מסתיימת כאן; אחרת, אז f ((a + b) / 2) הוא חיובי או שלילי.
אחד מחצי המרווח נבחר, כך שסימני הפונקציה המוערכים בקצוות שונים. המרווח החדש הזה יהיה.
כעת, אם f המוערך בנקודת האמצע של אינו אפס, אז אותה פעולה כמו קודמת מבוצעת; כלומר, מחצית מהמרווח הזה נבחר שממלא את תנאי הסימנים. שתהיה המרווח החדש.
אם תמשיך בתהליך זה, יהיו לך שני רצפים {an} ו- {bn}, כך:
{an} הולך וגדל ו {bn} הולך ופוחת:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
אם תחשב את האורך של כל מרווח, תצטרך:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
…
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
לפיכך, הגבול כאשר n מתקרב לאינסוף של (bn-an) שווה ל 0.
השימוש ב- {an} גדל ומוגבל ו {bn} הולך ופוחת ומוגבל, יש לנו שיש ערך «c» כך:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
גבול ה- an הוא "c" והגבול של {bn} הוא גם "c". לפיכך, בהינתן כל δ> 0, תמיד יש "n" כך שהמרווח נכלל בתוך המרווח (c-δ, c + δ).
כעת, יש להראות ש- f (c) = 0.
אם f (c)> 0, מכיוון ש- f הוא רציף, קיים ε> 0 כך ש- f חיובי לאורך כל המרווח (c - ε, c + ε). עם זאת, כאמור, יש ערך "n" כזה ש- f משתנה להיכנס, ויתרה מכך, הוא מכיל בתוכו (c - ε, c + ε), שהוא סתירה.
אם f (c) <0, אז מכיוון ש- f הוא רציף, קיים ε> 0 כך ש- f הוא שלילי לאורך כל המרווח (c - ε, c + ε); אך קיים ערך "n" כזה ש- F משנה את כניסתו. מסתבר שהוא נמצא בתוך (c - ε, c + ε), שהוא גם סתירה.
לכן, f (c) = 0 וזה מה שרצינו להוכיח.
לשם מה זה?
מהפרשנות הגרפית שלו משתמשים במשפט בולזנו למציאת שורשים או אפסים בפונקציה רציפה, דרך חיבור (קירוב), שהיא שיטת חיפוש מצטברת המחלקת תמיד את המרווחים ב -2.
ואז נלקח מרווח או מקום בו מתרחש שינוי הסימן, והתהליך חוזר על עצמו עד שהמרווח קטן יותר וקטן יותר, בכדי להיות מסוגל להתקרב לערך הרצוי; כלומר לערך שהפונקציה מייצרת 0.
לסיכום, כדי ליישם את משפט בולזנו ובכך למצוא את השורשים, להגביל את האפסים של פונקציה או לתת פיתרון למשוואה, הצעדים הבאים מבוצעים:
זה מאומת אם f היא פונקציה רציפה במרווח.
- אם לא ניתן את המרווח, יש למצוא היכן שהפונקציה רציפה.
זה מאומת אם הקצוות של המרווח נותנים סימנים הפוכים כאשר הם מוערכים ב- f.
- אם לא מתקבלים סימנים מנוגדים, יש לחלק את המרווח לשתי אינטרוולים משנה באמצעות נקודת האמצע.
- הערך את הפונקציה בנקודת האמצע וודא שההשערה של בולזנו מסתפקת, כאשר f (a) * f (b) <0.
- תלוי בסימן (חיובי או שלילי) של הערך שנמצא, התהליך חוזר על עצמו עם תת-מרווח חדש עד למימוש ההשערה האמורה.
תרגילים שנפתרו
תרגיל 1
קבע אם לפונקציה f (x) = x 2 - 2, יש לפחות פתרון אמיתי אחד במרווח.
פִּתָרוֹן
יש לנו את הפונקציה f (x) = x 2 - 2. מכיוון שהיא פולינום, זה אומר שהיא רציפה בכל מרווח.
הוא מתבקש לקבוע אם יש לו פיתרון אמיתי במרווח, ולכן כעת נדרש רק להחליף את הקצוות של המרווח בפונקציה כדי לדעת את הסימן של אלה ולדעת אם הם ממלאים את התנאי להיות שונה:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (שלילי)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (חיובי)
לכן, סימן של f (1) ≠ סימן f (2).
זה מבטיח שקיימת לפחות נקודה אחת "c" ששייכת למרווח שבו f (c) = 0.
במקרה זה, ניתן לחשב בקלות את הערך של "c" באופן הבא:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
לפיכך, √2 ≈ 1,4 שייך למרווח וממלא ש- f (√2) = 0.
תרגיל 2
הראו כי למשוואה x 5 + x + 1 = 0 יש לפחות פיתרון אמיתי.
פִּתָרוֹן
ראשית נציין כי f (x) = x 5 + x + 1 היא פונקציה פולינומית, כלומר היא רציפה בכל המספרים האמיתיים.
במקרה זה, לא ניתן שום מרווח, ולכן יש לבחור ערכים באופן אינטואיטיבי, רצוי קרוב ל 0, כדי להעריך את הפונקציה ולמצוא את שינויי הסימנים:
אם אתה משתמש במרווח אתה צריך:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
מכיוון שלא חל שינוי בסימנים, התהליך חוזר על עצמו במרווח נוסף.
אם אתה משתמש במרווח אתה צריך:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
במרווח זה יש שינוי סימן: סימן של f (-1) ≠ סימן של f (0), מה שאומר שהפונקציה f (x) = x 5 + x + 1 לפחות יש שורש אמיתי אחד «c» במרווח, כך ש- f (c) = 0. במילים אחרות, נכון של- x 5 + x + 1 = 0 יש פיתרון אמיתי במרווח.
הפניות
- ברונשטיין I, SK (1988). מדריך מתמטיקה למהנדסים וסטודנטים. . העריכה MIR.
- ג'ורג ', א' (1994). מתמטיקה ונפש. הוצאת אוניברסיטת אוקספורד.
- אילין V, PE (1991). ניתוח מתמטי. בשלושה כרכים. .
- ג'יסוס גומז, FG (2003). מורים לחינוך על יסודי. כרך ב '. מְטוּרָף.
- Mateos, ML (2013). תכונות בסיסיות של ניתוח ב- R. Editores, 20 בדצמבר.
- פיסקונוב, נ '(1980). חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. .
- Sydsaeter K, HP (2005). מתמטיקה לניתוח כלכלי. פליקס ורלה.
- ויליאם ה. בארקר, RH (nd). סימטריה רציפה: מאוקליד לקליין. אמריקאי מתמטי Soc.