משפט בייס: הסבר, יישומים, תרגילים - מתמטיקה - 2025

משפט בייס הוא הליך זה מאפשר לנו כדי להביע את ההסתברות המותנה של B נתון אירוע אקראי, במונחים של התפלגות ההסתברות של האירוע ו- B מאז התפלגות ההסתברות של א בלבד

משפט זה מועיל מאוד, מכיוון שבזכותו אנו יכולים לתאר את ההסתברות להתרחש אירוע A בידיעה ש- B התרחש, עם ההסתברות שההיפך מתרחש, כלומר, ש- B מתרחש בהינתן א '.

משפט בייס היה הצעה מכסף מאת הכומר תומאס בייס, תיאולוג אנגלי מהמאה ה -18 שהיה גם מתמטיקאי. הוא היה מחברם של מספר עבודות בתאולוגיה, אך כיום הוא ידוע בזכות מספר חיבורים מתמטיים, שביניהם משפט Bayes הנ"ל בולט כתוצאה העיקרית.

באייס עסק במשפט זה ביצירה שכותרתה "מסה לפיתרון בעיה בדוקטרינת הסיכויים", שפורסמה בשנת 1763, ועליה פותחו מספרים גדולים. מחקרים עם יישומים בתחומי ידע שונים.

הֶסבֵּר

ראשית, להבנה טובה יותר של משפט זה, ישנן כמה מושגים בסיסיים של תורת ההסתברות, ובייחוד משפט הכפל לצורך הסתברות מותנית, הקובע כי

עבור אירועים E ו- A שרירותיים של שטח מדגם S.

והגדרת מחיצות, אשר אומרת לנו שאם יש לנו ₁ , A ₂ , …, A _n אירועים של S מרחב מדגם, הם יהוו מחיצה של S, אם א _i הם שוללים האיחוד שלהם הוא S.

בהתחשב בכך, בואו להיות אירוע נוסף. כך שאנו יכולים לראות את ב '

שבו _אני הצטלבתי עם B הם הדדית אירועים יוקרתיים.

וכתוצאה מכך,

לאחר מכן, החלת משפט הכפל

מצד שני, ההסתברות המותנית ל- Ai שניתנה B מוגדרת על ידי

להחליף כראוי יש לנו את זה עבור כל i

יישומים למשפט של בייס

בזכות תוצאה זו, קבוצות מחקר ותאגידים שונים הצליחו לשפר מערכות המבוססות על ידע.

לדוגמה, במחקר על מחלות, משפט בייס יכול לסייע בהבחנת ההסתברות שמצויה מחלה בקבוצת אנשים עם מאפיין נתון, תוך לקיחה כנתונים את שיעורי המחלה העולמיים והשכיחות של המאפיינים האמורים אנשים בריאים וחולים כאחד.

מצד שני, בעולם הטכנולוגיות הגבוהות, זה השפיע על חברות גדולות שפיתחו, בזכות תוצאה זו, תוכנה "מבוססת ידע".

כדוגמה יומית יש לנו את העוזר של Microsoft Office. משפט Bayes מסייע לתוכנה להעריך את הבעיות שהמשתמש מציג ולקבוע איזו עצה לתת לו ובכך להיות מסוגלת להציע שירות טוב יותר בהתאם להרגלי המשתמש.

יש לציין כי נוסחה זו התעלמה עד לזמן האחרון, הסיבה לכך היא שכאשר התוצאה הזו פותחה לפני 200 שנה, לא היה בהם שימוש מעשי מועט. עם זאת, בזמננו, בזכות ההתקדמות הטכנולוגית הגדולה, מדענים מצאו דרכים להוציא לפועל תוצאה זו.

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

לחברת טלפונים סלולריים שתי מכונות A ו- B. 54% מהטלפונים הסלולריים המיוצרים מיוצרים על ידי מכונה A והשאר מכונה B. לא כל הטלפונים הסלולריים המיוצרים במצב טוב.

שיעור הטלפונים הסלולריים הפגומים המיוצרים על ידי A הוא 0.2 ועל ידי B הוא 0.5. מה ההסתברות שפלאפון מאותו מפעל לקוי? מהי ההסתברות שבידיעת הטלפון הסלולרי לקוי, הוא מגיע ממכונה A?

פִּתָרוֹן

הנה, יש לך ניסוי שנעשה בשני חלקים; בחלק הראשון האירועים מתרחשים:

ת: תוצרת מכונה א.

B: תא המיוצר על ידי מכונה B.

מכיוון שמכונה A מייצרת 54% מהטלפונים הסלולריים והשאר מיוצרים על ידי מכונה B, מכאן עולה שמכונה B מייצרת 46% מהטלפונים הסלולריים. ההסתברות לאירועים אלה ניתנת, כלומר:

P (A) = 0.54.

P (B) = 0.46.

אירועי החלק השני של הניסוי הם:

ד: טלפון סלולרי פגום.

ה: טלפון סלולרי שאינו פגום.

כאמור בהצהרה, ההסתברויות לאירועים אלה תלויים בתוצאה שהתקבלה בחלק הראשון:

P (DA) = 0.2.

P (DB) = 0.5.

בעזרת ערכים אלה ניתן לקבוע גם את ההסתברויות להשלמות של אירועים אלה, כלומר:

P (EA) = 1 - P (DA)

= 1 - 0.2

= 0.8

ו

p (EB) = 1 - P (DB)

= 1 - 0.5

= 0.5.

כעת ניתן לכתוב את אירוע D באופן הבא:

שימוש במשפט הכפל לתוצאות הסתברות מותנית:

לאחר מכן עונה על השאלה הראשונה.

כעת עלינו רק לחשב P (AD), אשר להחלתו על משפט בייס:

הודות למשפט של בייס, ניתן לקבוע כי ההסתברות לפיה טלפון סלולרי נעשה על ידי מכונה A, בידיעה כי הטלפון הסלולרי לקוי, היא 0.319.

תרגיל 2

שלוש תיבות מכילות כדורים בשחור לבן. הרכב כל אחד מהם הוא כדלקמן: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

אחת התיבות נבחרה באקראי וכדור מצויר באקראי שמתברר שהוא לבן. מהי התיבה שיש לה סביר להניח שנבחרה?

פִּתָרוֹן

באמצעות U1, U2 ו- U3, אנו גם מייצגים את התיבה שנבחרה.

אירועים אלה מהווים מחיצה של S ומאומת כי P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 מכיוון שהבחירה בתיבה היא אקראית.

אם B = {הכדור המצויר לבן}, יהיה לנו P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.

מה שאנחנו רוצים להשיג הוא ההסתברות שהכדור הוצא מהקופסה Ui בידיעה שהכדור האמור היה לבן, כלומר P (Ui-B), ולראות איזה משלושת הערכים היה הגבוה ביותר שידוע מהם התיבה הייתה ככל הנראה מיצוי כדור הכדור.

החלת משפט בייס על הראשון בתיבות:

ולשני האחרים:

P (U2-B) = 2/6 ו- P (U3-B) = 1/6.

לאחר מכן, הראשון בתיבות הוא זה עם הסבירות הגבוהה ביותר להיבחר לכדור הכדור.

הפניות

1. קאי לאי צ'ונג. תורת היכולת היסודית עם תהליכים סטוכסטיים. ספרינגר-ורלאג ניו יורק בע"מ
2. קנת ה. רוזן. מתמטיקה נפרדת ויישומיה. SAMCGRAW-היל / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. פול ל 'מאייר. הסתברות ויישומים סטטיסטיים. SA ALHAMBRA מקסיקנה.
4. ד"ר סימור ליפשוץ 2000 פתרו בעיות במתמטיקה בדידה. מקגרו היל.
5. ד"ר סימור ליפשוץ בעיות תיאוריה והסתברות. מקגרו היל.