רצפים ריבועיים: דוגמאות, תרגילים כלליים ונפתרים - מתמטיקה - 2025

Successions ריבועית , במונחים מתמטיים, מורכב הרצפים של מספרים כי פעלו חשבון כלל מסוים. מעניין לדעת כלל זה לקביעת אחד מהתנאים של רצף.

אחת הדרכים לעשות זאת היא לקבוע את ההבדל בין שני מונחים עוקבים ולראות אם הערך המתקבל חוזר תמיד. כאשר זה המקרה, אומרים שזה רצף קבוע.

רצפי מספרים הם דרך לארגן רצפי מספרים. מקור: pixabay.com

אבל אם זה לא חוזר על עצמו, אתה יכול לנסות לבחון את ההבדל בין ההבדלים ולראות אם ערך זה קבוע. אם כן, זהו רצף ריבועי .

דוגמאות לרצפים רגילים ורצפים ריבועיים

הדוגמאות הבאות עוזרות להבהיר את מה שהוסבר עד כה:

דוגמא לרצף קבוע

תן לרצף S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

רצף זה, המצוין על ידי S, הוא קביעת מספרים אינסופי, במקרה זה של מספרים שלמים.

ניתן לראות שמדובר ברצף רגיל, מכיוון שכל מונח מתקבל על ידי הוספת 3 למונח או לאלמנט הקודם:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

במילים אחרות: רצף זה קבוע מכיוון שההבדל בין המונח הבא לקודם נותן ערך קבוע. בדוגמה שניתנה ערך זה הוא 3.

הרצפים הרגילים שמתקבלים על ידי הוספת כמות קבועה למונח הקודם נקראים גם התקדמות אריתמטית. וההבדל-קבוע- בין מונחים עוקבים נקרא היחס ומכונה R.

דוגמה לרצף לא סדיר וריבועי

ראה כעת את הרצף הבא:

S = {2, 6, 12, 20, 30, ….}

כאשר מחושבים הבדלים עוקבים, מתקבלים הערכים הבאים:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

ההבדלים ביניהם אינם קבועים, כך שניתן לומר שמדובר ברצף לא רגיל.

עם זאת, אם ניקח בחשבון את מערך ההבדלים, יש לנו רצף אחר, שיצוין כ S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10, ….}

רצף חדש זה הוא רצף רגיל, מכיוון שכל מונח מתקבל על ידי הוספת הערך הקבוע R = 2 לקודמו. לכן אנו יכולים לאשר ש- S הוא רצף ריבועי.

כלל כללי לבניית רצף ריבועי

יש נוסחה כללית לבניית רצף ריבועי:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

בנוסחה זו, T _n הוא מונח במיקום n של רצף. A, B ו- C הם ערכים קבועים, בעוד n משתנה אחד אחד, כלומר 1, 2, 3, 4, …

ברצף S של הדוגמא הקודמת A = 1, B = 1 ו- C = 0. משם יוצא כי הנוסחה המייצרת את כל המונחים היא: T _n = n ² + n

זאת אומרת:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

הבדל בין שני מונחים רצופים של רצף ריבועי

T _{n + 1} - T _n = -

פיתוח הביטוי באמצעות מוצר מדהים נותר:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

על ידי פישוט זה אתה מקבל:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

זו הנוסחה שנותנת את רצף ההבדלים S _Dif שניתן לכתוב כך:

הפרש _n = A ∙ (2n + 1) + B

כאשר ברור שהמונח הבא הוא 2 ∙ לפעמים הקודם. כלומר היחס בין רצף ההבדלים S _diff הוא: R = 2 ∙ A.

פתרו בעיות של רצפים ריבועיים

תרגיל 1

תן לרצף S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. קבע אם:

i) האם זה רגיל או לא

ii) האם זה ריבועי או לא

iii) זה היה ריבועי, רצף ההבדלים ויחסם

תשובות

i) בואו נחשב את ההפרש בין המונחים הבאים לתנאים הקודמים:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

אנו יכולים לאשר כי הרצף S אינו קבוע, מכיוון שההבדל בין מונחים רצופים אינו קבוע.

ii) רצף ההבדלים הוא קבוע, מכיוון שההבדל בין המונחים שלו הוא הערך הקבוע 2. לכן, הרצף המקורי S הוא ריבועי.

iii) כבר קבענו ש- S היא ריבועית, רצף ההבדלים הוא:

S _dif = {2, 4, 6, 8, …} והיחס שלה הוא R = 2.

תרגיל 2

תן לרצף S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} מהדוגמה הקודמת, שם אומת שהוא ריבועי. לקבוע:

i) הנוסחה שקובעת את המונח הכללי T _n.

ii) בדוק את המונח השלישי והחמישי.

iii) ערך המונח העשירי.

תשובות

i) הנוסחה הכללית של _Tn היא A ∙ n ² + B ∙ n + C. ואז נותר לדעת את הערכים של A, B ו- C.

לרצף ההבדלים יש יחס 2. יתר על כן, עבור כל רצף ריבועי היחס R הוא 2 ∙ A כפי שמוצג בסעיפים הקודמים.

R = 2 ∙ A = 2 מה שמוביל אותנו למסקנה ש- A = 1.

המונח הראשון ברצף ההבדלים S _Dif הוא 2 ועליו לספק את A ∙ (2n + 1) + B, עם n = 1 ו- A = 1, כלומר:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

פיתרון עבור B נקבל: B = -1

אז המונח הראשון של S (n = 1) שווה 1, כלומר: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. כפי שאנחנו כבר יודעים ש- A = 1 ו- B = -1, תחליף לנו:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

פיתרון עבור C נקבל את ערכו: C = 1.

לסיכום:

A = 1, B = -1 ו- C = 1

ואז המונח ה- n יהיה T _n = n ² - n + 1

ii) המונח השלישי T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 והוא מאומת. ה- T ₅ החמישי = 5 ² - 5 + 1 = 21 המאומת גם הוא.

iii) המונח העשירי יהיה T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

תרגיל 3

רצף האזורים לתרגיל 3. מקור: פירוט עצמי.

באיור נראה רצף של חמש דמויות. הסריג מייצג את יחידת האורך.

i) קבע את הרצף עבור שטח הדמויות.

ii) הראה שזה רצף ריבועי.

iii) מצא את האזור של איור מס '10 (לא מוצג).

תשובות

i) הרצף S המתאים לאזור רצף הדמויות הוא:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) הרצף המתאים להבדלים ברציפות של תנאי S הוא:

S _diff = {2, 4, 6, 8,. . . . . }

מכיוון שההבדל בין מונחים רצופים אינו קבוע, אז S אינו רצף רגיל. נותר לדעת אם הוא ריבועי, שעבורו אנו שוב מבצעים את רצף ההבדלים, משיגים:

{2, 2, 2, …….}

מכיוון שכל תנאי הרצף חוזרים על עצמם, אושר ש- S הוא רצף ריבועי.

iii) הרצף S _dif קבוע והיחס שלו R הוא 2. בעזרת המשוואה המוצגת לעיל R = 2 ∙ A, הוא נשאר:

2 = 2 ∙ A, שמשמעותו ש- A = 1.

המונח השני ברצף ההבדלים S _Dif הוא 4 והמונח התשיעי של S _Dif הוא

A 2 (2n + 1) + B.

למונח השני n = 2. בנוסף, כבר נקבע כי A = 1, לכן באמצעות המשוואה הקודמת וההחלפה יש לנו:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

פיתרון עבור B, אנו משיגים: B = -1.

ידוע כי המונח השני של S שווה 2, וכי עליו למלא את הנוסחה של המונח הכללי עם n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

זאת אומרת

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

מסקנה כי C = 0, כלומר הנוסחה שנותנת את המונח הכללי של הרצף S היא:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

כעת מאומתת הקדנציה החמישית:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) איור מס '10 שלא צויר כאן, יהיה השטח התואם למונח העשירי ברצף S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

הפניות

1. https://www.geogebra.org