סימטריה צירית: תכונות, דוגמאות ותרגילים - מתמטיקה - 2025

סימטריה צירית היא כאשר נקודות של חופפים דמות עם נקודות של דמות אחרת על ידי חוֹצֶה ישר שנקרא ציר הסימטריה. זה נקרא גם סימטריה רדיאלית, סיבובית או גלילית.

הוא מיושם בדרך כלל בדמויות גיאומטריות, אך ניתן לראות בקלות בטבעו, מכיוון שיש בעלי חיים כמו פרפרים, עקרבים, פרת משה רבנו או בני אדם המציגים סימטריה צירית.

סימטריה צירית מוצגת בתצלום זה של קו הרקיע של העיר טורונטו והשתקפותו במים. (מקור: pixabay)

כיצד למצוא סימטרי צירי

כדי למצוא את הסימטריה הצירית P 'של נקודה P ביחס לקו (L), מבוצעות הפעולות הגיאומטריות הבאות:

1.- בניצב לקו (L) העובר בנקודה P.

2.- יירוט שתי הקווים קובע נקודה O.

3.- אורך המקטע PO נמדד, ואז אורך זה מועתק אל הקו (PO) החל מ- O בכיוון מ- P ל- O, וקובע את הנקודה P '.

4.- נקודה P 'היא הסימטרית הצירית של נקודה P ביחס לציר (L), מכיוון שהקו (L) הוא הביזקטור של הקטע PP', והוא O נקודת האמצע של הקטע האמור.

איור 1. שתי נקודות P ו- P 'הן סימטריות ציריות לציר (L) אם הציר האמור הוא ביזקטור של הקטע PP'

מאפייני סימטריה צירית

- הסימטריה הצירית היא איזומטרית, כלומר המרחקים של דמות גיאומטרית והסימטריה המתאימה שלה נשמרים.

- מידת הזווית והסימטריה שלו שווים.

- הסימטריה הצירית של נקודה על ציר הסימטריה היא הנקודה עצמה.

- הקו הסימטרי של קו המקביל לציר הסימטריה הוא גם קו המקביל לציר האמור.

- קו מבודד לציר הסימטריה יש כקו סימטרי קו מבודד נוסף, שבתורו, מצטלב את ציר הסימטריה באותה נקודה בקו המקורי.

- התמונה הסימטרית של קו היא קו נוסף היוצר זווית עם ציר הסימטריה באותה מידה כמו הקו המקורי.

- הדימוי הסימטרי של קו הניצב לציר הסימטריה הוא קו נוסף החופף את הראשון.

- קו והקו הסימטרי הצירי שלו יוצרים זווית שהזווית שלה היא ציר הסימטריה.

איור 2. סימטריה צירית משמרת מרחקים וזוויות.

דוגמאות לסימטריה צירית

הטבע מציג דוגמאות בשפע לסימטריה צירית. לדוגמה, ניתן לראות את הסימטריה של פרצופים, חרקים כמו פרפרים, השתקפות על משטחי מים רגועים ומראות או עלים של צמחים, בקרב רבים אחרים.

איור 3. פרפר זה מציג כמעט סימטריה צירית מושלמת. (מקור: pixabay)

איור 4. לפניה של הילדה יש ​​סימטריה צירית. (מקור: pixabay)

תרגילי סימטריה צירים

תרגיל 1

יש לנו את משולש הקודקודים A, B ו- C שהקואורדינטות הקרטזיות שלו הן בהתאמה A = (2, 5), B = (1, 1) ו- C = (3,3). מצא את הקואורדינטות הקרטזיות של המשולש סימטרית סביב ציר Y (ציר הסדר).

הפיתרון: אם לנקודה P יש קואורדינטות (x, y) אז הסימטרית שלה לגבי ציר הסדר (ציר Y) היא P '= (- x, y). במילים אחרות, הערך של אביסקסה שלה משנה את הסימן, בעוד שערך המסדרון נשאר זהה.

במקרה זה, למשולש הסימטרי עם הקודקודים A ', B' ו- C 'יהיו קואורדינטות:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) ו- C' = (- 3, 3) כפי שניתן לראות באיור 6.

איור 6. אם לנקודה יש ​​קואורדינטות (x, y), הסימטרית שלה ביחס לציר Y (ציר הסדר) יהיו עם קואורדינטות (-x, y).

תרגיל 2

בהתייחס למשולש ABC ול- A'B'C הסימטרי שלו מתרגיל 1, בדוק כי הצדדים התואמים של המשולש המקורי והסימטרי שלו הם באותו אורך.

הפיתרון: כדי למצוא את המרחק או את האורך של הצדדים אנו משתמשים בנוסחת המרחק האוקלידית:

d (A, B) = √ ((Bx - גרזן) ^ 2 + (על ידי - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

אורך הצד הסימטרי המקביל A'B מחושב להלן:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

באופן זה, מוודאים כי סימטריה צירית שומרת על המרחק בין שתי נקודות. ניתן לחזור על התהליך בשני צידי המשולש האחרים ובסימטריה שלו בכדי לבדוק את האורךיות. לדוגמא -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

תרגיל 3

ביחס למשולש ABC ול- A'B'C הסימטרי שלו מתרגיל 1, בדוק כי הזוויות המתאימות של המשולש המקורי והסימטרי שלו הם בעלי מידה זוויתית זהה.

פתרון: כדי לקבוע את הצעדים של הזוויות BAC ו B'A'C "נוכל לחשב את המוצר סקלר הראשון של וקטורים AB עם AC ולאחר מכן המוצר סקלר של A'B" עם A'C ' .

זוכר ש:

A = (2, 5), B = (1, 1) ו- C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) ו- C' = (- 3, 3).

יש לזה:

AB = <1-2, 1-5> ו- AC = <3-2, 3-5>

באופן דומה

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> ו- AC = <-3 + 2, 3-5>

ואז נמצאים המוצרים הסקלריים הבאים:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

באופן דומה

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

מדד הזווית BAC הוא:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6 מעלות

באופן דומה, מידת הזווית B'A'C היא:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6 מעלות

המסקנה כי סימטריה צירית משמרת את מידת הזוויות.

תרגיל 4

תן לנקודה P להיות של קואורדינטות (א, ב). מצא את הקואורדינטות של הסימטריה הצירית שלה P 'ביחס לקו y = x.

הפיתרון: נקרא (a ', b') את הקואורדינטות של הנקודה הסימטרית P 'ביחס לקו y = x. לנקודת האמצע M של הקטע PP 'יש קואורדינטות ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) והוא נמצא גם בקו y = x, כך שהשוויון הבא קובע:

a + a '= b + b'

מצד שני, למקטע PP 'יש שיפוע -1 מכיוון שהוא בניצב לקו y = x עם המדרון 1, כך שהשוויון הבא קובע:

b - b '= a' -a

בפיתרון של שתי השוויונות הקודמים א 'ו-ב' יוצא כי:

a '= על ידי זה b' = a.

כלומר, בהינתן נקודה P (a, b), הסימטריה הצירית שלה ביחס לקו y = x היא P '(b, a).

הפניות

1. Arce M., Blázquez S ואחרים. טרנספורמציות של המטוס. התאושש מ: educutmxli.files.wordpress.com
2. חישוב סמ"ק. סימטריה צירית. התאושש מ: calculo.cc
3. סופר-פרופ. סימטריה צירית. התאושש מ: superprof.es
4. ויקיפדיה. סימטריה צירית. התאושש מ: es.wikipedia.com
5. ויקיפדיה. סימטריה מעגלית. התאושש מ: en.wikipedia.com