סדרות כוח: דוגמאות ותרגילים - מתמטיקה - 2025

סדרת הכוח מורכב סיכום תנאי בצורת סמכויות x משתנה, או באופן כללי יותר, של XC, כאשר c הוא מספר ממשי מתמיד. בסימון סיכום סדרת סמכויות מתבטאת באופן הבא:

איפה המקדם _o , A ₁ , A ₂ … הם מספרים ממשיים ו הסדרה מתחילה n = 0.

איור 1. הגדרה של סדרת כוח. מקור: פ. זפטה.

סדרה זו ממוקדת בערך c שהוא קבוע, אך אתה יכול לבחור ש- c שווה ל 0, ובמקרה זה סדרת הכוח מפשטת ל:

הסדרה מתחילה עם a _או (xc) ⁰ ו- a _או x ⁰ בהתאמה. אבל אנו יודעים ש:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

לכן _o (xc) ⁰ = a _או x ⁰ = _o (מונח עצמאי)

הדבר הטוב בסדרת הכוח הוא שניתן לבטא איתם פונקציות ויש לזה יתרונות רבים, במיוחד אם אתם רוצים לעבוד עם פונקציה מסובכת.

כאשר זה המקרה, במקום להשתמש ישירות בפונקציה, השתמשו בהרחבת סדרת הכוח שלה, שקל יותר להפיק, לשלב או לעבוד בצורה מספרית.

כמובן שהכל מותנה בהתכנסות הסדרה. סדרה מתכנסת כאשר הוספת מספר גדול של מונחים נותנת ערך קבוע. אם נוסיף עדיין מונחים נוספים, אנו ממשיכים להשיג ערך זה.

פונקציות כסדרת כוח

כדוגמה לפונקציה המתבטאת כסדרת כוח, בואו ניקח f (x) = e ^x .

פונקציה זו יכולה להתבטא במונחים של סדרת סמכויות באופן הבא:

ו ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) + …

איפה! = n. (n-1). (n-2). (n-3) … וזה לוקח 0! = 1.

אנו הולכים לבדוק בעזרת מחשבון, שאכן הסדרה עולה בקנה אחד עם הפונקציה שניתנה במפורש. לדוגמא, נתחיל ביצירת x = 0.

אנו יודעים ש- ⁰ = 1. בוא נראה מה הסדרה עושה:

ו ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

ועכשיו בואו ננסה x = 1. מחשבון מחזיר את ה- e ¹ = 2.71828 ואז בואו נשווה לסדרה:

ו ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 +… ≈ 2.7167

עם 5 מונחים בלבד יש לנו כבר התאמה מדויקת ב- e ≈ 2.71. לסדרה שלנו יש עוד קצת מהלך, אך ככל שנוספים עוד מונחים, הסדרה בהחלט מתכנסת לערך המדויק של e. הייצוג מדויק כאשר n → ∞.

אם הניתוח הקודם חוזר על עצמו עבור n = 2, מתקבלות תוצאות דומות מאוד.

בדרך זו אנו בטוחים כי ניתן לייצג את הפונקציה האקספוננציאלית f (x) = e ^{x על} ידי סדרת כוחות זו:

איור 2. באנימציה זו אנו יכולים לראות כיצד סדרת הכוח מתקרבת לפונקציה האקספוננציאלית ככל שנלקחים יותר מונחים. מקור: Wikimedia Commons.

סדרת כוחות גיאומטרית

הפונקציה f (x) = e ^x אינה הפונקציה היחידה התומכת בייצוג סדרות כוח. לדוגמה, הפונקציה f (x) = 1/1 - x נראית כמו הסדרה הגיאומטרית המפורסמת הידועה:

מספיק לעשות a = 1 ו- r = x כדי להשיג סדרה המתאימה לפונקציה זו, שמרכזה c = 0:

עם זאת, ידוע שהסדרה הזו מתכנסת ל- │r│ <1, ולכן הייצוג תקף רק במרווח (-1,1), אם כי הפונקציה תקפה לכל x, למעט x = 1.

כאשר אתה רוצה להגדיר פונקציה זו בטווח אחר, אתה פשוט מתמקד בערך מתאים וסיימת.

כיצד למצוא את סדרת הרחבת הכוחות של פונקציה

ניתן לפתח כל פונקציה בסדרת כוח שבמרכזה c, כל עוד יש לה נגזרים של כל ההזמנות ב x = c. ההליך עושה שימוש במשפט הבא, המכונה משפט טיילור:

תן ל- f (x) להיות פונקציה עם נגזרות בסדר n, המסומן כ- f ⁽ⁿ⁾ , שמאפשרת הרחבת סדרות של סמכויות במרווח I. ההתפתחות הסדרתית שלו של טיילור היא:

אז זה:

כאשר R _n , שהוא המונח התשיעי של הסדרה, נקרא שארית:

כאשר c = 0 הסדרה נקראת סדרת מקלאורין.

סדרה זו שניתנה כאן זהה לסדרה שניתנה בתחילת הדרך, רק כעת יש לנו דרך למצוא במפורש את המקדמים של כל מונח, הניתנים על ידי:

עם זאת, עלינו להבטיח כי הסדרה תתכנס לפונקציה המיוצגת. זה קורה שלא כל סדרת טיילור בהכרח מתכנסת ל- f (x) שהיה זכור בעת חישוב המקדמים ב- _n .

זה קורה מכיוון שאולי הנגזרות של הפונקציה, המוערכות ב- x = c חופפות את אותו ערך של הנגזרות של אחר, גם ב- x = c. במקרה זה המקדמים יהיו זהים, אך ההתפתחות תהיה מעורפלת, מכיוון שלא בטוח לאיזו פונקציה היא מתאימה.

למרבה המזל יש דרך לדעת:

קריטריון התכנסות

כדי למנוע עמימות, אם R _n → 0 כ- n → ∞ עבור כל ה- x במרווח I, הסדרה מתכנסת ל- f (x).

תרגיל

- התרגיל נפתר 1

מצא את סדרת הכוח הגיאומטרית עבור הפונקציה f (x) = 1/2 - x שמרכזיה ב c = 0.

פִּתָרוֹן

הפונקציה הנתונה חייבת לבוא לידי ביטוי באופן שהוא יעלה בקנה אחד קרוב ככל האפשר עם 1 / 1- x, שהסדרה שלו ידועה. אז בוא נכתוב מחדש את המונה והמכנה, מבלי לשנות את הביטוי המקורי:

1/2 - x = (1/2) /

מכיוון ½ הוא קבוע, הוא יוצא מהסיכום, והוא כתוב במונחים של המשתנה החדש x / 2:

שימו לב ש x = 2 אינו שייך לתחום הפונקציה, ועל פי קריטריון ההתכנסות שניתן בסעיף סדרת הכוח הגיאומטרית, ההרחבה תקפה ל- │x / 2│ <1 או באופן שווה -2 <x <2.

- התרגיל נפתר 2

מצא את חמשת המונחים הראשונים של הרחבת סדרת מקלאורין של הפונקציה f (x) = sin x.

פִּתָרוֹן

שלב 1

ראשית, הן הנגזרות:

-זרמת סדר 0: זו אותה פונקציה f (x) = sin x

-נגזרת ראשונה: (sin x) ´ = cos x

-נגזרת שנייה: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-נגזרת שלישית: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

נגזרת של חמישי: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

שלב 2

ואז כל נגזרת מוערכת ב- x = c, וכך גם התרחבות מקלאורין, c = 0:

חטא 0 = 0; cos 0 = 1; - חטא 0 = 0; -Cos 0 = -1; חטא 0 = 0

שלב 3

המקדמים a _נבנים ;

_o = 0/0! = 0; ₁ = 1/1! = 1; ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; ₄ = 0/4! = 0

שלב 4

לבסוף הסדרה מורכבת על פי:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ + …

האם הקורא זקוק למונחים נוספים? כמה עוד, הסדרה קרובה יותר לפונקציה.

שימו לב שיש דפוס במקדמים, המונח הבא ללא אפס הוא ₅ וכל אלו עם אינדקס מוזר שונים גם הם מ -0, לסירוגין הסימנים, כך:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

זה נותר כתרגיל כדי לבדוק שהוא מתכנס, אפשר להשתמש בקריטריון המרכוש להתכנסות של סדרות.

הפניות

1. קרן CK-12. סדרת כוח: ייצוג פונקציות ופעולות. התאושש מ: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. חשבון אינטגרלי. האוניברסיטה הלאומית של ליטורל.
3. Larson, R. 2010. חישוב משתנה. ט '. מַהֲדוּרָה. מקגרו היל.
4. טקסטים בחינם למתמטיקה. סדרת כוח. התאושש מ: math.liibretexts.org.
5. ויקיפדיה. סדרת כוח. התאושש מ: es.wikipedia.org.