המשולשים האלכסוניים הם אלה משולשים שאיננו מלבנים. במילים אחרות, המשולשים כך שאף אחת מהזוויות שלהם אינה זווית ישרה (המידה שלהם היא 90 מעלות).
מכיוון שאין להם זוויות ישרות, אז לא ניתן להחיל את משפט פיתגורס על משולשים אלה.
לכן, בכדי לדעת את הנתונים במשולש אלכסוני יש צורך להשתמש בנוסחאות אחרות.
הנוסחאות הדרושות לפיתרון משולש אלכסוני הן מה שנקרא חוקים של קדושים וקוסינוסים, אשר יתוארו בהמשך.
בנוסף לחוקים אלה, ניתן להשתמש תמיד בכך שסכום הזוויות הפנימיות של משולש שווה ל 180 מעלות.
משולשים אלכסוניים
כאמור בהתחלה, משולש אלכסוני הוא משולש כך שאף אחת מהזוויות שלו לא עומדת על 90 מעלות.
הבעיה במציאת אורכי הצדדים של משולש אלכסוני, כמו גם מציאת מידות הזוויות שלו, נקראת "פתרון משולשים אלכסוניים".
עובדה חשובה בעבודה עם משולשים היא שסכום של שלוש הזוויות הפנימיות של משולש שווה ל 180 מעלות. זו תוצאה כללית, ולכן עבור משולשים אלכסוניים ניתן ליישם אותה.
חוקי קדושים וקוסינוסים
ניתן משולש ABC עם צלעות אורך "a", "b" ו- "c":
חוק החטאים קובע כי A / חטא (A) = b / sin (B) = c / sin (C), כאשר A, B ו- C הם הזוויות ההפוכות ל- «a», «b» ו- «c »בהתאמה.
חוק הקוסינוס קובע כי: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). באופן שווה, ניתן להשתמש בנוסחאות הבאות:
b² = a² + c² - 2ac * cos (B) או a² = b² + c² - 2bc * cos (A).
בעזרת נוסחאות אלה ניתן לחשב את הנתונים למשולש אלכסוני.
תרגילים
להלן כמה תרגילים שבהם יש למצוא את הנתונים החסרים של המשולשים הנתונים, על סמך נתונים מסוימים המסופקים.
תרגיל ראשון
בהינתן משולש ABC כך ש- A = 45º, B = 60º ו- a = 12cm, חשב את הנתונים האחרים של המשולש.
פִּתָרוֹן
בשימוש בכך שסכום הזוויות הפנימיות של משולש שווה ל 180 מעלות יש לנו את זה
C = 180º-45º-60º = 75º.
שלוש הזוויות כבר ידועות. לאחר מכן נעשה שימוש בחוק הסינוס לחישוב שני הצדדים החסרים.
המשוואות שעולות הן 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).
מהשוויון הראשון אנו יכולים לפתור עבור «b» ולקבל את זה
b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14.696 ס"מ.
אנחנו יכולים גם לפתור עבור "c" ולקבל את זה
c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392 ס"מ.
תרגיל שני
משולש ABC נתון כך ש- A = 60º, C = 75º ו- b = 10cm, חשב את הנתונים האחרים של המשולש.
פִּתָרוֹן
כמו בתרגיל הקודם, B = 180º-60º-75º = 45º. יתר על כן, בשימוש בחוק הסינוס יש לנו ש- a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), שממנו מתקבל כי a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 ס"מ ו c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 ס"מ.
תרגיל שלישי
משולש ABC נתון כך ש- = 10 ס"מ, b = 15 ס"מ ו- C = 80 מעלות, חשב את הנתונים האחרים של המשולש.
פִּתָרוֹן
בתרגיל זה ידוע רק זווית אחת, לכן אינך יכול להתחיל כפי שעשית בשני התרגילים הקודמים. כמו כן, לא ניתן להחיל את חוק הסינוסים מכיוון שלא ניתן היה לפתור משוואה.
לכן אנו ממשיכים להחיל את חוק הקוסינוסים. זה אז זה
c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272.905 ס"מ,
כך ש- 16.51 ס"מ. כעת, בידיעת שלושת הצדדים, נעשה שימוש בחוק הסינוסים, ומתקבל זאת
10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16.51 ס"מ / sin (80º).
מכאן שפתרון עבור B מביא לחטא (B) = 15 * חטא (80 מעלות) / 16.51 ≈ 0.894, שמשמעותו היא ש- B 63.38º.
כעת, אנו יכולים להשיג כי A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.
תרגיל רביעי
הצדדים של משולש אלכסוני הם = 5 ס"מ, b = 3 ס"מ ו- c = 7 ס"מ. מצא את זוויות המשולש.
פִּתָרוֹן
שוב, לא ניתן להחיל ישירות את חוק הסינוסים שכן אף משוואה לא תשמש להשיג את הערך של הזוויות.
בשימוש בחוק הקוסינו יש לנו את אותו c² = a² + b² - 2ab cos (C), שממנו יש לפתור את אותו cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 ולכן C = 120 מעלות.
עכשיו אם נוכל להחיל את חוק הסינוסים וכך להשיג 5 / חטא (A) = 3 / חטא (B) = 7 / חטא (120 מעלות), משם נוכל לפתור עבור B ולקבל את החטא הזה (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0.371, כך ש B = 21.79º.
לבסוף, הזווית האחרונה מחושבת באמצעות A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.
הפניות
- לנדוורדה, פ. ד. (1997). גיאומטריה (מהדפיס מחדש). התקדמות.
- לייק, ד (2006). משולשים (מאויר). היינמן-ריינטרי.
- פרז, CD (2006). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.
- רויז, Á., & Barrantes, H. (2006). גיאומטריות. טכנולוגיית CR.
- סאליבן, מ '(1997). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.
- סאליבן, מ '(1997). טריגונומטריה וגיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.