נקודות COPLANAR: משוואה, דוגמה ותרגילים שנפתרו - מתמטיקה - 2025

נקודות מישור כולם שייכים לאותו מטוס. שתי נקודות הינן תמיד מזויפות, מכיוון שנקודות אלה מגדירות קו דרכו עוברים מטוסים אינסופיים. לאחר מכן, שתי הנקודות שייכות לכל אחד מהמטוסים העוברים בקו, ולכן הם תמיד יהיו מדורגים.

מצד שני, שלוש נקודות מגדירות מישור יחיד, שממנו יוצא ששלוש נקודות תמיד יהיו מזויפות למישור שהן קובעות.

איור 1. איור 1. A, B, C ו- D הם במישור המישורית למישור (Ω). E, F ו- G אינם מזדמנים (Ω) אך הם מתכננים למישור שהם מגדירים. מקור: פ. זפטה.

יותר משלוש נקודות יכולות להיות משוכפלות או לא. לדוגמה באיור 1, הנקודות A, B, C ו- D הן מישוריות למישור (Ω). אבל E, F ו- G אינם מזדווגים (Ω), אם כי הם מזדמנים למישור שהם מגדירים.

משוואה למטוס עם שלוש נקודות

המשוואה של מישור שנקבעה על ידי שלוש נקודות ידועות A, B, C היא יחס מתמטי שמבטיח שכל נקודה P עם קואורדינטות גנריות (x, y, z) שתמלא את המשוואה שייכת למישור האמור.

האמירה הקודמת שווה לאמירה שאם P של קואורדינטות (x, y, z) ממלא את משוואת המטוס, אז הנקודה האמורה תהיה במישור הבא עם שלוש הנקודות A, B, C שקבעו את המטוס.

כדי למצוא את המשוואה של מטוס זה, נתחיל במציאת הווקטורים AB ו- AC :

AB =

AC =

המוצר הווקטורי AB X AC מביא לווקטור בניצב או רגיל למישור שנקבע על ידי נקודות A, B, C.

כל נקודה P עם קואורדינטות (x, y, z) שייכת למישור אם הווקטור AP הוא בניצב לווקטור AB X AC , שמובטח אם:

AP • (AB X AC) = 0

זה שווה לאמירה שהתוצר המשולש של AP , AB ו- AC הוא אפס. ניתן לכתוב את המשוואה לעיל בצורת מטריצה:

דוגמא

תן לנקודות A (0, 1, 2); ב '(1, 2, 3); C (7, 2, 1) ו- D (a, 0, 1). איזה ערך צריך להיות לארבע הנקודות כדי להיות מזוהות?

פִּתָרוֹן

כדי למצוא את הערך של a, נקודה D חייבת להיות חלק מהמטוס שנקבע על ידי A, B ו- C, וזה מובטח אם הוא משלים את משוואת המטוס.

פיתוח הקובע שיש לנו:

המשוואה הקודמת אומרת לנו ש- = -1 לצורך השוויון. במילים אחרות, הדרך היחידה שנקודה D (a, 0,1) היא מישורית עם הנקודות A, B ו- C היא עבור a להיות -1. אחרת זה לא יהיה מזויף.

תרגילים שנפתרו

- תרגיל 1

מטוס מצטלב את הצירים הקרטזיים X, Y, Z בקו 1, 2 ו- 3 בהתאמה. הצומת של מישור זה עם הצירים קובע את הנקודות A, B ו- C. מצא את הרכיב Dz של נקודה D, שמרכיביו הקרטזיים הם:

ובלבד ש- D תואם עם נקודות A, B ו- C.

פִּתָרוֹן

כאשר ידועים יירוטים של מטוס עם הצירים הקרטזיים, ניתן להשתמש בצורת הקטע של משוואת המטוס:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

מכיוון שנקודה D חייבת להיות שייכת למישור הקודם, עליה:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

זאת אומרת:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

מהאמור לעיל עולה כי נקודה D (3, -2, -3) היא מישורית עם הנקודות A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) ו- C (0, 0, 3).

- תרגיל 2

קבע אם הנקודות A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) ו- D (2, 3, 1) הם מישוריים.

פִּתָרוֹן

אנו יוצרים את המטריצה ​​ששורותיה הן הקואורדינטות של DA, BA ו- CA. לאחר מכן מחושב הקובע ומאומת אם הוא אפס או לא.

לאחר ביצוע כל החישובים, הגיע המסקנה כי הם מתכננים.

- תרגיל 3

יש שני קווים בחלל. אחד מהם הוא הקו (R) שמשוואתו הפרמטרית היא:

והשני הוא הקו (S) שמשוואתו היא:

הראו ש- (R) ו- (S) הם קווים מזויפים, כלומר הם שוכבים באותו מישור.

פִּתָרוֹן

נתחיל בכך שלקח באופן שרירותי שתי נקודות בקו (R) ושתי בקו (S):

שורה (R): λ = 0; A (1, 1, 1) ו- λ = 1; B (3, 0, 1)

בואו x = 0 בקו (S) => y = ½; C (0, ½, -1). ומצד שני, אם נעשה y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

כלומר, לקחנו את הנקודות A ו- B ששייכות לקו (R) ואת הנקודות C ו- D ששייכות לקו (S). אם הנקודות האלו מזויפות, שני השורות יהיו מדי.

כעת אנו בוחרים בנקודה A כציר הציר ואז אנו מוצאים את הקואורדינטות של הווקטורים AB , AC ו- AD. בדרך זו אתה מקבל:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

השלב הבא הוא לבנות ולחשב את הקובע שהשורה הראשונה שלו היא מקדמי הווקטור AB , השורה השנייה היא זו של AC והשורה השלישית אלו של הווקטור AD :

מכיוון שהקובע מתברר כמבטל, אנו יכולים להסיק כי ארבע הנקודות הן בעלות מישוריים. בנוסף, ניתן לציין כי הקווים (R) ו- (S) הם גם במישור האחיד.

- תרגיל 4

הקווים (R) ו- (S) הם מישוריים, כפי שהודגם בתרגיל 3. מצא את המשוואה של המטוס המכיל אותם.

פִּתָרוֹן

הנקודות A, B, C מגדירות לחלוטין את המישור הזה, אך אנו רוצים לכפות שכל נקודה X של קואורדינטות (x, y, z) שייכת אליו.

כדי ש- X ישתייך למישור שהוגדר על ידי A, B, C ובו נמצאים הקווים (R) ו- (S), יש צורך בכך שקובע הקובע שנוצר בשורה הראשונה שלו על ידי רכיבי AX , בשורה השנייה על ידי אלה של AB ו בשליש ידי אלה של AC :

בעקבות תוצאה זו אנו מקבצים בצורה זו:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

ומיד אתה רואה שאפשר לכתוב אותו מחדש כך:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

לכן x + 2y - z = 2 הוא המשוואה של המישור המכיל את הקווים (R) ו- (S).

הפניות

1. Fleming, W. 1989. מתמטיקה פרקלקולוס. פרנטיס הול PTR.
2. קולמן, ב. 2006. אלגברה לינארית. פירסון חינוך.
3. Leal, JM 2005. גיאומטריה אנליטית שטוחה. מרידה - ונצואלה: עריכה ונצולנה קליפורניה
4. נבארו, רוקיו. וקטורים. התאושש מ: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. חישוב מוקדם. פירסון חינוך.
6. Prenowitz, W. 2012. מושגים בסיסיים של גיאומטריה. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. פירסון חינוך.