- מוצרים ודוגמאות בולטים
- Binomial בריבוע
- תוצר של בינומיומים מצומדים
- תוצר של שני בינומים עם מונח נפוץ
- פולינום בריבוע
- קוביות בינומיום
- קוביית טרינום
- נפתרו תרגילים של מוצרים בולטים
- תרגיל 1
- פִּתָרוֹן
- תרגיל 2
- פִּתָרוֹן
- הפניות
מוצרי המרשימה הם פעולות אלגבריות, שבו כפל של פולינומים באים לידי ביטוי, אשר לא צריך להיפתר באופן מסורתי, אך בעזרת כללים מסוימים התוצאות של אותה ניתן למצוא.
פולינומים מוכפלים כן, ולכן יתכן שיש להם מספר גדול של מונחים ומשתנים. כדי לקצר את התהליך משתמשים בכללי המוצר הבולטים המאפשרים כפל ללא צורך לעבור מונח אחר טווח.
מוצרים ודוגמאות בולטים
כל מוצר בולט הוא פורמולה הנובעת מפקטורציה, המורכבת מפולינומים בעלי מספר מונחים, כגון בינומיאלים או טרינוומיומים, המכונים גורמים.
גורמים הם בסיס הכוח ויש להם אקספקטנט. כאשר מכפילים את הגורמים יש להוסיף את המרחבים.
ישנן מספר נוסחאות מדהימות של מוצרים, חלקן משמשות יותר מאחרות, תלויות בפולינומים, והן אלה:
Binomial בריבוע
זהו הכפל של הבינומיה בפני עצמה, המתבטאת ככוח, כאשר המונחים מוסיפים או מופרעים:
ל. סכום בינומי מרובע: זה שווה לריבוע של המונח הראשון, פלוס כפליים מתוצר המונחים, בתוספת ריבוע המונח השני. זה בא לידי ביטוי באופן הבא:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
באיור הבא תוכלו לראות כיצד המוצר מתפתח לפי הכלל האמור. התוצאה נקראת טרינוומיאל של ריבוע מושלם.
דוגמא 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
דוגמא 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
ב. בינומיום של חיסור בריבוע: חל כלל זהה לבינומיום של סכום, רק במקרה זה המונח השני שלילי. הנוסחה שלה היא כדלקמן:
(א - ב) 2 = 2
(א - ב) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
דוגמא 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
תוצר של בינומיומים מצומדים
שני בינומים מחוברים כאשר למונחים השניים של כל אחד מהם יש סימנים שונים, כלומר הראשון הוא חיובי והשני שלילי או להפך. זה נפתר על ידי ריבוע כל מונומיה וחיסור. הנוסחה שלה היא כדלקמן:
(a + b) * (a - b)
באיור הבא מפותח תוצר של שני בינומיומים מצומדים, שם ניתן לראות כי התוצאה היא הפרש ריבועים.
דוגמא 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
תוצר של שני בינומים עם מונח נפוץ
זהו אחד המוצרים המורכבים ביותר ולעתים נדירות שמשמשים לעיתים רחוקות מכיוון שמדובר בכפל של שני בינומיאלים שיש להם מונח משותף. הכלל קובע את הדברים הבאים:
- ריבוע המונח המשותף.
- בנוסף לסכום את המונחים שאינם נפוצים ואז להכפיל אותם במונח המשותף.
- בנוסף סכום הכפל של המונחים שאינם נפוצים.
זה מיוצג בנוסחה: (x + a) * (x + b) ומפותח כפי שמוצג בתמונה. התוצאה היא טרינום מרובע לא מושלם.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
יש אפשרות שהמונח השני (המונח השונה) שלילי והנוסחה שלו היא כדלקמן: (x + a) * (x - b).
דוגמא 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
זה יכול להיות גם כך ששני המונחים השונים הם שליליים. הנוסחה שלה תהיה: (x - a) * (x - b).
דוגמא 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
פולינום בריבוע
במקרה זה ישנם יותר משני מונחים וכדי לפתח אותו, כל אחד בריבוע ומתווסף יחד עם פעמיים הכפל של מונח אחד עם אחר; הנוסחה שלה היא: (a + b + c) 2 ותוצאת הפעולה היא טרינום בריבוע.
דוגמא 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2Y + 4z) 2 = 9x 2 + 4Y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
קוביות בינומיום
זהו מוצר מורכב להפליא. כדי לפתח אותו, הכפול בינומי מוכפל בריבוע שלו, באופן הבא:
ל. עבור הבינומיום שקובץ סכום:
- הקוביה של המונח הראשון, פלוס משולשת את הריבוע של המונח הראשון כפול השני.
- בנוסף המשולש של הקדנציה הראשונה, פעמים בריבוע השני.
- בנוסף הקוביה של המונח השני.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
דוגמא 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
ב. עבור הבינומי קוביה של חיסור:
- הקוביה של המונח הראשון, מינוס שלוש פעמים הריבוע של המונח הראשון כפול השני.
- בנוסף המשולש של הקדנציה הראשונה, פעמים בריבוע השני.
- מינוס הקוביה של המונח השני.
(א - ב) 3 = (א - ב) * (א - ב) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
דוגמא 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(ב - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
קוביית טרינום
הוא מפותח על ידי הכפלתו בריבוע שלו. זהו מוצר מדהים נרחב מאוד מכיוון שיש לך 3 מונחים קוביים, בתוספת שלוש פעמים כל מונח בריבוע, כפול כל אחד מהמונחים, פלוס שש פעמים מהמוצר של שלושת המונחים. נראה בצורה טובה יותר:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc .
דוגמא 1
נפתרו תרגילים של מוצרים בולטים
תרגיל 1
הרחב את הקוביות הבינומיות הבאות: (4x - 6) 3 .
פִּתָרוֹן
זכור שקוביות בינומיום שוות למונח הראשון בקוביות, מינוס שלוש פעמים הריבוע של המונח הראשון כפול השנייה; בתוספת המשולש של המונח הראשון, פעמים בריבוע השני מינוס הקוביה של המונח השני.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
תרגיל 2
פיתוח הבינומיום הבא: (x + 3) (x + 8).
פִּתָרוֹן
יש בינומיום שיש בו מונח משותף, שהוא x והמונח השני חיובי. כדי לפתח אותו צריך רק לרבוע את המונח המשותף, בתוספת סכום המונחים שאינם נפוצים (3 ו -8) ואז להכפיל אותם במונח המשותף, בתוספת סכום הכפל של המונחים שאינם נפוצים.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
הפניות
- Angel, AR (2007). אלגברה אלמנטרית. פירסון חינוך,.
- ארתור גודמן, LH (1996). אלגברה וטריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.
- Das, S. (nd). מתמטיקה פלוס 8. בריטניה: רטנה סגר.
- ג'רום א. קאופמן, KL (2011). אלגברה אלמנטרית ובינארית: גישה משולבת. פלורידה: לימוד Cengage.
- פרז, CD (2010). פירסון חינוך.