מוצר חוצה: מאפיינים, יישומים ותרגילים - מתמטיקה - 2025

מוצר המוצר או וקטור הצלב הוא דרך של הכפלת שני או יותר וקטורים. ישנן שלוש דרכים להכפיל וקטורים, אך אף אחת מאלו אינה כפל במובן הרגיל של המילה. אחת מצורות אלה ידועה כמוצר וקטורי, התוצאה היא וקטור שלישי.

למוצר הצלב, הנקרא גם המוצר הצלב או המוצר החיצוני, יש תכונות אלגבריות וגיאומטריות שונות. תכונות אלה מועילות מאוד, במיוחד מבחינת חקר הפיזיקה.

הַגדָרָה

הגדרה רשמית של המוצר הווקטורי היא כדלקמן: אם A = (a1, a2, a3) ו- B = (b1, b2, b3) הם וקטורים, אז המוצר הווקטורי של A ו- B, שאותו נקרא AxB, הוא:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

בשל סימון ה- AxB, הוא נקרא "צלב B".

דוגמה לשימוש במוצר החיצוני היא שאם A = (1, 2, 3) ו- B = (3, -2, 4) הם וקטורים, ואז משתמשים בהגדרה של מוצר וקטורי שיש לנו:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

דרך נוספת לבטא את המוצר הווקטורי ניתנת על ידי סימון הקובעים.

החישוב של קובע סדר שני ניתן על ידי:

לפיכך, ניתן לכתוב מחדש את הנוסחה של המוצר הצלב המופיע בהגדרה באופן הבא:

זה בדרך כלל מפושט לקובע מסדר שלישי באופן הבא:

כאשר i, j, k מייצגים את הווקטורים המהווים בסיס ל- R ³ .

באמצעות דרך זו לביטוי המוצר הצלב, יש לנו שניתן לכתוב את הדוגמה הקודמת כ:

נכסים

כמה מאפיינים שיש למוצר הווקטורי הם הבאים:

נכס 1

אם A הוא וקטור כלשהו ב- R ³ , יש לנו:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

קל לבדוק את המאפיינים הללו בעזרת ההגדרה בלבד. אם A = (a1, a2, a3) יש לנו:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

אם i, j, k מייצגים את בסיס היחידה של R ³ , נוכל לכתוב אותם באופן הבא:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

אז יש לנו שהמאפיינים הבאים נכונים:

ככלל ממנומוני, המעגל הבא משמש לעתים קרובות לזכר המאפיינים הבאים:

שם עלינו לציין כי כל וקטור בפני עצמו נותן וקטור 0 כתוצאה מכך, ואת שאר המוצרים ניתן להשיג באמצעות הכלל הבא:

התוצר הצלב של שני ווקטורים רצופים בכיוון השעון נותן את הווקטור הבא; וכאשר נשקול כיוון נגד כיוון השעון, התוצאה היא הווקטור הבא עם סימן שלילי.

בזכות תכונות אלה אנו יכולים לראות כי המוצר הווקטורי אינו תקין; לדוגמה, רק שים לב כי ixj ≠ jx i. המאפיין שלהלן מספר לנו כיצד AxB ו- BxA קשורים באופן כללי.

נכס 2

אם A ו- B הם ווקטורים של R ³ , יש לנו:

AxB = - (BxA).

הפגנה

אם A = (a1, a2, a3) ו- B = (b1, b2, b3), בהגדרת המוצר החיצוני יש לנו:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

אנו יכולים גם לראות שמוצר זה אינו קשור לדוגמה הבאה:

ix (ixj) = ixk = - j אבל (ixi) xj = 0xj = 0

מכאן ניתן לראות כי:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

נכס 3

אם A, B, C הם וקטורים של R ³ ו r הוא מספר ממשי, מתקיימים התנאים הבאים:

- גרזן (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

בזכות מאפיינים אלה אנו יכולים לחשב את המוצר הווקטורי באמצעות חוקי האלגברה, בתנאי שהסדר יכובד. לדוגמה:

אם A = (1, 2, 3) ו- B = (3, -2, 4), נוכל לשכתב אותם במונחים של הבסיס הקנוני של R ³ .

לפיכך, A = i + 2j + 3k ו- B = 3i - 2j + 4k. לאחר מכן, החלת המאפיינים הקודמים:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

נכס 4 (מוצר לשלושה נקודות)

כפי שציינו בהתחלה, ישנן דרכים אחרות להכפיל וקטורים מלבד המוצר הווקטורי. אחת הדרכים הללו היא המוצר הסקלרי או המוצר הפנימי, שמסומן A ∙ B והגדרתו היא:

אם A = (a1, a2, a3) ו- B = (b1, b2, b3), אז A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

הנכס המתייחס לשני המוצרים ידוע כמוצר הסקלרי המשולש.

אם A, B ו- C הם וקטורים של R ³ , אז A ∙ BxC = AxB ∙ C

כדוגמה, בואו נראה כי בהינתן A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ו- C = (- 5, 1, - 4), נכס זה מרוצה.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

מצד שני:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

מוצר משולש נוסף הוא Ax (BxC), המכונה המוצר הווקטורי המשולש.

נכס 5 (מוצר וקטור משולש)

אם A, B ו- C הם ווקטורים של R ³ , אז:

גרזן (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

כדוגמה, בואו נראה כי בהינתן A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ו- C = (- 5, 1, - 4), נכס זה מרוצה.

מהדוגמה הקודמת אנו יודעים כי BxC = (- 18, - 22, 17). בואו נחשב גרזן (BxC):

גרזן (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

מצד שני, עלינו:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

לפיכך, עלינו:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

נכס 6

זו אחת התכונות הגיאומטריות של וקטורים. אם A ו- B הם שני ווקטורים ב- R ³ ו- ϴ הוא הזווית שנוצרת ביניהם, אז:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), כאשר - ∙ - מציין את המודולוס או את גודלו של וקטור.

הפרשנות הגיאומטרית של מאפיין זה היא כדלקמן:

בואו ל- A = PR ו- B = PQ. אז הזווית שנוצרת על ידי וקטורים A ו- B היא הזווית P של המשולש RQP, כפי שמוצג באיור הבא.

לכן שטח המקביל שיש לו PR ו- PQ כצדדים סמוכים הוא - A ---- B - sin (ϴ), מכיוון שאנחנו יכולים לקחת --A-- כבסיס וגובהו ניתן על ידי - ב - חטא (ϴ).

לפיכך, אנו יכולים להסיק ש-XB-- הוא השטח של ההקבלה המקבילה האמורה.

דוגמא

בהתחשב בקודקודים הבאים של P מרובע (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) ו- S (5,7, -3), הראו כי הרביעיים האמורים הוא מקביל ומצא את שטחו.

לשם כך אנו קובעים תחילה את הווקטורים הקובעים את כיוון דפנות הריבוע. זה:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

כפי שאנו יכולים לראות, ל- A ו- C יש את אותו וקטור הבמאי, שעבורו שנינו מקבילים; אותו דבר קורה עם B ו- D. לכן אנו מסיקים ש PQRS הוא מקבילי.

כדי לקבל את שטח מקבילית זו, אנו מחשבים את BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

לכן השטח בריבוע יהיה:

- BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

ניתן להסיק כי שטח המקביל יהיה השורש הריבועי של 89.

נכס 7

שני ווקטורים A ו- B מקבילים ב- R ³ אם ורק אם AxB = 0

הפגנה

ברור שאם A או B הם וקטור האפס, מתקיים כי AxB = 0. מאחר וקטור האפס מקביל לכל וקטור אחר, אז המאפיין תקף.

אם אף אחד משני הווקטורים אינו וקטור האפס, יש לנו שהגודל שלהם שונה מאפס; כלומר, שניהם --A-- ≠ 0 וגם --B-- ≠ 0, כך שיהיה לנו --XB-- = 0 אם ורק אם חטא (ϴ) = 0, וזה קורה אם ורק אם ϴ = π או ϴ = 0.

לכן אנו יכולים להסיק את AxB = 0 אם ורק אם ϴ = π או ϴ = 0, וזה קורה רק כאשר שני הווקטורים מקבילים זה לזה.

נכס 8

אם A ו- B הם שני ווקטורים ב- R ³ , AxB הוא בניצב לשני A וגם B.

הפגנה

לצורך ההוכחה הזו, נזכור ששני וקטורים בניצב אם A if B שווה לאפס. יתר על כן, אנו יודעים כי:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, אך AxA שווה ל 0. לכן יש לנו:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

בכך אנו יכולים להסיק כי A ו- AxB הם בניצב זה לזה. באופן אנלוגי, עלינו:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

מכיוון BxB = 0, יש לנו:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

לכן AxB ו- B הם בניצב זה לזה ועם זה מוכח הנכס. זה מועיל לנו מאוד, מכיוון שהם מאפשרים לנו לקבוע את המשוואה של מטוס.

דוגמא 1

השג משוואה של המטוס שעובר בנקודות P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) ו- R (2, 1, 3).

בואו ל- A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) ו- B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). ואז A = - i + 3j + k ו- B = i - 2j + k. כדי למצוא את המטוס שנוצר על ידי שלוש הנקודות הללו, מספיק למצוא וקטור שהוא נורמלי למישור, שהוא AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

בעזרת וקטור זה, ולקיחת הנקודה P (1, 3, 2), אנו יכולים לקבוע את משוואת המטוס באופן הבא:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

לפיכך, יש לנו שהמשוואה של המטוס היא 5x + 2y - z - 9 = 0.

דוגמא 2

מצא את המשוואה של המטוס המכיל את הנקודה P (4, 0, - 2) וזה בניצב לכל אחד מהמטוסים x - y + z = 0 ו 2x + y - 4z - 5 = 0.

בידיעה שווקטור רגיל לציר מישור + על ידי + cz + d = 0 הוא (a, b, c), יש לנו ש (1, -1,1) הוא וקטור נורמלי של x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) הוא וקטור רגיל של 2x + y - 4z - 5 = 0.

לכן וקטור נורמלי למישור המבוקש חייב להיות בניצב ל (1, -1,1) ו (2, 1, - 4). וקטור זה הוא:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

ואז, יש לנו שהמטוס המבוקש הוא זה שמכיל את הנקודה P (4,0, - 2) ויש לו את הווקטור (3,6,3) כקטור רגיל.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

יישומים

חישוב נפח של מקבילי צינור

יישום הכולל את המוצר הסקלרי המשולש הוא להיות מסוגל לחשב את עוצמת הקול של צנרת המקבילה שקצוותיהם ניתנים על ידי הווקטורים A, B ו- C, כפי שמוצג באיור:

אנו יכולים להסיק את היישום הזה באופן הבא: כמו שאמרנו קודם, הווקטור AxB הוא וקטור שהוא נורמלי למישור של A ו- B. יש לנו גם שהווקטור - (AxB) הוא ווקטור אחר שהוא נורמלי למישור זה.

אנו בוחרים את הווקטור הרגיל היוצר את הזווית הקטנה ביותר עם וקטור C; ללא אובדן כלליות, תן ל- AxB להיות הווקטור שהזווית שלו עם C היא הקטנה ביותר.

יש לנו שגם ל- AxB וגם C יש את אותה נקודת התחלה. יתר על כן, אנו יודעים כי שטח המקביל המהווה את בסיס מקבילי הצוואר הוא --xB--. לפיכך, אם גובהו של המקביל לצינורות ניתן על ידי h, יש לנו שהנפח שלו יהיה:

V = --xB - ח.

מצד שני, הבה נבחן את מוצר הנקודה בין AxB ל- C, שניתן לתאר כדלקמן:

עם זאת, על ידי תכונות טריגונומטריות יש לנו כי h = --C - cos (ϴ), כך שיש לנו:

בדרך זו, יש לנו את זה:

באופן כללי, יש לנו שהנפח של מקביל-צינור ניתן בערך המוחלט של המוצר הסקלרי המשולש AxB ∙ C.

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

בהינתן הנקודות P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) ו- S = (2, 6, 9), נקודות אלה מהוות ציר מקביל שקצותיו הם PQ, PR ו- PS. קבע את עוצמת הקול של המקבילה המקוונת.

פִּתָרוֹן

אם ניקח:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

באמצעות נכס המוצר הסקלרי המשולש, יש לנו:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

לפיכך, יש לנו שהנפח של המקבילה המקוונת כאמור הוא 52.

תרגיל 2

קבע את עוצמת הקול של צנרת המקבילה שקצוותיהם ניתנים על ידי A = PQ, B = PR ו- C = PS, כאשר הנקודות P, Q, R ו- S הן (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) ו- (2, 2, 5) בהתאמה.

פִּתָרוֹן

ראשית יש לנו כי A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

אנו מחשבים את AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

ואז אנו מחשבים את AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

לפיכך אנו מסיקים כי נפח מקבילי הצוואר האמור הוא יחידה מעוקב.

הפניות

1. לייטולד, ל '(1992). החישוב בעזרת גיאומטריה אנליטית. הרלה, ס.א.
2. Resnick, R., Halliday, D., and Krane, K. (2001). פיזיקה כרך 1. מקסיקו: קונטיננטל.
3. סאנז, ג '(נ'). חשבון וקטורי 1ed. אֲלַכסוֹן.
4. שפיגל, מר (2011). ניתוח וקטוריאלי 2ed. מק גריי היל.
5. Zill, DG ו- Wright, W. (2011). חישוב מספר משתנים 4. מק גריי היל.