הסתברות לתדרים: מושג, אופן חישובו ודוגמאות - מתמטיקה - 2025

ההסתברות התדירה היא א-definition משנה בתוך בחקר ההסתברות והתופעות שלה. שיטת הלימוד שלו ביחס לאירועים ותכונות מבוססת על כמויות גדולות של איטרציות, ובכך מתבונן במגמה של כל אחת מהן לטווח הרחוק או אפילו חזרות אינסופיות.

לדוגמא, מעטפת גומי מכילה 5 מחקים מכל צבע: כחול, אדום, ירוק וצהוב. אנו רוצים לקבוע את ההסתברות שכל צבע צריך לצאת לאחר בחירה אקראית.

מקור: Pexels

מייגע לדמיין להוציא גומי, לרשום אותו, להחזיר אותו, להוציא גומי ולחזור על אותו הדבר כמה מאות או כמה אלפי פעמים. אולי אפילו תרצו לצפות בהתנהגות לאחר מספר מיליוני איטרציות.

אלא להפך, מעניין לגלות שלאחר מספר חזרות ההסתברות הצפויה של 25% לא מתקיימת במלואה, לפחות לא לכל הצבעים לאחר שהתרחשו 100 איטרציות.

תחת הגישה של הסתברות התדר, הקצאת הערכים תהיה רק ​​באמצעות חקר איטרציות רבות. בדרך זו יש לבצע את התהליך ולרשום רצוי באופן ממוחשב או מחיק.

זרמים מרובים דוחים את הסתברות התדר, טוענים חוסר אמפיריות ואמינות בקריטריונים האקראיים.

כיצד מחושב הסתברות התדר?

על ידי תכנות הניסוי בכל ממשק המסוגל להציע איטרציה אקראית גרידא, ניתן להתחיל ללמוד את הסתברות התדר של התופעה באמצעות טבלת ערכים.

ניתן לראות את הדוגמא הקודמת מגישת התדרים:

הנתונים המספריים תואמים את הביטוי:

N (a) = מספר המופעים / מספר איטרציות

כאשר N (a) מייצג את התדירות היחסית של האירוע "a"

"A" שייך לקבוצת התוצאות האפשריות או לשטח הדגימה Ω

Ω: {אדום, ירוק, כחול, צהוב}

פיזור ניכר מוערך באיטרציות הראשונות, כאשר מתבוננים בתדרים עם הפרשים של עד 30% ביניהם, שהם נתונים מאוד גבוהים לניסוי שיש תיאורטית אירועים עם אותה אפשרות (Equiprobable).

אך ככל שהאיטראציות גדלות, נראה שהערכים מסתגלים יותר ויותר לאלו שמציגים הזרם התיאורטי והגיוני.

חוק המספרים הגדולים

כהסכם בלתי צפוי בין הגישות התיאורטיות והתכיפות, מתעורר החוק של מספרים גדולים. שם נקבע כי לאחר מספר לא מבוטל של איטרציות, ערכי הניסוי התדר מתקרבים לערכים התיאורטיים.

בדוגמה, תוכלו לראות כיצד הערכים מתקרבים ל 0.250 ככל שהאיטרציות גדלות. תופעה זו היא יסודית במסקנות של יצירות הסתברותיות רבות.

מקור: Pexels

גישות אחרות להסתברות

ישנן שתי תיאוריות או גישות אחרות לתפיסת ההסתברות בנוסף להסתברות לתדר .

תיאוריה לוגית

גישתו מכוונת ללוגיקה הדדוקטיבית של תופעות. בדוגמה הקודמת ההסתברות לקבל כל צבע היא 25% באופן סגור. במילים אחרות, הגדרותיהם ואקסיומותיהם אינם מחשיבים פיגורים מחוץ למגוון הנתונים ההסתברותיים שלהם.

תיאוריה סובייקטיבית

זה מבוסס על הידע והאמונות הקודמות שיש לכל אדם לגבי התופעות והתכונות. הצהרות כמו "תמיד יורד גשם בחג הפסחא" נובעות מתבנית של אירועים דומים שהתרחשו בעבר.

הִיסטוֹרִיָה

תחילת יישוםו מתוארכים למאה ה -19, אז ציטט ון בכמה מיצירותיו בקיימברידג 'באנגליה. אולם רק לפני המאה העשרים פיתחו שני מתמטיקאים סטטיסטיים ועיצבו את הסתברות התדר.

אחד מהם היה האנס רייכנבך, שפיתח את עבודתו בפרסומים כמו "תורת ההסתברות" שפורסמה בשנת 1949.

השני היה ריצ'רד פון מיסס, אשר פיתח את עבודתו באמצעות פרסומים מרובים והציע לשקול הסתברות כמדע מתמטי. מושג זה היה חדש במתמטיקה ויכול היה להוביל לעידן של צמיחה בחקר ההסתברות לתדרים .

למעשה, אירוע זה מסמן את ההבדל היחיד בתרומות של דור Venn, Cournot ו- Helm. שם ההסתברות הופכת להיות הומולוגית למדעים כמו גיאומטריה ומכניקה.

<תורת ההסתברות עוסקת בתופעות מאסיביות ובאירועים חוזרים . בעיות שבהן אירוע זהה חוזר שוב ושוב, או שמספר גדול של אלמנטים אחידים מעורבים בו זמנית> ריצ'רד פון מיסס

תופעות המוניות ואירועים חוזרים

ניתן לסווג שלושה סוגים:

• פיזית: הם מצייתים לדפוסי הטבע מעבר למצב של אקראיות. למשל התנהגות המולקולות של אלמנט במדגם.
• סיכוי - השיקול העיקרי שלך הוא אקראיות, כגון גלגול למות שוב ושוב.
• סטטיסטיקה ביולוגית: בחירות של נבדקי מבחן על פי מאפייניהם ותכונותיהם.

בתיאוריה, האדם המודד ממלא תפקיד בנתונים ההסתברותיים, מכיוון שידעו וחוויותיו הם המנסחים ערך זה או תחזית זו.

בשנתי ה הסתברות התדר , האירועים ייחשבו אוספים שיתייחסו, שבו הפרט אינו משחק תפקיד כלשהו להערכה.

תכונות

תכונה מתרחשת בכל אלמנט שיהיה משתנה בהתאם לאופיו. לדוגמה, בסוג התופעה הגופנית, מולקולות המים יהיו בעלות מהירויות שונות.

בגלגול הקוביות אנו מכירים את שטח הדגימה Ω המייצג את תכונות הניסוי.

Ω: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

יש תכונות אחרות כמו להיות אפילו Ω _P או להיות מוזר Ω _אני

Ω _p : {2, 4, 6}

Ω _אני : {1, 3, 5}

אותם ניתן להגדיר כתכונות לא-אלמנטריות.

דוגמא

• אנו רוצים לחשב את התדירות של כל סיכום אפשרי בזריקת שתי קוביות.

לשם כך, מתוכנת ניסוי בו מתווספים שני מקורות לערכים אקראיים בכל איטרציה.

הנתונים נרשמים בטבלה ומגמות במספרים גדולים נלמדות.

נציין כי התוצאות יכולות להשתנות במידה ניכרת בין החזרות. עם זאת, ניתן לראות את חוק המספרים הגדולים בהתכנסות לכאורה שהוצגה בשתי העמודות האחרונות.

הפניות

1. סטטיסטיקות והערכת הוכחות עבור מדענים משפטית. מהדורה שנייה. קולין GG אייקן. בית הספר למתמטיקה. אוניברסיטת אדינבורו, בריטניה
2. מתמטיקה למדעי המחשב. אריק להמן. Google Inc.
   F תומסון לייטון המחלקה למתמטיקה ומעבדת מדעי המחשב ומעבדת AI, מכון מסצ'וסטס לטכנולוגיה; אקאמאי טכנולוגיות
3. המורה האריתמטי, כרך 29. המועצה הלאומית למורים למתמטיקה, 1981. אוניברסיטת מישיגן.
4. למידה והוראה של תורת המספרים: מחקר בקוגניציה והדרכה / בעריכה של סטיבן ר. קמפבל ורינה זזקיס. פרסום Ablex 88 Post Road West, Westport CT 06881
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. רואן: IREM.