משפטו של מויברה: תרגילי הוכחה ופתרון - מתמטיקה - 2025

המשפט של Moivre להחיל אלגברת תהליכים בסיסיים, כגון סמכויות ושורשים לחילוץ במספרים מורכבים. משפט זה נאמר על ידי המתמטיקאי הצרפתי הנודע אברהם דה מויברה (1730), אשר קישר מספרים מורכבים לטריגונומטריה.

אברהם מויברה עשה קשר זה באמצעות ביטויים של הסינוס והקוסינוס. מתמטיקאי זה יצר מעין נוסחה דרכה ניתן להעלות מספר מורכב z לעוצמה n, שהיא מספר שלם חיובי הגדול או שווה ל 1.

מה המשפט של מויברה?

המשפט של מויבר קובע את הדברים הבאים:

אם יש לנו מספר מורכב בצורה הקוטבית z = r _Ɵ , כאשר r הוא המודול של המספר המורכב z, והזווית Ɵ נקראת המשרעת או הארגומנט של כל מספר מורכב עם 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, כדי לחשב את n– כוח זה לא יהיה צורך להכפיל אותו בעצמו n פעמים; כלומר, אין הכרח לייצר את המוצר הבא:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n פעמים.

נהפוך הוא, המשפט אומר שכאשר כותבים z בצורתו הטריגונומטרית, כדי לחשב את הכוח ה- n אנו ממשיכים כך:

אם z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) אז z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

לדוגמה, אם n = 2, אז z ² = r ² . אם n = 3, אז z ³ = z ² _* z. גַם:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

בדרך זו ניתן לקבל את היחס הטריגונומטרי של הסינוס והקוסינוס לכפולות של זווית, כל עוד ידועים יחסי הטריגונומטרי של הזווית.

באותו אופן ניתן להשתמש בו כדי למצוא ביטויים מדויקים יותר ופחות מבלבלים לשורש ה- n של מספר מורכב z, כך ש z ⁿ = 1.

כדי להוכיח את משפט Moivre, נעשה שימוש בעקרון ההשראה המתמטית: אם למספר שלם "a" יש תכונה "P", ואם עבור מספר שלם גדול יותר "n" שיש לו את המאפיין "P". זה ממלא של- n + 1 יש גם את המאפיין "P", אז לכל המספרים השלמים הגדולים או שווים ל- "a" יש את המאפיין "P".

הפגנה

לפיכך, הוכחת המשפט נעשית בצעדים הבאים:

בסיס אינדוקטיבי

זה נבדק תחילה עבור n = 1.

מכיוון ש z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , המשפט מחזיק עבור n = 1.

השערה אינדוקטיבית

ההנחה שהנוסחה נכונה לגבי מספר שלם חיובי, כלומר n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

אימות

זה הוכח כנכון עבור n = k + 1.

מכיוון ש z ^{k + 1} = z ^k _* z, אז z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

ואז מכפילים את הביטויים:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

לרגע מתעלמים מהגורם r ^{k + 1} , ונלקח הגורם הנפוץ i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

מכיוון שאני ² = -1, אנו מחליפים את זה בביטוי ומקבלים:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

כעת מסודרים החלק האמיתי והחלק הדמיוני:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

כדי לפשט את הביטוי, זהויות הטריגונומטריות של סכום הזוויות מוחלות על הקוסינוס והסינוס, שהם:

cos (A + B) = cos A _* cos B - חטא A _* חטא B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

במקרה זה המשתנים הם הזוויות Ɵ ו- kƟ. להחיל את הזהויות הטריגונומטריות יש לנו:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

באופן זה הביטוי הוא:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

כך ניתן להראות שהתוצאה נכונה עבור n = k + 1. לפי העיקרון של אינדוקציה מתמטית, ניתן להסיק שהתוצאה נכונה לכל המספרים השלמים החיוביים; כלומר, n ≥ 1.

מספר שלם שלילי

המשפט של Moivre מיושם גם כאשר n ≤ 0. הבה נבחן מספר שלם שלילי «n»; ואז ניתן לכתוב "n" כ- "m", כלומר n = -m, כאשר "m" הוא מספר חיובי. לכן:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

כדי להשיג את האקספקטנט "m" בצורה חיובית, הביטוי כתוב באופן הפוך:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

עכשיו משתמשים בזה שאם z = a + b * i הוא מספר מורכב, אז 1 ÷ z = ab * i. לכן:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

באמצעות אותו cos (x) = cos (-x) ואותו -sen (x) = sin (-x), יש לנו:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

לפיכך, ניתן לומר כי המשפט חל על כל ערכי המספרים השלמים של "n".

תרגילים שנפתרו

חישוב כוחות חיוביים

אחת הפעולות עם מספרים מורכבים בצורתם הקוטבית היא הכפל בשניים כאלה; במקרה זה המודולים מוכפלים והוויכוחים מתווספים.

אם יש לך שני מספרים מורכבים z _{1 ו-} z ₂ ואתה רוצה לחשב (z ₁ * z ₂ ) ² , המשך כך:

z ₁ z ₂ = *

הנכס החלוקתי חל:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

הם מקובצים, ולוקחים את המונח "i" כגורם נפוץ לביטויים:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

מכיוון שאני ² = -1, הוא מחליף בביטוי:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

המונחים האמיתיים מקושרים עם אמיתי, ודמיוניים עם דמיוניים:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

לבסוף, התכונות הטריגונומטריות חלות:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

לסיכום:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

תרגיל 1

כתוב את המספר המורכב בצורה קוטבית אם z = - 2 -2i. ואז, בעזרת משפט Moivre, חשב את z ⁴ .

פִּתָרוֹן

המספר המורכב z = -2 -2i בא לידי ביטוי בצורה המלבנית z = a + bi, שם:

a = -2.

b = -2.

בידיעה כי הצורה הקוטבית היא z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), עלינו לקבוע את הערך של המודולוס "r" ואת ערך הטענה "Ɵ". מכיוון ש r = √ (a² + b²), הערכים הנתונים מוחלפים:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

לאחר מכן, כדי לקבוע את הערך של «Ɵ», מיושמת הצורה המלבנית של זה, הניתנת על ידי הנוסחה:

שיזוף Ɵ = b ÷ א

שיזוף Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

מכיוון שהשיזוף (Ɵ) = 1 ויש לנו <0, אז יש לנו:

Ɵ = ארקטן (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

מכיוון שכבר הושג הערך של "r" ו- "Ɵ", ניתן לבטא את המספר המורכב z = -2 -2i בצורה קוטבית על ידי החלפת הערכים:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

כעת אנו משתמשים במשפט של Moivre כדי לחשב את z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

תרגיל 2

מצא את המוצר של המספרים המורכבים על ידי ביטויו בצורה קוטבית:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

ואז חשב (z1 * z2) ².

פִּתָרוֹן

ראשית נוצר המוצר של המספרים הנתונים:

z ₁ z ₂ = *

ואז המודולים מוכפלים זה עם זה, והוויכוחים מתווספים:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

הביטוי מפושט:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

לבסוף, משפטו של מויבר חל:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

חישוב כוחות שליליים

כדי לחלק שני מספרים מורכבים z _{1 ו-} z ₂ בצורתם הקוטבית, המודולוס מחולק והוויכוחים מופרעים. לפיכך, המנה היא z ₁ ÷ z ₂ והיא באה לידי ביטוי באופן הבא:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

כמו במקרה הקודם, אם ברצוננו לחשב (z1 ÷ z2) ³, תחילה מתבצעת החלוקה ואז משתמשים במשפט של Moivre.

תרגיל 3

קוביות:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

חשב (z1 ÷ z2) ³.

פִּתָרוֹן

בעקבות הצעדים שתוארו לעיל ניתן להסיק כי:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

הפניות

1. ארתור גודמן, LH (1996). אלגברה וטריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.
2. Croucher, M. (nd). מתוך משפטו של מויבר לזהות טריג. פרויקט הפגנות וולפרם.
3. Hazewinkel, M. (2001). אנציקלופדיה מתמטיקה.
4. מקס פיטרס, WL (1972). אלגברה וטריגונומטריה.
5. פרז, CD (2010). פירסון חינוך.
6. סטנלי, ג '(נ'). אלגברה ליניארית. גרא-היל.
7. , M. (1997). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.