משפט קיום וייחודיות: הוכחה, דוגמאות ותרגילים - מתמטיקה - 2025

משפט קיום ויחידות קובע את תנאי שקול עבור משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, עם מצב התחלתי נתון, יש פתרון עבור פתרון להיות רק אחד.

עם זאת, המשפט אינו נותן שום טכניקה או אינדיקציה כיצד למצוא פיתרון כזה. משפט הקיום והייחודיות מורחב גם למשוואות דיפרנציאליות בסדר גודל גבוה יותר עם תנאים ראשוניים, הידועים כבעיית הקאוצ'י.

איור 1. משוואה דיפרנציאלית עם המצב הראשוני והפתרון שלה מוצגת. משפט הקיום והייחודיות מבטיח שהוא הפיתרון היחיד האפשרי.

ההצהרה הרשמית על משפט הקיום והייחודיות היא כדלקמן:

"עבור משוואה דיפרנציאלית y '(x) = f (x, y) עם התנאי ההתחלתי y (a) = b, קיים לפחות פיתרון אחד באזור מלבני של מישור ה- XY שמכיל את הנקודה (a, b), אם f (x, y) הוא רציף באזור זה. ואם הנגזרת החלקית של f ביחס ל y: g = ∂f / ∂y היא רציפה באותו אזור מלבני, אז הפיתרון הוא ייחודי בשכונה של הנקודה (a, b) הכלולה באזור ההמשכיות של fy ז. "

התועלת של משפט זה נעוצה קודם כל בידיעה מהם האזורים במישור ה- XY בהם יכול להיות פיתרון, וכן בידיעה אם הפיתרון שנמצא הוא היחיד האפשרי או אם ישנם אחרים.

שים לב כי במקרה שמצב הייחודיות לא מתקיים, המשפט לא יכול לחזות כמה פתרונות בסך הכל יש לבעיית הקאוצ'י: אולי זה אחד, שניים או יותר.

הוכחת קיום ומשפט הייחודיות

איור 2. תרשים 2. צ'רלס אמיל פיקארד (1856-1941) זוכה באחת מההוכחות הראשונות למשפט הקיום והייחודיות. מקור: Wikimedia Commons.

למשפט זה ידועות שתי הוכחות אפשריות, אחת מהן היא ההוכחה של צ'רלס אמיל פיקארד (1856-1941) והשנייה נובעת מג'וזפה פיאנו (1858-1932) המבוססת על יצירותיו של אוגוסטין לואי קאוצ'י (1789-1857) .

ראוי לציין כי המוחות המתמטיים המבריקים ביותר של המאה התשע-עשרה השתתפו בהוכחת משפט זה, כך שניתן להניח שאף אחד מהם אינו פשוט.

כדי להוכיח את המשפט באופן רשמי, יש לבסס תחילה סדרה של מושגים מתמטיים מתקדמים יותר, כמו פונקציות מסוג ליפשיץ, מרחבי בנך, משפט הקיום של קרת'ודורי, ועוד כמה אחרים, שהם מעבר לתחום המאמר.

חלק גדול מהמשוואות הדיפרנציאליות המטופלות בפיזיקה עוסקות בתפקודים רציפים באזורים המעניינים, לכן נגביל את עצמנו להראות כיצד מיושמים המשפט במשוואות פשוטות.

דוגמאות

- דוגמה 1

הבה נבחן את המשוואה ההפרשית הבאה עם תנאי ראשוני:

y '(x) = - y; עם y (1) = 3

האם יש פיתרון לבעיה זו? האם זה הפיתרון האפשרי היחיד?

תשובות

מלכתחילה, מעריכים את קיומו של פיתרון המשוואה הדיפרנציאלית וכי הוא גם מקיים את התנאי הראשוני.

בדוגמה זו f (x, y) = - ומצב הקיום מחייב לדעת אם f (x, y) הוא רציף באזור מישור ה- XY המכיל את נקודת הקואורדינטות x = 1, y = 3.

אבל f (x, y) = - y הוא פונקציית ה affine, שהיא רציפה בתחום המספרים האמיתיים וקיימת בכל טווח המספרים האמיתיים.

לכן המסקנה היא ש- f (x, y) הוא רציף ב- R ² , כך שהמשפט מבטיח קיומו של פתרון אחד לפחות.

בידיעה זו, יש צורך להעריך אם הפיתרון הוא ייחודי, או להפך, יש יותר מאחד. לשם כך יש לחשב את הנגזרת החלקית של f ביחס למשתנה y:

ואז g (x, y) = -1 שהיא פונקציה קבועה, שמוגדרת גם עבור כל R ² וגם היא רציפה שם. מכאן עולה כי משפט הקיום והייחודיות מבטיח שלבעיית ערך ראשוני זו אכן יש פיתרון ייחודי, אם כי היא אינה אומרת לנו מה היא.

- דוגמא 2

שקול את משוואת ההפרש הרגילה הבאה מהסדר הראשון עם המצב הראשוני:

y '(x) = 2√y; ו- (0) = 0.

האם יש פיתרון y (x) לבעיה זו? אם כן, קבע אם יש אחד או יותר מאחד.

תשובה

אנו מחשיבים את הפונקציה f (x, y) = 2√y. הפונקציה f מוגדרת רק עבור y≥0, מכיוון שאנחנו יודעים שמספר שלילי חסר שורש אמיתי. יתר על כן, f (x, y) הוא רציף במישור החצי העליון של R ² כולל ציר ה- X, ולכן קיום ומשפט הייחודיות מבטיח לפחות פיתרון אחד באזור זה.

כעת התנאי ההתחלתי x = 0, y = 0 נמצא בקצה אזור הפתרונות. ואז אנו לוקחים את הנגזרת החלקית של f (x, y) ביחס ל- y:

∂f / ∂y = 1 / √y

במקרה זה הפונקציה אינה מוגדרת עבור y = 0, בדיוק היכן שהתנאי הראשוני נמצא.

מה המשפט אומר לנו? זה אומר לנו שלמרות שאנו יודעים שיש לפחות פיתרון אחד במישור החצי העליון של ציר ה- X, כולל ציר ה- X, מכיוון שלא מתקיים תנאי הייחודיות, אין ערובה לכך שיהיה פיתרון ייחודי.

פירוש הדבר שיכול להיות פיתרון אחד או יותר מאחד ההמשכיות של f (x, y). וכמו תמיד, המשפט לא אומר לנו מה הם יכולים להיות.

תרגילים שנפתרו

- תרגיל 1

לפתור את הבעיה הקאוצ'י בדוגמה 1:

y '(x) = - y; עם y (1) = 3.

מצא את הפונקציה y (x) המספקת את משוואת ההפרש ואת המצב הראשוני.

פִּתָרוֹן

בדוגמה 1 נקבע כי לבעיה זו יש פיתרון והיא גם ייחודית. כדי למצוא את הפיתרון, הדבר הראשון שצריך לשים לב הוא שמדובר במשוואה דיפרנציאלית מדרגה ראשונה של משתנים נפרדים, שנכתבת באופן הבא:

חלוקה בין שני החברים ובשני כדי להפריד בין המשתנים שיש לנו:

האינטגרל הבלתי מוגדר מיושם בשני החברים:

פתרון האינטגרלים הבלתי מוגדרים שיש לנו:

כאשר C הוא קבוע של אינטגרציה שנקבע על ידי התנאי הראשוני:

החלפת ערך C וסידורו מחדש נותרת:

החלת המאפיין הבא של לוגריתמים:

ניתן לכתוב מחדש את הביטוי שלמעלה:

הפונקציה המעריכית עם בסיס e בשני החברים מוחלת לקבלת:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

המקבילה ל:

y = 3e e ^-x

זהו הפיתרון הייחודי של המשוואה y '= -y עם y (1) = 3. הגרף של פיתרון זה מוצג באיור 1.

- תרגיל 2

מצא שני פתרונות לבעיה המוצגת בדוגמה 2:

y '(x) = 2√ (y); ו- (0) = 0.

פִּתָרוֹן

זוהי גם משוואה של משתנים נפרדים, שנכתבים בצורה דיפרנציאלית נראים כך:

dy / √ (y) = 2 dx

נטילת האינטגרל הבלתי מוגדר בשני החברים נותרה:

2 √ (y) = 2 x + C

מכיוון שאנו יודעים כי y≥0 באזור הפתרונות יש לנו:

y = (x + C) ²

אך מכיוון שהתנאי ההתחלתי x = 0, y = 0 חייב להתקיים, אז הקבוע C הוא אפס והפתרון הבא נשאר:

y (x) = x ² .

אך פיתרון זה אינו ייחודי, הפונקציה y (x) = 0 היא גם פיתרון לבעיה שהוצגה. משפט הקיום והייחודיות החלים על בעיה זו בדוגמה 2 כבר חזה שיכול להיות יותר מפיתרון אחד.

הפניות

1. קודדינגטון, ארל א .; לוינסון, נורמן (1955), תיאוריה של משוואות דיפרנציאליות רגילות, ניו יורק: מקגרו-היל.
2. אנציקלופדיה למתמטיקה. משפט קוצ'י-ליפשיץ. התאושש מ: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'Application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; מגיע rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. כרך 116, 1894, עמ '. 454–457. התאושש מ: gallica.bnf.fr.
4. ויקיפדיה. שיטת הקירוב הרצופה של פיקארד. התאושש מ: es.wikipedia.com
5. ויקיפדיה. משפט פיקארד-לינדלף. התאושש מ: es.wikipedia.com.
6. זיל, ד. 1986. משוואות דיפרנציאליות יסודיות עם יישומים. אולם פרנטיס.