התפלגות היפרגאומטרית: נוסחאות, משוואות, מודל - דודס - 2025

ההתפלגות ההיפר - גיאומטרית היא פונקציה סטטיסטית בדידה, המתאימה לחישוב ההסתברות בניסויים אקראיים עם שתי תוצאות אפשריות. התנאי שנדרש להחיל אותו הוא שמדובר באוכלוסיות קטנות, בהן לא מוחלפות המשיכות וההסתברויות אינן קבועות.

לפיכך, כאשר נבחר אלמנט באוכלוסייה לדעת את התוצאה (האמיתית או השגויה) של מאפיין מסוים, לא ניתן לבחור באותו יסוד שוב.

איור 1. באוכלוסיית בורג כמו זו יש ללא ספק דגימות פגומות. מקור: Pixabay.

בהחלט, האלמנט הבא שנבחר עשוי אפוא לקבל תוצאה אמיתית, אם לאלמנט הקודם הייתה תוצאה שלילית. משמעות הדבר היא שההסתברות משתנה ככל שמוצאים אלמנטים מהמדגם.

היישומים העיקריים של ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית הם: בקרת איכות בתהליכים עם מעט אוכלוסייה וחישוב ההסתברויות במשחקי המקריות.

באשר לפונקציה המתמטית המגדירה את ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית, היא מורכבת משלושה פרמטרים שהם:

- מספר גורמי אוכלוסייה (N)

- גודל מדגם (מ ')

- מספר האירועים בכל האוכלוסייה עם תוצאה חיובית (או לא חיובית) של המאפיין הנחקר (n).

נוסחאות ומשוואות

הנוסחה להתפלגות ההיפר-גיאומטרית נותנת את ההסתברות ל- P כי מתרחשים מקרים חיוביים של מאפיין מסוים. הדרך לכתוב את זה במתמטיקה, על בסיס המספרים הקומבינטוריים היא:

בביטוי הקודם N, n ו- m הם פרמטרים ו- x הוא המשתנה עצמו.

- סך האוכלוסייה היא נ.

מספר התוצאות החיוביות של מאפיין בינארי מסוים ביחס לכלל האוכלוסייה הוא n.

כמות האלמנטים במדגם היא מ.

במקרה זה, X הוא משתנה אקראי שלוקח את הערך x ו- P (x) מציין את ההסתברות להתרחשות של מקרים חיוביים של המאפיין שנחקר.

משתנים סטטיסטיים חשובים

משתנים סטטיסטיים אחרים להתפלגות ההיפר-גיאומטרית הם:

- ממוצע μ = m * n / N

- שונות σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- סטיית תקן σ שהיא השורש הריבועי של השונות.

דגם ותכונות

כדי להגיע למודל ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית, אנו מתחילים מההסתברות להשיג x מקרים חיוביים במדגם בגודל m. מדגם זה מכיל אלמנטים התואמים את הנכס הנחקר ואלמנטים שלא.

נזכיר כי n מייצג את מספר המקרים החיוביים בכלל האוכלוסייה של אלמנטים N. ואז יחושב ההסתברות כך:

מבטא את האמור לעיל בצורה של מספרים קומבינטוריים, מושג מודל חלוקת ההסתברות הבא:

המאפיינים העיקריים של ההתפלגות ההיפר-גאומטרית

הם כדלקמן:

- המדגם חייב להיות קטן תמיד, גם אם האוכלוסייה גדולה.

- יסודות המדגם מופקים בזה אחר זה, מבלי לשלב אותם בחזרה באוכלוסייה.

- המאפיין שנלמד הוא בינארי, כלומר הוא יכול לקחת שני ערכים בלבד: 1 או 0, או נכון או לא נכון.

בכל שלב מיצוי אלמנטים ההסתברות משתנה בהתאם לתוצאות הקודמות.

קירוב באמצעות התפוצה הבינומית

מאפיין נוסף של ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית הוא שניתן לקרב אותו על ידי ההתפלגות הבינומית, המכונה Bi, כל עוד האוכלוסייה N גדולה וגדולה לפחות פי 10 מהדגם m. במקרה זה זה נראה כך:

ההסתברות ש- x = 3 ברגים במדגם לקויים היא: P (500, 5, 60, 3) = 0.0129.

מצדו, ההסתברות ש- x = 4 ברגים מתוך שישים של הדגימה לקויים הוא: P (500, 5, 60; 4) = 0.0008.

לבסוף, ההסתברות ש- x = 5 ברגים במדגם זה לקויים הוא: P (500, 5, 60; 5) = 0.

אבל אם ברצונך לדעת את ההסתברות שבדגימה זו ישנם יותר משלושה ברגים פגומים, עליכם להשיג את ההסתברות המצטברת, להוסיף:

דוגמה זו ממחישה באיור 2, המתקבלת באמצעות GeoGebra, תוכנה חינמית הנמצאת בשימוש נרחב בבתי ספר, מכונים ואוניברסיטאות.

איור 2. דוגמה להתפלגות היפר-גיאומטרית. הוכן על ידי פ. זפטה עם GeoGebra.

דוגמא 2

סיפון ספרדי כולל 40 קלפים, מתוכם 10 עם זהב והשאר הנותרים אינם. נניח ש 7 קלפים נמשכים באופן אקראי מאותו הסיפון, שאינם משולבים מחדש בסיפון.

אם X הוא מספר הזהובים המופיעים ב -7 הקלפים המצוירים, אז ההסתברות שיהיו לכם זהב זהב x במשיכה של 7 קלפים ניתנת על ידי החלוקה ההיפר-גיאומטרית P (40,10,7; x).

בואו נראה זאת כך: כדי לחשב את ההסתברות שיש 4 זהבבים במשיכה של 7 קלפים אנו משתמשים בנוסחה של ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית בערכים הבאים:

והתוצאה היא: 4.57% הסתברות.

אבל אם אתה רוצה לדעת את ההסתברות לקבל יותר מארבעה קלפים, עליך להוסיף:

תרגילים שנפתרו

מערך התרגילים הבא נועד להמחיש ולהטמיע את המושגים שהוצגו במאמר זה. חשוב שהקורא ינסה לפתור אותם בכוחות עצמו, לפני שהוא מסתכל על הפיתרון.

תרגיל 1

מפעל קונדומים מצא כי מכל 1000 קונדומים המיוצרים על ידי מכונה מסוימת, 5 פגומים. לבקרת איכות נלקחים 100 קונדומים באופן אקראי והמגרש נדחה אם יש לפחות פגום אחד או יותר. תשובה:

א) מהי האפשרות שהרבה 100 יושלכו?

ב) האם קריטריון בקרת איכות זה יעיל?

פִּתָרוֹן

במקרה זה, יופיעו מספרים קומבינטוריים גדולים מאוד. החישוב קשה, אלא אם כן יש לך חבילת תוכנה מתאימה.

אך מכיוון שמדובר באוכלוסייה גדולה והמדגם קטן פי עשרה מכלל האוכלוסייה, אפשר להשתמש בקירוב ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית על ידי התפוצה הבינומית:

בביטוי לעיל C (100, x) הוא מספר קומבינטורי. אז ההסתברות שיש ליותר מפגום אחד תחושב כך:

זו קירבה מצוינת, אם משווים אותה לערך המתקבל על ידי יישום ההתפלגות ההיפר-גיאומטרית: 0.4102

ניתן לומר כי עם הסתברות של 40%, יש למחוק אצווה של 100 תרופות מונעות, שאינן יעילות במיוחד.

עם זאת, בהיותם מעט פחות תובעניים בתהליך בקרת האיכות והשלכת המגרש של 100 רק אם ישנם שני פגמים או יותר, אז ההסתברות למחיקת החלקה תיפול ל -8% בלבד.

תרגיל 2

מכונת בלוקים מפלסטיק עובדת בצורה כזו שמתוך כל 10 חלקים, אחת יוצאת מעוותת. במדגם של 5 חלקים, מה הסיכוי שרק חתיכה אחת פגומה?

פִּתָרוֹן

אוכלוסייה: N = 10

מספר הפגמים עבור כל N: n = 1

גודל מדגם: m = 5

לכן ישנה סבירות של 50% כי במדגם של 5, יעצור חסימת גוש.

תרגיל 3

בפגישה של בוגרי תיכון צעירים יש 7 נשים ושישה רבותיי. בקרב הבנות, 4 חוקרות מדעי הרוח ושלושה מדעים. בקבוצת הנערים 1 חקר מדעי הרוח ו -5 מדעים. חשב את הדברים הבאים:

א) בחירת שלוש בנות באופן אקראי: עד כמה סביר שכולן לומדות מדעי הרוח?

ב) אם נבחרים באופן אקראי שלושה משתתפים בפגישת החברים: מה האפשרות ששלושה מהם, בלי קשר למגדר, לומדים מדע את השלוש, או מדעי הרוח גם את השלושה?

ג) בחרו כעת שני חברים באקראי וקראו ל- x המשתנה האקראי "מספר של חוקר מדעי הרוח". בין השניים שנבחרו, קבעו את הערך הממוצע או הצפוי של x ואת השונות σ ^ 2.

פתרון ל

הערכים לשימוש כעת הם:

אוכלוסייה: N = 14

הכמות שלומדת אותיות היא: n = 6 וה-

גודל המדגם: m = 3.

מספר חברים שלומדים מדעי הרוח: x

על פי זה, x = 3 פירושו כי שלושתם חוקרים מדעי הרוח, אולם x = 0 פירושם שאף אחד לא חוקר מדעי הרוח. ההסתברות ששלושתם לומדים אותו נתונה בסכום:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0.0560 + 0.1539 = 0.2099

אז יש לנו הסתברות של 21% כי שלושה משתתפים בפגישה, שנבחרו באקראי, ילמדו את אותו הדבר.

פיתרון ג

כאן יש לנו את הערכים הבאים:

N = 14 אוכלוסיית החברים הכוללת, n = 6 המספר הכולל באוכלוסייה החוקרת מדעי הרוח, גודל המדגם הוא m = 2.

התקווה היא:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0.8572

והשונות:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * ( 14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / ( 13) = 0.4521

הפניות

1. התפלגויות הסתברות בדידות. התאושש מ: biplot.usal.es
2. סטטיסטיקה והסתברות. התפלגות היפרגאומטרית. התאושש מ: projectdescartes.org
3. CDPYE-UGR. התפלגות היפרגאומטרית. התאושש מ: ugr.es
4. גאוגברה. גיאוגרפיה קלאסית, חשבון הסתברות. התאושש מ- geogebra.org
5. נסה בקלות. נפתרו בעיות בהפצה היפר-גיאומטרית. התאושש מ: probafacil.com
6. מיניטאב. התפלגות היפרגאומטרית. התאושש מ: support.minitab.com
7. אוניברסיטת ויגו. התפלגויות דיסקרטיות עיקריות. התאושש מ: anapg.webs.uvigo.es
8. Vitoror. סטטיסטיקה וקומבינטוריקה. התאושש מ: vitutor.net
9. ויסשטיין, אריק וו. הפצה היפרגאומטרית. התאושש מ: mathworld.wolfram.com
10. ויקיפדיה. התפלגות היפרגאומטרית. התאושש מ: es.wikipedia.com