וקטורים במקביל: מאפיינים, דוגמאות ותרגילים - מתמטיקה - 2025

הווקטורים המקבילים הם קבוצות וקטורים אשר צירים חופפים בנקודה אחת, ויצר בין כל זוג זווית אחרת פנימית וחיצונית. דוגמה ברורה נראית באיור שלהלן, שם A, B ו- C הם ווקטורים במקביל זה לזה.

D ו- E בשונה מהשאר אינם. ישנן זוויות הנוצרות בין הווקטורים המקבילים AB, AC ו- CB. הם נקראים זוויות יחסים בין הווקטורים.

מאפיינים

יש להם נקודה משותפת, שתואמת את מקורם: כל גודל הווקטורים המקבילים מתחילים מנקודה משותפת לקצותיהם.

-המקור נחשב כנקודת הפעולה של הווקטור: יש לקבוע נקודת פעולה שתושפע ישירות מכל אחד מהווקטורים במקביל.

תחום -Its במישור ובמרחב הוא R ² ו R ³ בהתאמה: הווקטורים המקבילים חופשיים לכסות את המרחב הגיאומטרי כל.

מאפשר הרשאות שונות באותה קבוצת וקטורים. על פי ענפי המחקר, סימנים שונים קיימים בפעולות עם וקטורים.

סוגי וקטורים

לענף הווקטורים יש חלוקות משנה מרובות, ובחלקן ניתן לכנותן: מקבילות, בניצב, מזויף, תואמות, הפוכות ויחידות. וקטורים מקבילים מופיעים כאן, וכמו כל אלה שצוינו לעיל, יש להם יישומים רבים במדעים שונים.

הם נפוצים מאוד בחקר הווקטורים, מכיוון שהם מייצגים הכללה מועילה בפעולות עימם. הן במטוס והן בחלל, וקטורים מקבילים משמשים בדרך כלל לייצוג אלמנטים שונים ובוחנים את השפעתם על מערכת מסוימת.

סימון וקטורי

ישנן מספר דרכים לייצג אלמנט וקטורי. העיקרי והידוע ביותר הוא:

קרטזית

לפי אותה גישה מתמטית זהה, הוא מציין את הווקטורים עם משולש התואם את גודל כל ציר (x, y, z)

ת: (1, 1, -1) שטח A: (1, 1) מטוס

קוֹטבִי

הם משמשים רק לציון וקטורים במישור, אם כי בחשבון האינטגרלי מוקצה לו מרכיב העומק. הוא מורכב בעוצמה ליניארית r וזווית ביחס לציר הקוטבי Ɵ.

ת: (3, 45 ⁰ ) מטוס א: (2, 45 ⁰ , 3) שטח

אנליטיים

הם מגדירים את גודל הווקטור באמצעות הפסוקים. הפסוקים (i + j + k) מייצגים את וקטורי היחידה המתאימים לצירים X, Y ו-

ת: 3i + 2j - 3k

כַּדוּרִי

הם דומים לציון קוטבי, אך עם תוספת של זווית שנייה הגולשת מעל מישור ה- x המסומל על ידי δ.

ת: (4, 60 ^או , π / 4)

פעולות וקטוריות במקביל

וקטורים במקביל משמשים לרוב להגדרת פעולות בין וקטורים, מכיוון שקל יותר להשוות בין יסודות הווקטורים כאשר הם מוצגים במקביל.

סכום (A + B)

סכום הווקטורים במקביל נועד למצוא את הווקטור V _R שהתקבל . אשר, לפי ענף המחקר, תואם פעולה סופית

לדוגמא: 3 מיתרים {A, B, C} קשורים לתיבה, כל קצה המיתר מוחזק על ידי נושא אחד. כל אחד משלושת הנבדקים חייב למשוך את החבל בכיוון אחר מזה השני.

ת: (גרזן, איי, az) B: (bx, על ידי, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (גרזן + bx + cx; ay + על ידי + cy; az + bz + cz) = V _r

התיבה תוכל לנוע בכיוון אחד בלבד, ולכן V _r יציין את הכיוון ואת כיוון תנועת התיבה.

הבדל (א - ב)

ישנם קריטריונים רבים ביחס להבדל בין וקטורים, מחברים רבים בוחרים להחריג אותו וקובעים כי נקבע רק הסכום בין וקטורים, כאשר ההבדל הוא בערך סכום הווקטור ההפוך. האמת היא שניתן לחסוך וקטורים באלגבריה.

ת: (גרזן, אה, az) B: (bx, על ידי, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; a-by; az-bz) =

מוצר סקלרי (A. B)

המכונה גם מוצר נקודה, הוא מייצר ערך סקלרי שיכול להיות קשור לעוצמות שונות בהתאם לענף המחקר.

עבור הגיאומטריה, ציין את שטח המקביל שנוצר על ידי זוג הווקטורים המקבילים בשיטת המקביל. בפיזיקה מכנית היא מגדירה את העבודה שנעשה על ידי כוח F בעת העברת גוף למרחק Δr.

ѡ = F . Δr

כשמו כן הוא מייצר ערך סקלרי ומוגדר כך:

תנו לווקטורים A ו- B להיות

ת: (גרזן, אה, az) B: (bx, על ידי, bz)

צורה אנאליטית:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

כאשר θ הוא הזווית הפנימית בין שני הווקטורים

-אלגברי צורה:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

מוצר צולב (A x B)

מוצר הווקטור או המוצר נקוד בין שני וקטורים, מגדיר וקטור שלישי C בעל האיכות של להיות בניצב B ו- C . בפיזיקה, וקטור המומנט τ הוא יסוד הבסיס של הדינמיקה הסיבובית.

צורה אנאליטית:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-אלגברי צורה:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (Ax. Bz - az. Bx) j + (Ax. By - ay. Bx) k

-תנועה יחסית: r _{A / B}

בסיס היחסות הוא תנועה יחסית וקטורים במקביל הם הבסיס לתנועה יחסית. ניתן להסיק עמדות יחסית, מהירות ותאוצות על ידי יישום סדר הרעיונות הבא.

r _{A / B} = r _A - r _B ; עמדה יחסית של A ביחס ל B

v _{A / B} = v _A - v _B ; מהירות יחסית של A ביחס ל B

_{A / B} = a - A _B ; תאוצה יחסית של A ביחס ל B

דוגמאות: תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

תן ל- A, B ו- C להיות וקטורים במקביל.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

- הגדר את הווקטור שהתקבל V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

הגדר את מוצר הנקודה (A. C)

(A.C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(א. ג) = 3

חישוב הזווית בין A ל- C

(A.C) = -A -.- C-. Cos θ כאשר θ הוא הזווית הקצרה ביותר בין הווקטורים

θ = 88.63 ⁰

- מצא וקטור בניצב A ו- B

לשם כך, יש להגדיר את המוצר הווקטורי בין (-1, 3, 5) ל- (3, 5, -2). כפי שהוסבר קודם, בנויה מטריצה ​​בגודל 3 x 3 במקום בו השורה הראשונה מורכבת מקטורי היחידה המשולשת (i, j, k). ואז השורות השנייה וה -3 מורכבות מהווקטורים לתפעול, תוך כיבוד הסדר המבצעי.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

תרגיל 2

תן ל- V _a ו- V _{b להיות} וקטורי המהירות של A ו- B בהתאמה. חשב את מהירות B שנראתה מ- A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

במקרה זה מתבקשת המהירות היחסית של B ביחס ל- A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

זהו וקטור המהירות של B הנראה מ- A. כאשר מתואר וקטור חדש למהירות B תוך התייחסות מצופה המוצב ב- A ונע במהירות המהירה של A.

תרגילים מוצעים

1-בניית 3 ווקטורים A, B ו- C שהם במקביל ומקשרים 3 פעולות ביניהם באמצעות תרגיל מעשי.

2-תן את הווקטורים A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) ו- C: (-2, -1, 10). מצא וקטורים בניצב: A ו- B, C ו- B, הסכום A + B + C.

4-קבעו 3 ווקטורים הניצבים זה לזה, מבלי לקחת בחשבון את צירי הקואורדינטות.

הגדר את העבודה שנעשתה על ידי כוח שמריף גוש המסה 5 ק"ג מתחתית בור 20 מ '.

6-הראה באופן אלגברי כי חיסור הווקטורים שווה לסכום של הווקטור ההפוך. הצדק את המוצגים שלך.

7 - ציין וקטור בכל הסימנים שפותחו במאמר זה. (קרטזית, קוטבית, אנליטית וכדורית).

8 - הכוחות המגנטיים המופעלים על מגנט שנשען על השולחן, ניתנים על ידי הווקטורים הבאים; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). קבע לאיזה כיוון המגנט ינוע אם כל הכוחות המגנטיים פועלים במקביל.

הפניות

1. גיאומטריה אוקלידית והטרנספורמציות. קלייטון וו. דודג '. תאגיד השליחויות, 1 בינואר 2004
2. כיצד לפתור בעיות מתמטיקה יישומיות ל. מויסייביץ '. תאגיד השליחויות, 10 באפריל 2013
3. מושגים בסיסיים בגיאומטריה. וולטר פרנוביץ, מאייר ג'ורדן. Rowman & Littlefield, 4 באוקטובר. 2012
4. וקטורים. Rocío Navarro Lacoba, 7 ביוני. 2014
5. אלגברה ליניארית. ברנרד קולמן, דייוויד ר. היל. פירסון חינוך, 2006