כלל אמפירי: כיצד ליישם אותו, למה הוא מיועד, תרגילים שנפתרו - דודס - 2025

כלל האצבע הוא תוצאה של ניסיון מעשי והתבוננות בחיים האמיתיים. לדוגמא, ניתן לדעת אילו מינים של ציפורים ניתן לצפות במקומות מסוימים בכל עת של השנה ומאותה תצפית ניתן לקבוע "כלל" המתאר את מחזורי החיים של ציפורים אלה.

בסטטיסטיקה, הכלל האמפירי מתייחס לאופן בו התצפיות מקובצות סביב ערך מרכזי, הממוצע או הממוצע, ביחידות של סטיית תקן.

נניח שיש לנו קבוצה של אנשים שגובהם הממוצע הוא 1.62 מטר וסטיית תקן של 0.25 מטר, אז הכלל האמפירי יאפשר לנו להגדיר, למשל, כמה אנשים יהיו במרווח של הממוצע פלוס מינוס סטיית תקן אחת?

על פי הכלל, 68% מהנתונים הם פחות או יותר סטיית תקן אחת מהממוצע, כלומר, 68% מהאנשים בקבוצה יהיו בעלי גובה בין 1.37 (1.62-0.25) לבין 1.87 (1.62 + 0.25 ) מטרים.

מאיפה מגיע הכלל האמפירי?

הכלל האמפירי הוא הכללה של משפט צ'בישייב וההפצה הנורמלית.

משפט טשבישוב

המשפט של טשובישייב אומר כי: עבור ערך כלשהו של k> 1, ההסתברות שמשתנה אקראי נמצא בין הממוצע מינוס k כפול סטיית התקן, לבין הממוצע פלוס k פעמים, סטיית התקן גדולה או שווה ל ( 1 - 1 / k ² ).

היתרון של משפט זה הוא שהוא מיושם על משתנים אקראיים בדידים או רציפים עם חלוקת הסתברות כלשהי, אך הכלל המוגדר ממנו לא תמיד מדויק במיוחד, מכיוון שהוא תלוי בסימטריה של ההתפלגות. ככל שההתפלגות של המשתנה האקראי אסימטרית יותר, כך שההתנהגות שלו פחות מותאמת לכלל.

הכלל האמפירי שהוגדר מתוך משפט זה הוא:

אם k = √2, אומרים כי 50% מהנתונים נמצאים במרווח:

אם k = 2, אומרים כי 75% מהנתונים נמצאים במרווח:

אם k = 3, אומרים כי 89% מהנתונים נמצאים במרווח:

התפלגות רגילה

ההתפלגות הרגילה, או הפעמון הגאוסי, מאפשרת לקבוע את הכלל האמפירי או את הכלל 68 - 95 - 99.7.

הכלל מבוסס על ההסתברויות להתרחשות משתנה אקראי במרווחי זמן בין הממוצע לסטיית תקן אחת, שתיים או שלוש לבין הממוצע פלוס סטיות תקן אחת, שתיים או שלוש.

הכלל האמפירי מגדיר את המרווחים הבאים:

68.27% מהנתונים נמצאים במרווח:

95.45% מהנתונים נמצאים במרווח:

99.73% מהנתונים נמצא במרווח:

באיור ניתן לראות כיצד מרווחים אלו מוצגים והקשר ביניהם כאשר מגדילים את רוחב בסיס הגרף.

שלטון אמפירי. Melikamp התקינה של המשתנה האקראי, כלומר הביטוי של המשתנה האקראי מבחינת ה- z או המשתנה הרגיל הרגיל, מפשט את השימוש בכלל האמפירי, שכן למשתנה z יש ממוצע שווה לאפס וסטיית תקן שווה לאחת .

לפיכך, יישום הכלל האמפירי בסולם המשתנה הרגיל, z, מגדיר את המרווחים הבאים:

68.27% מהנתונים נמצאים במרווח:

95.45% מהנתונים נמצאים במרווח:

99.73% מהנתונים נמצא במרווח:

כיצד ליישם את הכלל האמפירי?

הכלל האמפירי מאפשר חישובים מקוצרים בעבודה עם תפוצה רגילה.

נניח שלקבוצה של 100 סטודנטים במכללה גיל ממוצע של 23 שנים, עם סטיית תקן של שנתיים. איזה מידע מאפשר הכלל האמפירי להשיג?

החלת הכלל האמפירי כרוכה בביצוע הצעדים:

1- בנו את מרווחי הכלל

מכיוון שהממוצע הוא 23 והסטיית התקן היא 2, אזי המרווחים הם:

= =

= =

= =

2- חשב את מספר התלמידים בכל מרווח לפי האחוזים

(100) * 68.27% = 68 תלמידים בערך

(100) * 95.45% = 95 סטודנטים בערך

(100) * 99.73% = 100 תלמידים בערך

3 - מרווחי גיל קשורים למספר התלמידים ומפרש

לפחות 68 סטודנטים הם בני 21-25.

לפחות 95 סטודנטים הם בני 19 עד 27.

כמעט 100 סטודנטים הם בני 17-29.

לשם מה נוקט כלל האצבע?

הכלל האמפירי הוא דרך מהירה ומעשית לנתח נתונים סטטיסטיים, הופך להיות אמין יותר ויותר ככל שמתקרבת הסימטריה.

התועלת שלו תלויה בתחום בו משתמשים ובשאלות המוצגות. כדאי מאוד לדעת כי התרחשותם של ערכים של שלוש סטיות תקן מתחת או מעל הממוצע כמעט ולא סבירה, אפילו עבור משתני תפוצה לא תקינים, לפחות 88.8% מהמקרים נמצאים בשלושת הסיגמא.

במדעי החברה, תוצאה חותכת בדרך כלל היא טווח הממוצע הממוצע פלוס מינוס שתי sigma (95%), ואילו בפיזיקת החלקיקים, אפקט חדש מחייב רווח של חמש sigma (99.99994%) כדי להיחשב כתגלית.

תרגילים שנפתרו

ארנבים בשמורה

בשמורת חיות הבר מעריכים כי ישנם בממוצע 16,000 ארנבים עם סטיית תקן של 500 ארנבים. אם חלוקת המשתנה 'מספר הארנבים בשמורה' אינה ידועה, האם ניתן להעריך את ההסתברות שאוכלוסיית הארנבים היא בין 15,000 ל 17,000 ארנבים?

ניתן להציג את המרווח במונחים אלה:

15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = µ - 2 שניות

17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = µ + 2 שניות

לכן: =

על פי משפט משפט צ'בישייב, יש לנו סבירות של לפחות 0.75 שאוכלוסיית הארנבים בשמורת חיות הבר היא בין 15,000 ל 17,000 ארנבים.

משקל ממוצע של ילדים במדינה

המשקל הממוצע של ילדים בני שנה במדינה מופץ בדרך כלל עם ממוצע של 10 קילוגרם וסטיית תקן של כקילוגרם.

א) הערך את אחוז הילדים בגיל שנה במדינה שמשקלם הממוצע הוא בין 8 ל -12 קילוגרם.

8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = µ - 2 שניות

12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = µ + 2 שניות

לכן: =

על פי הכלל האמפירי, ניתן לקבוע כי 68.27% מהילדים בגיל שנה במדינה הם בעלי משקל של 8 עד 12 קילוגרמים.

ב) מה ההסתברות למצוא ילד בן שנה במשקל 7 קילוגרם ומטה?

7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = µ - 3 שניות

ידוע כי 7 קילוגרם ממשקל מייצג את הערך µ - 3s, וכן ידוע כי 99.73% מהילדים הם בין 7 ל 13 קילוגרמים ממשקלם. זה משאיר רק 0.27% מכלל הילדים בגפיים. מחציתם, 0.135%, הם 7 קילוגרמים או פחות והחצי השני, 0.135%, הוא 11 קילוגרמים ומעלה.

אז ניתן להסיק כי קיימת הסתברות של 0.00135 שילד שוקל 7 ק"ג ומטה.

ג) אם אוכלוסיית המדינה מגיעה ל 50 מיליון תושבים וילדים בני שנה מהווים 1% מאוכלוסיית המדינה, כמה ילדים בני שנה ישקלו בין 9 ל 11 קילוגרם?

9 = 10 - 1 = µ - s

11 = 10 + 1 = µ + s

לכן: =

על פי הכלל האמפירי, 68.27% מילדי שנה במדינה נמצאים במרווח

ישנם 500,000 ילדים שנה (1% מ- 50 מיליון), כך 341,350 ילדים (68.27% מתוך 500,000) שוקלים בין 9 ל 11 קילוגרמים.

הפניות

1. Abraira, V. (2002). סטיית תקן ושגיאת תקן. מגזין Semergen. התאושש מ- web.archive.org.
2. פרוינד, ר .; וילסון, ו. מוהר, ד (2010). שיטות סטטיסטיות. מהדורה שלישית עיתונות אקדמית-אלזביאר בע"מ
3. שרת Alicante (2017). כלל אמפירי (מונחים סטטיסטיים). התאושש מ- glosarios.servidor-alicante.com.
4. לינד, ד .; Marchal, W .; Wathen, S. (2012). סטטיסטיקה חלה על עסקים וכלכלה. המהדורה החמש עשרה. מקגרו היל / אינטרמריקנה דה מקסיקו SA
5. Salinas, H. (2010). סטטיסטיקה והסתברויות. התאושש מ- uda.cl.
6. סוקאל, ר .; Rohlf, F. (2009). מבוא לביו-סטטיסטיקה. מהדורה שנייה פרסומי Dover, Inc.
7. שפיגל, מ '(1976). הסתברות וסטטיסטיקה. סדרת Schaum. מקגרו היל / אינטרמריקנה דה מקסיקו SA
8. שפיגל, מ .; Stephens, L. (2008). סטָטִיסטִיקָה. מהדורה רביעית מקגרו היל / אינטרמריקנה דה מקסיקו SA
9. ביקורת Stat119 (2019). פיתרון שאלות כלל אמפיריות. התאושש מ- stat119review.com.
10. (2019). כלל 68-95-99.7. התאושש מ- en.wikipedia.org.