הסתברות מותנית: נוסחה ומשוואות, תכונות, דוגמאות - דודס - 2025

ההסתברות המותנה היא האפשרות של התרחשות של אירוע מסוים, בהתחשב בעובדה נוספת מתרחש כתנאי. מידע נוסף זה עשוי לשנות (או לא יכול) לשנות את התפיסה שמשהו יקרה.

לדוגמא, אנו יכולים לשאול את עצמנו: "מה ההסתברות שיירד גשם היום בהתחשב בכך שלא ירד גשם במשך יומיים?" האירוע שעבורו אנו רוצים לדעת את ההסתברות הוא שיורד גשם היום, והמידע הנוסף שיתנה את התשובה הוא ש"לא יורד גשם כבר יומיים ".

איור 1. ההסתברות שיירד גשם היום בהתחשב בכך שירד גשם אתמול היא גם דוגמה להסתברות מותנית. מקור: Pixabay.

תן לחלל הסתברות להיות מורכב מ Ω (מרחב מדגם), ℬ (האירועים האקראיים) ו- P (ההסתברות לכל אירוע), בתוספת האירועים A ו- B השייכים ל ℬ.

ההסתברות המותנית ש- A מתרחשת, בהתחשב בכך ש- B התרחש, שמסומן P (A│B), מוגדרת כך:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A ו- B) / P (B)

איפה: P (A) הוא ההסתברות להתרחשות A, P (B) הוא ההסתברות לאירוע B והוא שונה מ- 0, ו- P (A∩B) הוא ההסתברות לצומת בין A ל B, כלומר, , ההסתברות ששני האירועים מתרחשים (הסתברות משותפת).

זהו ביטוי למשפט של בייס שהוחל על שני אירועים, שהוצע בשנת 1763 על ידי התיאולוג והמתמטיקאי האנגלי תומאס בייס.

נכסים

- כל ההסתברות המותנית היא בין 0 ל -1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

ההסתברות שאירוע A מתרחש, בהתחשב בכך שהאירוע האמור מתרחש, היא כמובן 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-אם שני אירועים הם בלעדיים, כלומר אירועים שלא יכולים להתרחש בו זמנית, אז ההסתברות המותנית שאחד מהם קורה היא 0, מכיוון שהצומת הוא אפס:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

אם B היא תת קבוצה של A, אז ההסתברות המותנית היא גם 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

חָשׁוּב

P (A│B) בדרך כלל אינו שווה ל- P (B│A), ולכן עלינו להיזהר שלא להחליף את האירועים כשמציאים את ההסתברות המותנית.

כלל כפל כללי

פעמים רבות אתה רוצה למצוא את ההסתברות המשותפת P (A∩B), ולא את ההסתברות המותנית. ואז, דרך המשפט הבא יש לנו:

P (A∩B) = P (A ו- B) = P (A│B). P (B)

ניתן להרחיב את המשפט לשלושה אירועים A, B ו- C:

P (A∩B∩C) = P (A ו- B ו- C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

וגם לאירועים שונים, כמו A ₁ , A ₂ , A ₃ ועוד, זה יכול להתבטא באופן הבא:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ ) … P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩ … A _n-1 )

כאשר מדובר באירועים המתרחשים ברצף ובשלבים שונים, נוח לארגן את הנתונים בתרשים או בטבלה. זה מקל על הדמיון של אפשרויות ההגעה להסתברות המבוקשת.

הדוגמאות לכך הן תרשים העץ וטבלת המקרים. מאחד מהם אתה יכול לבנות את השני.

דוגמאות להסתברות מותנית

בואו נסתכל על כמה מצבים בהם ההסתברות לאירוע אחד משתנה על ידי התרחשותו של אירוע אחר:

- דוגמה 1

שני סוגים של עוגות נמכרים בחנות מתוקה: תות ושוקולד. על ידי רישום העדפותיהם של 50 לקוחות משני המינים נקבעו הערכים הבאים:

-27 נשים, מתוכן 11 מעדיפות עוגת תות ו -16 שוקולד.

-23 גברים: 15 בוחרים שוקולד ו 8 תות.

ניתן לקבוע את ההסתברות שלקוח בוחר עוגת שוקולד על ידי החלת הכלל של לפלס, לפיה ההסתברות לאירוע כלשהו היא:

P = מספר אירועים חיוביים / מספר האירועים הכולל

במקרה זה, מתוך 50 לקוחות, בסך הכל 31 מעדיפים שוקולד, כך שההסתברות תהיה P = 31/50 = 0.62. כלומר, 62% מהלקוחות מעדיפים עוגת שוקולד.

אבל האם זה יהיה שונה אם הלקוח הוא אישה? זהו מקרה של הסתברות מותנית.

לוח מגבלות

בעזרת טבלת מגירה כזו מוצגים הסיכומים בקלות:

ואז המקרים החיוביים נצפים וכלל לפלס מיושם, אך תחילה נגדיר את האירועים:

-B הוא אירוע "הלקוח הנשי".

-אירוע "העדיף עוגת שוקולד" כאישה.

ניגש לטור שכותרתו "נשים" ושם אנו רואים שהסך הכל הוא 27.

ואז התיק החיובי מבקש בשורת "השוקולד". ישנם 16 אירועים אלה, ולכן ההסתברות המבוקשת היא, באופן ישיר:

P (A│B) = 16/27 = 0.5924

59.24% מהלקוחות הנשים מעדיפות עוגת שוקולד.

ערך זה תואם כאשר אנו עומדים בניגוד אליו עם ההגדרה שניתנה בתחילה של הסתברות מותנית:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

אנו דואגים להשתמש בכללי Laplace ובערכי הטבלה:

P (B) = 27/50

P (A ו- B) = 16/50

כאשר P (A ו- B) הוא ההסתברות שהלקוח מעדיף שוקולד והוא אישה. כעת מחליפים את הערכים:

P (A│B) = P (A ו- B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924.

ומוכח שהתוצאה זהה.

- דוגמא 2

בדוגמה זו חל כלל הכפל. נניח שיש מכנסיים בשלושה גדלים המוצגים בחנות: קטן, בינוני וגדול.

במגרש הכולל 24 מכנסיים, מהם 8 מכל גודל וכולם מעורבים, מה תהיה ההסתברות לחלץ שניים מהם ושניהם קטנים?

ברור שההסתברות להסרת מכנס קטן בניסיון הראשון היא 8/24 = 1/3. כעת, המיצוי השני מותנה באירוע הראשון, שכן כאשר מסירים זוג מכנסיים, כבר אין 24, אלא 23. ואם מוסרים מכנסיים קטנים, יש 7 במקום 8.

אירוע א 'מושך מכנס אחד קטן, לאחר ששלף מכנסיים נוספים בניסיון הראשון. ואירוע ב 'הוא זה עם המכנסיים הקטנים בפעם הראשונה. לכן:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

לבסוף, באמצעות כלל הכפל:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0.097

התרגיל נפתר

במחקר על הדייקנות בטיסות אוויריות מסחריות, הנתונים הבאים זמינים:

-P (B) = 0.83, הוא ההסתברות שמטוס ממריא בזמן.

-P (A) = 0.81, הוא ההסתברות לנחיתה בזמן.

-P (B∩A) = 0.78 הוא ההסתברות שהטיסה מגיעה בזמן ההמראה בזמן.

הוא מתבקש לחשב:

א) מהי ההסתברות שהמטוס ינחת בזמן בהתחשב בכך שהוא המריא בזמן?

ב) האם ההסתברות לעיל זהה להסתברות שהשארת בזמן אם הצלחת לנחות בזמן?

ג) ולבסוף: מהי ההסתברות שהיא תגיע בזמן בהתחשב בכך שהיא לא יצאה בזמן?

איור 2: חשיבות לזמניות בטיסות מסחריות מאחר ועיכובים מניבים הפסדים של מיליוני דולרים. מקור: Pixabay.

פתרון ל

כדי לענות על השאלה משתמשים בהגדרת ההסתברות המותנית:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A ו- B) / P (B) = 0.78 /0.83 = 0.9398

פיתרון ב

במקרה זה האירועים בהגדרה מוחלפים:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A ו- B) / P (A) = 0.78 /0.81 = 0.9630

שים לב שההסתברות הזו שונה מעט מהקודמת, כפי שצייננו קודם.

פיתרון ג

ההסתברות לא לצאת בזמן היא 1 - P (B) = 1 - 0.83 = 0.17, נקרא לזה P (B ^C ), מכיוון שזה האירוע המשלים להמריא בזמן. ההסתברות המותנית המבוקשת היא:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A ו- B ^C ) / P (B ^C )

מצד שני:

P (A∩B ^C ) = P (נחיתה בזמן) - P (נחיתה בזמן והמריא בזמן) = 0.81-0.78 = 0,03

במקרה זה, ההסתברות המותנית היא:

P (A│B ^C ) = 0.03 / 0.17 = 0.1765

הפניות

1. Canavos, G. 1988. הסתברות וסטטיסטיקה: יישומים ושיטות. מקגרו היל.
2. Devore, J. 2012. הסתברות וסטטיסטיקה להנדסה ומדע. 8. מַהֲדוּרָה. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. מקגרו היל.
4. Obregón, I. 1989. תורת ההסתברות. לימוזה עריכה.
5. Walpole, R. 2007. הסתברות וסטטיסטיקה להנדסה ומדעים. פירסון.
6. ויקיפדיה. הסתברות מותנית. התאושש מ: es.wikipedia.org.