פרמוטציות ללא חזרה: נוסחאות, הוכחות, תרגילים, דוגמאות - דודס - 2025

תמורה ללא החזרה של אלמנטי n היא הקבוצות השונות של גורמים שונים כי ניתן לקבל לא לחזור על כול אלמנט, רק משנה את סדר המיקום של האלמנטים.

כדי לברר את מספר התמריציות ללא חזרה, משתמשים בנוסחה הבאה:

Pn = n!

המורחבת תהיה Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1).

אז בדוגמה המעשית הקודמת היא תוחל כך:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 מספרים שונים עם 4 ספרות.

אלה הם 24 המערכים בסך הכל: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

כפי שניתן לראות, בשום מקרה אין חזרה, בהיותם 24 מספרים שונים.

הדגמה ונוסחאות

24 סידורים של 4 דמויות שונות

אנו הולכים לנתח באופן ספציפי יותר את הדוגמה של 24 הסדרים השונים עם ארבע הספרות שיכולים להיווצר בעזרת הספרות של המספר 2468. ניתן לדעת את מספר הסידורים (24) כדלקמן:

יש לך 4 אפשרויות לבחירת הספרה הראשונה, שמשאירות 3 אפשרויות לבחירת השנייה. נקבעו כבר שתי ספרות ונשארו 2 אפשרויות לבחירת הספרה השלישית. בספרה האחרונה יש אפשרות בחירה אחת בלבד.

לכן, מספר התמריציות, המצוינות על ידי P4, מתקבל על ידי המוצר של אפשרויות הבחירה בכל עמדה:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 מספרים שונים עם 4 ספרות

באופן כללי, מספר הפרמוטציות או העיבודים השונים שניתן לבצע עם כל האלמנטים n של סט נתון הוא:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1)

הביטוי n! זה ידוע כ- factorial n ופירושו תוצר של כל המספרים הטבעיים שנמצאים בין המספר n למספר אחד, כולל שניהם.

12 סידורים של 2 דמויות שונות

כעת נניח שברצונך לדעת את מספר הפרמוטציות או מספרים דו ספרתיים שיכולים להיווצר בעזרת הספרות של המספר 2468.

אלה יהיו 12 סידורים בסך הכל: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

יש לך 4 אפשרויות לבחור את הספרה הראשונה, שמשאירה 3 ספרות כדי לבחור את השנייה. לפיכך, מספר התמריציות של 4 הספרות שצולמו שתיים על שתיים, המצוינות על ידי 4P2, מתקבל על ידי המוצר של אפשרויות הבחירה בכל עמדה:

4P2 = 4 * 3 = 12 מספרים דו-ספרתיים שונים

באופן כללי, מספר הפרמוטציות או הסדרים השונים שניתן לבצע עם אלמנטים r של ה- n בסך הכל בסט נתון הוא:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

הביטוי שלמעלה מקוצץ לפני משחק n !. להשלמת n! על זה עלינו לכתוב:

n! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1)

הגורמים שאנו מוסיפים, בתורם, מייצגים מפעל:

(n - r) … (2) (1) = (n - r)!

לכן,

n! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1) = n (n - 1) (n - 2) … (n - r)!

מכאן

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2) … = nPr

דוגמאות

דוגמא 1

כמה צירופי אותיות שונים של 5 אותיות ניתן לבנות עם אותיות המילה KEY?

אנו מעוניינים למצוא את מספר שילובי האותיות השונים של 5 אותיות שניתן לבנות עם 5 אותיות המילה KEY; כלומר, מספר המערכים של 5 אותיות הכוללים את כל האותיות הזמינות במילה KEY.

מספר של 5 מילות אותיות = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 שילובי אותיות שונות של 5 אותיות.

אלה יהיו: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… עד 120 שילובי אותיות שונות בסך הכל.

דוגמא 2

יש לך 15 כדורים ממוספרים ואתה רוצה לדעת כמה קבוצות שונות של 3 כדורים אפשר לבנות עם 15 הכדורים הממוספרים?

אתה רוצה למצוא את מספר הקבוצות של 3 כדורים שניתן להכין עם 15 הכדורים הממוספרים.

מספר קבוצות של 3 כדורים = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

מספר קבוצות של 3 כדורים = 15 * 14 * 13 = 2730 קבוצות של 3 כדורים

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

בחנות פירות יש דוכן תערוכות המורכב משורת תאים הממוקמים באולם הכניסה לחצרים. ביום אחד הירקן רוכש למכירה: תפוזים, בננות, אננס, אגסים ותפוחים.

א) כמה דרכים שונות אתה צריך להזמין את דוכן התערוכה?

ב) כמה דרכים שונות אתה צריך להזמין את הדוכן אם בנוסף לפירות שהוזכרו (5) קיבלת באותו היום: מנגו, אפרסקים, תותים וענבים (4)?

א) אנו רוצים למצוא את מספר הדרכים השונות להזמין את כל הפירות בשורת התצוגה; כלומר, מספר הסידורים של 5 פריטי פרי הכוללים את כל הפירות הזמינים למכירה באותו יום.

מספר סידורי המעמד = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

מספר סידורי המעמד = 120 דרכים להציג את הדוכן

ב) אנו רוצים למצוא את מספר הדרכים השונות להזמין את כל הפירות בשורת התצוגה אם נוספו 4 פריטים נוספים; כלומר, מספר הסידורים של 9 פריטי פרי הכוללים את כל הפירות הזמינים למכירה באותו יום.

מספר סידורי המעמד = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

מספר סידורי המעמד = 362,880 דרכים להציג את הדוכן

תרגיל 2

לשקע אוכל קטן יש חלקת אדמה עם מספיק מקום לחנות 6 כלי רכב.

א) כמה דרכים שונות להזמנת כלי רכב בחלקת האדמה ניתן לבחור?

ב) נניח שנרכשת חלקת אדמה רציפה שממדיה מאפשרים חנייה של 10 רכבים. כמה דרכים שונות לסידור הרכבים ניתנות לבחירה כעת?

א) אנו מעוניינים למצוא את מספר הדרכים השונות להזמין את 6 הרכבים הניתנים לאכסון בחלקת האדמה.

מספר הסידורים של 6 הרכבים = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

מספר הסידורים של 6 הרכבים = 720 דרכים שונות להזמנת 6 הרכבים בחלקה.

ב) אנו רוצים למצוא את מספר הדרכים השונות להזמין את 10 הרכבים שניתן לשכן בחלקה לאחר הרחבת חלקת האדמה.

מספר סידורי 10 הרכבים = P10 = 10!

מספר סידורי רכב = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

מספר הסידורים של 10 הרכבים = 3,628,800 דרכים שונות להזמין 10 הרכבים בחלקה.

תרגיל 3

לחנות פרחים פרחים של 6 צבעים שונים להכנת דגלים פרחוניים של עמים שיש בהם רק 3 צבעים. אם ידוע כי סדר הצבעים חשוב בדגלים,

א) כמה דגלים שונים של 3 צבעים ניתן להכין עם 6 הצבעים הזמינים?

ב) המוכר קונה פרחים של 2 צבעים נוספים ל- 6 שכבר היה לו, עכשיו כמה דגלים שונים של 3 צבעים ניתן להכין?

ג) מכיוון שיש לך 8 צבעים, אתה מחליט להרחיב את מגוון הדגלים שלך. כמה דגלים שונים עם 4 צבעים אתה יכול להכין?

ד) כמה משני צבעים?

א) אנו רוצים למצוא את מספר הדגלים השונים של 3 צבעים הניתנים לבחירה מתוך 6 הצבעים הזמינים.

מספר דגלי 3 צבעים = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

מספר דגלים עם 3 צבעים = 6 * 5 * 4 = 120 דגלים

ב) ברצונך למצוא את מספר הדגלים השונים של 3 צבעים הניתנים לבחירה מתוך 8 הצבעים הזמינים.

מספר דגלי 3 צבעים = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

מספר דגלים עם 3 צבעים = 8 * 7 * 6 = 336 דגלים

ג) יש לחשב את מספר הדגלים בעלי 4 הצבעים השונים שניתן לבצע על ידי בחירה מבין 8 הצבעים הזמינים.

מספר דגלי 4 צבעים = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

מספר דגלים עם 4 צבעים = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 דגלים

ד) ברצונך לקבוע את מספר הדגלים הדו-צבעוניים השונים שניתן לבצע על ידי בחירה מבין 8 הצבעים הזמינים.

מספר דגלים דו-צבעוניים = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

מספר דגלים דו-צבעוניים = 8 * 7 = 56 דגלים

הפניות

1. Boada, A. (2017). שימוש בפרמוטציה עם חזרה כהוראה לניסויים. מגזין Vivat Academia. התאושש מ- researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). הסתברות וסטטיסטיקה. יישומים ושיטות. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. זכוכית, G .; Stanley, J. (1996). שיטות סטטיסטיות שלא יושמו במדעי החברה. פרנטיס הול היספנואמריקנה SA
4. שפיגל, מ .; Stephens, L. (2008). סטָטִיסטִיקָה. מהדורה רביעית מקגרו היל / אינטרמריקנה דה מקסיקו SA
5. Walpole, R .; מאיירס, ר .; מאיירס, ש .; יה ק. (2007). הסתברות וסטטיסטיקה עבור מהנדסים ומדענים. מהדורה שמינית. אולם פרנטיס בינלאומי לחינוך פירסון.
6. וובסטר, א '(2000). סטטיסטיקה חלה על עסקים וכלכלה. מהדורה שלישית מקגרו היל / אינטרמריקנה SA
7. (2019). תְמוּרָה. התאושש מ- en.wikipedia.org.