פרמוטציות העגול סוגים שונים של קבוצות של כל האלמנטים של סט, כאשר הם אמורים להיות מסודרים במעגלים. בסוג זה של פרמוטציה הסדר חשוב והיסודות אינם חוזרים על עצמם.
לדוגמה, נניח שברצונך לדעת את מספר המערכים המובהקים של ספרות אחת עד ארבע, להציב כל מספר באחד מקודקודיו של מעוין. אלה יהיו 6 סידורים בסך הכל:
אין להתבלבל כי המספר אחד נמצא במיקום העליון של מעוין בכל המקרים כמיקום קבוע. התמרות מעגליות אינן משתנות על ידי סיבוב המערך. להלן פרמוטציה יחידה או זהה:
הדגמה ונוסחאות
בדוגמה למערכים העגולים השונים בעלי ארבע ספרות הממוקמים בקודקודיהם של מעוין, ניתן למצוא את מספר המערכים (6) כך:
1- כל אחת מארבע הספרות נלקחת כנקודת המוצא בכל הקודקוד ומתקדמת לקודקוד הבא. (לא משנה אם הוא מופנה עם כיוון השעון או נגד כיוון השעון)
2- נותרו 3 אפשרויות לבחירת הקודקוד השני, ואז יש 2 אפשרויות לבחור את הקודקוד השלישי, וכמובן, קיימת רק אפשרות בחירה אחת עבור הקודקוד הרביעי.
3- לפיכך, מספר התמורות המעגליות, המסומן על ידי (4 - 1) P (4 - 1), מתקבל על ידי המוצר של אפשרויות הבחירה בכל עמדה:
(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 מערכים עגולים שונים עם 4 ספרות.
באופן כללי, מספר התמורות המעגליות שניתן להשיג עם כל האלמנטים n של סט הוא:
(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2) … (2) (1)
שים לב ש- n - 1)! זה ידוע כ- factorial n ומקצר את התוצר של כל המספרים מהמספר (n - 1) למספר אחד, כולל.
דוגמאות
דוגמא 1
כמה דרכים שונות צריך 6 אנשים לשבת בשולחן מעגלי?
אתה רוצה למצוא את מספר הדרכים השונות בהן 6 אנשים יכולים לשבת סביב השולחן העגול.
מספר דרכים לשבת = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!
מספר דרכים לשבת = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 דרכים שונות
דוגמא 2
כמה דרכים שונות על 5 אנשים לאתר את עצמם בקודקודי המחומש?
מספר הדרכים בהן ניתן יהיה לאתר 5 אנשים בכל אחד מקודקודי הפנטגון.
מספר דרכים למיקום = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!
מספר דרכים למיקום = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 דרכים שונות
תרגילים שנפתרו
- תרגיל 1
צורף רוכש 12 אבנים יקרות שונות כדי למקם בנקודות השעות של שעון שהוא מכין מטעם בית המלוכה של מדינה אירופאית.
א) כמה דרכים שונות יש לו לסדר את האבנים בשעון?
ב) כמה צורות שונות יש לו אם האבן שהולכת לשעה 12 היא ייחודית?
ג) כמה צורות שונות אם האבן בשעה 12 היא ייחודית והאבנים בשלוש נקודות הקרדינל האחרות, 3, 6 ו -0: 00; האם יש שלוש אבנים מסוימות שניתן להחליף בהן, ואת שאר השעות מוקצות משאר האבנים?
פתרונות
א) מבוקשת מספר הדרכים לסידור כל האבנים בהיקף השעון; כלומר מספר הסידורים המעגליים הכוללים את כל האבנים הזמינות
מספר סידורי השעון = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
מספר התיקונים בשעון = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
מספר סידורי השעון = 39976800 צורות שונות
ב) הוא תוהה כמה דרכי הזמנה שונות קיימות, ביודעו כי האבן הידית בשעה 12 היא ייחודית וקבועה; כלומר, מספר הסידורים המעגליים הכוללים את 11 האבנים הנותרות.
מספר סידורי השעון = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
מספר התיקונים בשעון = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
מספר סידורי השעון = 3,628,800 צורות שונות
ג) לבסוף, מספר הדרכים להזמנת כל האבנים מבוקשים למעט אבן השעה 12 שהיא קבועה, אבני 3, 6 ו- 9 שיש להן שלוש אבנים שיועדו זו לזו; כלומר, 3! אפשרויות סידור, ומספר הסידורים המעגליים הכוללים את 8 האבנים הנותרות.
מספר התיקונים בשעון = 3! * = 3! * (8–1)!
מספר הסידורים בשעון = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
מספר סידורי השעון = 241920 צורות שונות
- תרגיל 2
ועדת ההיגוי של חברה מורכבת מ- 8 חברים והם נפגשים בשולחן סגלגל.
א) כמה צורות סידור שונות סביב השולחן יש לוועדה?
ב) נניח כי היו"ר יושב בראש השולחן בכל הסדר ועדה, כמה צורות הסדר שונות יש לשאר הוועדה?
ג) נניח שסגן הנשיא והמזכירה יושבים משני צדי הנשיא בהסדר וועדה. כמה צורות הסדר שונות יש לשאר הוועדה?
פתרונות
א) אנו רוצים למצוא את מספר הדרכים השונות לסדר את 12 חברי הוועד סביב השולחן הסגלגל.
מספר הסדרי הוועדה = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
מספר הסדרי הוועדה = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
מספר הסדרי הוועדה = 39976800 טפסים שונים
ב) מאחר ויו"ר הוועדה ממוקם בתפקיד קבוע, מבקשים את מספר הדרכים להזמין את 11 חברי הוועדה הנותרים סביב השולחן הסגלגל.
מספר הסדרי הוועדה = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
מספר הסדרי הוועדה = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
מספר הסדרי הוועדה = 3,628,800 טפסים שונים
ג) הנשיא ממוקם בתפקיד קבוע ולצדדים הם סגן הנשיא והמזכיר עם שתי אפשרויות הסדר: סגן נשיא מימין ומזכיר משמאל או סגן נשיא משמאל ומזכירת מימין. אז אתה רוצה למצוא את מספר הדרכים השונות להזמין את 9 חברי הוועדה הנותרים סביב השולחן הסגלגל ולהכפיל בשתי צורות ההסדרים שיש לסגן הנשיא והמזכירה.
מספר הסדרי הוועדה = 2 * = 2 *
מספר הסדרי הוועדה = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
מספר הסדרי הוועדה = 80640 טפסים שונים
הפניות
- Boada, A. (2017). שימוש בפרמוטציה עם חזרה כהוראה לניסויים. מגזין Vivat Academia. התאושש מ- researchgate.net.
- Canavos, G. (1988). הסתברות וסטטיסטיקה. יישומים ושיטות. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
- זכוכית, G .; Stanley, J. (1996). שיטות סטטיסטיות שלא יושמו במדעי החברה. פרנטיס הול היספנואמריקנה SA
- שפיגל, מ .; Stephens, L. (2008). סטָטִיסטִיקָה. מהדורה רביעית מקגרו היל / אינטרמריקנה דה מקסיקו SA
- Walpole, R .; מאיירס, ר .; מאיירס, ש .; יה ק. (2007). הסתברות וסטטיסטיקה עבור מהנדסים ומדענים. מהדורה שמינית. אולם פרנטיס בינלאומי לחינוך פירסון.
- וובסטר, א '(2000). סטטיסטיקה חלה על עסקים וכלכלה. מהדורה שלישית מקגרו היל / אינטרמריקנה SA
- ויקיפדיה. (2019). תְמוּרָה. התאושש מ- en.wikipedia.org.