לשעבד זוויות פנימיות וחיצוניות: דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

Conjugates הזוויות הם אלה מתווספים התוצאות כדי להיות 360, ללא קשר של זוויות אמרו נושקים או לא. שתי זוויות מצומדות מוצגות באיור 1, המסומנות α ו- β.

במקרה זה, לזוויות α ו- β בדמות יש קודקוד משותף וצדדיהם נפוצים, לכן הם סמוכים. הקשר ביניהם מתבטא באופן הבא:

α + β = 360º

איור 1. שתי זוויות מרכזיות מצומדות, סכום. מקור: Wikimedia Commons. לא סופק מחבר קריא במכונה. תיאגו ראמוס הניח (בהתבסס על טענות בזכויות יוצרים). זהו סיווג של הזוויות לפי הסכום שלהם. הגדרות חשובות אחרות כוללות זוויות משלימות, שסכומם 90 מעלות, וזוויות משלימות, הכוללות 180 מעלות.

מצד שני, נסתכל כעת על שני קווים מקבילים שנחתכו על ידי סנסנט, שהסידור שלהם מוצג להלן:

איור 2. קווים מקבילים שנחתכו על ידי שקע. מקור: פ. זפטה.

הקווים MN ו- PQ הם מקבילים, ואילו הקו RS הוא מבודד, מצטלב את ההקבלות בשתי נקודות. כפי שניתן לראות, תצורה זו קובעת את היווצרותם של 8 זוויות אשר נקראו באותיות קטנות.

ובכן, על פי ההגדרה שניתנה בהתחלה, הזוויות a, b, c ו- d מצומדות. ובאותה צורה הם e, f, g ו- h שכן שני המקרים נכונים:

a + b + c + d = 360º

ו

e + f + g + h = 360º

עבור תצורה זו, משויכים שתי זוויות אם הן נמצאות באותו צד ביחס לקו RS המוגן ושניהם פנימיים או חיצוניים. במקרה הראשון אנו מדברים על זוויות מצומדות פנימיות, ואילו בשנייה מדובר בזוויות מצומדות חיצוניות.

דוגמאות

באיור 2, הזוויות החיצוניות הן אלה שנמצאות מחוץ לאזור המופרדות על ידי הקווים MN ו- PQ, הן הזוויות A, B, G ו- H. בעוד שהזוויות שנמצאות בין שני הקווים הן ג, ד, ה ופ.

כעת יש צורך לנתח אילו זוויות שמאלה ואילו מימין למנותק.

משמאל ל RS זוויות A, C, E ו- G. ומימין זוויות B, D, F ו- H.

אנו ממשיכים מייד לקבוע את זוגות הזוויות המצומדות, על פי ההגדרה שניתנה בסעיף הקודם:

-A ו- G, חיצוניים ומשמאל לשמאל.

-D ו- F, פנימי ומימין ל- RS.

-B ו- H, חיצוניים ומימין ל- RS.

-C ו- E, פנימי ומשמאל ל RS.

מאפיין של זוויות מצומדות בין קווים מקבילים

הזוויות המצומדות בין קווים מקבילים הם משלימים, כלומר הסכום שלהם שווה ל 180 מעלות. באופן זה, באיור 2 הדברים הבאים נכונים:

A + G = 180º

D + F = 180 מעלות

B + H = 180 מעלות

C + E = 180 מעלות

זוגות הזוויות המתאימות לקווים מקבילים

הם אלה שנמצאים באותו הצד של הקו המוגן, הם אינם צמודים ואחד מהם הוא פנימי והשני חיצוני. חשוב לדמיין אותם, מכיוון שהמידה שלהם זהה, מכיוון שהם זוויות הפוכות בקצה הקודם.

בחזרה לתרשים 2, זוגות הזוויות המתאימים מזוהים כ:

-א ו- E

-C ו- G

-ב ו- ו

-D ו- H

זוויות פנימיות של מרובע

ריבועים הם מצולעים עם ארבעה צדדים, ביניהם הריבוע, המלבן, הטרפז, המקביל והרומבוס, למשל. ללא קשר לצורתם, באף אחד מהם זה נכון שסכום הזוויות הפנימיות שלהם הוא 360 מעלות, ולכן הם עונים להגדרה שניתנה בתחילת הדרך.

בואו נראה כמה דוגמאות לרביעיות וכיצד לחשב את הערך של הזוויות הפנימיות שלהם לפי המידע בסעיפים הקודמים:

דוגמאות

א) שלוש זוויות של ריבועיות נמדדות 75º, 110º ו- 70º. כמה הזווית שנותרה צריכה למדוד?

ב) מצא את ערך הזווית ∠Q באיור 3 i.

ג) חשב את מידת הזווית ∠A באיור 3 ii.

פתרון ל

שיהיה α להיות הזווית החסרה, הוא משוכנע ש:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

פיתרון ב

איור 3i המוצג הוא טרפז ושניים מזוויותיו הפנימיות ישרות, שסומנו בריבוע צבעוני בפינות. עבור מרובע זה מאומתים את הדברים הבאים:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

לכן:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

פיתרון ג

הרביעי באיור 3 ii הוא גם טרפז, אשר הדברים הבאים נכונים:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

לכן:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

כדי לקבוע את הזווית המבוקשת בהצהרה, אנו משתמשים כי ∠A = 4x - 5. החלפת הערך המחושב הקודם של x יוצא כי ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

תרגילים

- תרגיל 1

בידיעה שאחת הזוויות המוצגות היא 125 מעלות, מצא את המדדים של 7 הזוויות הנותרות בתמונה הבאה והצדיק את התשובות.

איור 4. שורות וזוויות התרגיל 1. מקור: F. Zapata.

פִּתָרוֹן

זווית 6 וזווית 125 מעלות הם מצומדים פנימיים, שסכומם 180 מעלות, בהתאם למאפיין של זוויות מצומדות, לפיכך:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

מצד שני ∠6 ו- ∠8 הם זוויות הפוכות על ידי הקודקוד, שמידותיהם זהות. לכן measures8 מודד 55º.

הזווית ∠1 היא גם הפוכה על ידי הקודקוד ב 125 מעלות, ואז נוכל לאשר ש ∠1 = 125º. אנו יכולים לפנות גם לעובדה שלזוגות הזוויות המתאימות יש מידה זהה. באיור הזוויות הללו הן:

∠7 = 125 מעלות

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125 מעלות

∠4 = ∠8 = 55 מעלות

- תרגיל 2

מצא את הערך של x בתמונה הבאה ואת הערכים של כל הזוויות:

איור 5. שורות וזוויות לתרגיל 2. מקור: F. Zapata.

פִּתָרוֹן

מכיוון שהם זוגות תואמים, יוצא ש- F = 73º. ומצד שני סכום הזוגות המצומדים הוא 180 מעלות, לפיכך:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

סוף סוף הערך של x הוא:

x = 87/3 = 29

באשר לכל הזוויות, הם מופיעים באיור הבא:

איור 6. זוויות הנובעות מתרגיל 2. מקור: F. Zapata.

הפניות

1. קבוצות זווית. הסבר על זוויות משלימות, משלימות והסברים. התאושש מ: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Plane and Geometry Space and Trigonometry. קבוצת תרבות פטריה.
3. Corral, M. מתמטיקה LibreTexts: זוויות. התאושש מ: math.libretexts.org.
4. מתמניה. סיווג ובניית זוויות לפי מדידתם. התאושש מ: mathematania.com/
5. וונטוורת ', ג. גיאומטריה של מטוס. התאושש מ: gutenberg.org.
6. ויקיפדיה. זוויות מצומדות. התאושש מ: es.wikipedia.org.