זווית הכתובת של מעגל היא אחד שיש לו הקודקוד שלה על העיגול וקרניה הן חוֹתֵך או משיק אל. כתוצאה מכך הזווית החתומה תמיד תהיה קמורה או שטוחה.
באיור 1 מיוצגים כמה זוויות החתומות בהיקפים שלהם. הזווית ∠EDF מוגדרת באמצעות קודקוד D שלה על ההיקף ושתי קרניו =.
במשולש שולי שדה, הזוויות הסמוכות לבסיס שוות, ולכן ∠BCO = ∠ABC = α. מצד שני ∠COB = 180º - β.
בהתחשב בסכום הזוויות הפנימיות של המשולש COB, יש לנו:
α + α + (180º - β) = 180º
ממנו יוצא כי 2 α = β, או מה שווה ערך: α = β / 2. זה מסכים עם משפט 1 שקובע: מידת הזווית הכתובה היא מחצית הזווית המרכזית, אם שתי הזוויות מקליפות את אותו אקורד.
הדגמה 1b
איור 6. איור עזר כדי להראות ש α = β / 2. מקור: F. Zapata עם Geogebra.
במקרה זה יש לנו זווית חקוקה ∠ABC, בה O O של המעגל נמצא בזווית.
כדי להוכיח משפט 1 במקרה זה, צייר את קרן העזר). לדחוף ({});
באופן דומה, הזוויות המרכזיות ß 1 ו- β 2 צמודות לקרן האמורה. לכן יש לנו את אותו מצב כמו 1a המופע, כך ניתן לומר כי α 2 = β 2 /2 ו- אלפא 1 = β 1 /2. כפי α = α 1 + α 2 ו β = β 1 + β 2 יש אפוא כי α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / שתיים.
לסיכום α = β / 2, שממלא משפט 1.
משפט 2
איור 7. זוויות חתומות בגודל שווה α, מכיוון שהן מקשטות את אותה קשת A⌒C. מקור: F. Zapata עם Geogebra.
משפט 3
הזוויות החתומות המגישות את האקורדים באותה מידה שווים.
איור 8. זוויות חתומות שמכניעות אקורדים במידה שווה יש מידה שווה β. מקור: F. Zapata עם Geogebra.
דוגמאות
- דוגמה 1
הראה שהזווית החתומה המוחזקת את הקוטר היא זווית ישרה.
פִּתָרוֹן
הזווית המרכזית ∠AOB הקשורה לקוטר היא זווית מישורית, שמידה שלה היא 180 מעלות.
על פי משפט 1, לכל זווית הכתובה בהיקף המכניסה את אותו אקורד (במקרה זה הקוטר), יש כמדד מחצית מהזווית המרכזית המכניסה את אותו אקורד, שדוגמא שלנו הוא 180º / 2 = 90º.
איור 9. כל זווית חרטה שקועה לקוטר היא זווית ישרה. מקור: F. Zapata עם Geogebra.
- דוגמא 2
משיק הקו (BC) ב- A להיקף C, קובע את הזווית הכתובה ∠BAC (ראה איור 10).
ודא כי משפט 1 של זוויות החתום מתקיים.
איור 10. איור 10. זווית הכתובת BAC וזווית הקמור המרכזית שלה AOA. מקור: F. Zapata עם Geogebra.
פִּתָרוֹן
הזווית ∠BAC רשומה מכיוון שקודקודו נמצא על ההיקף, וצדדיו [AB) ו- [AC) משיקים להיקף, כך שההגדרה של זווית חרוטה מסתפקת.
מצד שני, הזווית החתומה ∠BAC מכניסה את הקשת A⌒A, שהיא כל ההיקף. הזווית המרכזית המכניסה את הקשת A⌒A היא זווית קמורה שמידה שלה היא הזווית המלאה (360 מעלות).
הזווית הכתובה המכניסה את כל הקשת מודדת מחצית מהזווית המרכזית המשויכת, כלומר ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
עם כל האמור לעיל, מוודאים כי מקרה מסוים זה מקיים משפט 1.
הפניות
- בלדור. (1973). גיאומטריה וטריגונומטריה. הוצאת ספרים תרבותית במרכז אמריקה.
- EA (2003). אלמנטים בגיאומטריה: עם תרגילים וגיאומטריה של מצפן. אוניברסיטת מדיין.
- גיאומטריה ESO 1. זוויות על ההיקף. התאושש מ: edu.xunta.es/
- כל המדעים. הציעו תרגילי זוויות בהיקף. התאושש מ: francesphysics.blogspot.com
- ויקיפדיה. זווית חקוקה. התאושש מ: es.wikipedia.com