קואורדינטות כדוריות: דוגמאות ותרגילים שנפתרו - מתמטיקה - 2025

וכדוריות הן קבוצה של נקודה מיקום בשלושה ממדי מרחב מורכב רדיאלי לתאם ושתי קואורדינטות הזוויתי נקראות קוטב לתאם azimuthal לתאם.

איור 1, אותו אנו רואים להלן, מציג את הקואורדינטות הכדוריות (r, θ, φ) של נקודה M. קואורדינטות אלה מופנות למערכת אורטוגונלית של הצירים הקרטזיים X, Y, Z ממוצא O.

איור 1. איור 1. קואורדינטות כדוריות (r, θ, φ) של נקודה M. (קומוני וויקימדיה)

במקרה זה, הקואורדינטה r של נקודה M היא המרחק מאותה נקודה למקור O. הקואורדינטה הקוטבית θ מייצגת את הזווית בין ציר החצי החצי Z לבין ווקטור הרדיוס OM. בעוד שקואורדינטת האזימוטל φ היא הזווית בין ציר ה- X החציובי החיובי לבין וקטור הרדיוס OM ', כאשר M' הוא ההקרנה האורתוגונאלית של M במישור ה- XY.

הקואורדינטה הרדיאלית r לוקחת רק ערכים חיוביים, אך אם נקודה ממוקמת במקור אז r = 0. הקואורדינטה הקוטבית θ לוקחת כערך מינימלי 0º לנקודות הממוקמות על ציר ה- Z החיובי Z וערך מקסימאלי 180º לנקודות ממוקם על ציר ה- Z השלילי השלום. סוף סוף, הקואורדינטות האזימוטל φ לוקח כערך מינימלי 0º והעלייה המרבית של 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

שינוי קואורדינטות

הנוסחאות המאפשרות השגת הקואורדינטות הקרטזיות (x, y, z) של נקודה M יינתנו להלן, בהנחה שהקואורדינטות הכדוריות של אותה נקודה (r, θ, φ) ידועות:

x = r סן (θ) Cos (φ)

y = r סן (θ) סן (φ)

z = r Cos (θ)

באותו אופן, כדאי למצוא את היחסים לעבור מהקואורדינטות הקרטזיות (x, y, z) של נקודה נתונה לקואורדינטות הכדוריות של הנקודה האמורה:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = ארקטן (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = ארקטן (y / x)

בסיס וקטורי בקואורדינטות כדוריות

מהקואורדינטות הכדוריות מוגדר בסיס אורתונורמלי של וקטורי בסיס, המסומנים על ידי Ur , Uθ , Uφ . באיור 1 מוצגים שלושת וקטורי היחידה הללו, בעלי המאפיינים הבאים:

- Ur הוא וקטור היחידה המשיק לקו הרדיאלי θ = ctte ו- φ = ctte;

- Uθ הוא וקטור היחידה המשיק לקשת φ = ctte ו- r = ctte;

- Uφ הוא וקטור היחידה המשיק לקשת r = ctte ו- θ = ctte.

אלמנטים קו ונפח בקואורדינטות כדוריות

וקטור המיקום של נקודה במרחב בקואורדינטות כדוריות כתוב כך:

r = r Ur

אולם וריאציה או תזוזה אינסופי של נקודה במרחב התלת מימדי, בקואורדינטות אלה, מתבטאת ביחס הווקטורי הבא:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

לבסוף, dV נפח אינסופי, בקואורדינטות כדוריות, כתוב כך:

dV = r ^ 2 סן (θ) dr dθ dφ

קשרים אלו מועילים מאוד לחישוב אינטגרלי קו ונפח במצבים פיזיים שיש להם סימטריה כדורית.

קשר עם קואורדינטות גיאוגרפיות

קואורדינטות גיאוגרפיות מובנות ככאלה המשמשות לאיתור מקומות על פני כדור הארץ. מערכת זו משתמשת בקואורדינטות קו הרוחב והאורך כדי לאתר את המיקום על פני כדור הארץ.

במערכת הקואורדינטות הגיאוגרפית, ההנחה היא כי פני כדור הארץ הם כדוריים עם רדיוס Rt, אף על פי שידוע שהוא משוטח בקטבים, ונחשבת קבוצה של קווים דמיוניים הנקראים מקבילות ומרידיאנים.

איור 2. קו רוחב α ורוחב הרוחב β של צופה על פני כדור הארץ.

קו הרוחב β הוא זווית שנוצרת על ידי רדיוס המתחיל ממרכז כדור הארץ לנקודה אותה תרצו למקם. הוא נמדד מהמטוס המשווני, כפי שמוצג באיור 2. מצד שני, קו האורך α הוא הזווית שמרידיאן של הנקודה הממוקמת נוצר ביחס למרידיאן האפס (המכונה מרידיאן גריניץ ').

קו הרוחב יכול להיות קו רוחב צפון או דרום, תלוי אם המקום בו אתם מאתרים נמצא בחצי הכדור הצפוני או בחצי הכדור הדרומי. באופן דומה, קו האורך יכול להיות מערבית או מזרחית, תלוי אם המיקום ממערב או ממזרח למרידיאן האפס.

נוסחאות לשינוי מגיאוגרפי לכדוריות

כדי להשיג נוסחאות אלה הדבר הראשון הוא להקים מערכת קואורדינטות. מטוס ה- XY נבחר לחפוף עם המישור המשווני, כאשר ציר חצי ה- X החיובי הוא זה העובר ממרכז כדור הארץ ועובר במרידיאן האפס. בתורו, ציר Y עובר במרידיאן 90º E. לפני השטח של כדור הארץ יש רדיוס Rt.

עם מערכת הקואורדינטות הזו ההמרות מגיאוגרפי לכדוריות נראות כך:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

דוגמאות

דוגמא 1

הקואורדינטות הגיאוגרפיות של פלמה דה מיורקה (ספרד) הן:

קו אורך מזרח 38.847 º וצפון קו רוחב 39.570 מעלות. כדי לקבוע את הקואורדינטות הכדוריות המתאימות לפלמה דה מיורקה, מיושמת הראשונה בנוסחאות הנוסחאות בסעיף הקודם:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 ק"מ, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

אז הקואורדינטות הכדוריות הן:

פלמה דה מיורקה: (r = 6371 ק"מ, θ = 50.43º, φ = 38.85º)

בתשובה הקודמת נלקח r שווה לרדיוס הממוצע של כדור הארץ.

דוגמא 2

הידיעה שלאיי מלווינס (פוקלנד) יש קואורדינטות גיאוגרפיות של 59ºO 51.75ºS, קובעות את הקואורדינטות הקוטביות המתאימות. זכרו שציר ה- X עובר ממרכז כדור הארץ למרידיאן 0º ובמישור המשווני; ציר Y גם במישור המשווה ועובר במרידיאן המערבי 90 מעלות; לבסוף ציר ה- Z על ציר הסיבוב של כדור הארץ בכיוון דרום-צפון.

כדי למצוא את הקואורדינטות הכדוריות המתאימות אנו משתמשים בנוסחאות המוצגות בסעיף הקודם:

59ºO 51.75ºS → (r = 6371 ק"מ, θ = 90º + 51.75º, φ = 360º-59º) כלומר

מלווינס: (r = 6371 ק"מ, θ = 141.75 מעלות, φ = 301º)

תרגילים

תרגיל 1

מצא את הקואורדינטות הקרטזיות של פלמה דה מיורקה במערכת ההתייחסות הקרטזית XYZ המוצגת באיור 2.

הפיתרון: בעבר, בדוגמה 1, הושגו הקואורדינטות הכדוריות החל מהקואורדינטות הגאוגרפיות של פלמה דה מיורקה. כך שניתן להשתמש בנוסחאות המוצגות לעיל כדי לעבור מכדוריות לקרטזיות:

x = 6371 ק"מ סן (50.43º) Cos (38.85º)

y = 6371 ק"מ סן (50.43º) סן (38.85º)

z = 6371 ק"מ Cos (50.43º)

ביצוע החישובים המתאימים שיש לנו:

פלמה דה מיורקה: (x = 3825 ק"מ, y = 3081 ק"מ, z = 4059)

תרגיל 2

מצא את הקואורדינטות הקרטזיות של איי פוקלנד במערכת ההתייחסות הקרטזית XYZ המוצגת באיור 2.

הפיתרון: בעבר, בדוגמה 2, הושגו הקואורדינטות הכדוריות החל מהקואורדינטות הגאוגרפיות של איי מלווינס. כך שניתן להשתמש בנוסחאות המוצגות לעיל כדי לעבור מכדוריות לקרטזיות:

x = 6371 ק"מ סן (141.75 מעלות) Cos (301º)

y = 6371 ק"מ סן (141.75º) סן (301º)

z = 6371 ק"מ Cos (141.75º)

בביצוע החישובים המתאימים, נקבל:

איי פוקלנד: (x = 2031 ק"מ, y = -3381 ק"מ, z = -5003)

הפניות

1. ארפקן G וובר ה '(2012). שיטות מתמטיות לפיזיקאים. מדריך מקיף. מהדורה 7. עיתונות אקדמית. ISBN 978-0-12-384654-9
2. חישוב סמ"ק. פתרו בעיות של קואורדינטות גליליות וכדוריות. התאושש מ: calculo.cc
3. סדנת אסטרונומיה. קו רוחב ואורך. התאושש מ: tarifamates.blogspot.com/
4. ויסשטיין, אריק וו. "קואורדינטות כדוריות." מאת MathWorld-A וולפרם ווב. התאושש מ: mathworld.wolfram.com
5. ויקיפדיה. מערכת קואורדינטות כדוריות. התאושש מ: en.wikipedia.com
6. ויקיפדיה. שדות וקטוריים בקואורדינטות גליליות וכדוריות. התאושש מ: en.wikipedia.com