קבוע של מידתיות: מה זה, חישוב, תרגילים - מתמטיקה - 2025

קבוע מידתי הוא אלמנט מספרי יחסי, המשמש להגדרת התבנית של דמיון בין 2 כמויות כי הם שינו בו זמנית. מקובל מאוד לייצג אותה כפונקציה ליניארית באופן כללי באמצעות הביטוי F (X) = kX, עם זאת, זה לא הייצוג היחיד של מידתיות אפשרית.

לדוגמא, למערכת היחסים בין X ל- Y בפונקציה Y = 3x יש קבוע של מידתיות השווה ל -3. נצפה שככל שהמשתנה X העצמאית גדל כך גם המשתנה Y התלוי פי שלושה מערכו קודם.

לשינויים החלים על משתנה אחד יש השלכות מיידיות על האחרת, כך שיש ערך המכונה קבוע המידתיות. זה משמש לקשר בין העוצמות השונות ששני המשתנים רוכשים.

מה קבוע המידתיות והסוגים

על פי המגמה בשינוי המשתנים, ניתן לסווג את הפרופורציות לשני סוגים.

מידתיות ישירה

מציע קשר חד כיווני בין שני כמויות. בתוכו, אם המשתנה הבלתי תלוי מראה צמיחה מסוימת, המשתנה התלוי יגדל גם הוא. באופן דומה, כל ירידה במשתנה הבלתי תלוי תגרום לירידה בעוצמת Y.

לדוגמה, הפונקציה הקווית ששימשה במבוא; Y = 3X, מתאים לקשר ישיר של מידתיות. הסיבה לכך היא שהעלייה במשתנה X הבלתי תלוי תגרום לעלייה משולשת בערך הקודם שנלקח על ידי המשתנה התלוי Y.

באופן דומה המשתנה התלוי יקטן פי שלוש מערכו כאשר X יורד בעוצמה.

הערך של קבוע המידתיות "K" במערכת יחסים ישירה מוגדר כ- K = Y / X.

מידתיות הפוכה או עקיפה

בסוג זה של פונקציות, הקשר בין המשתנים מוצג באופן אנונימי, כאשר הצמיחה או הירידה של המשתנה הבלתי תלוי תואמים בהתאמה לירידה או צמיחה של המשתנה התלוי.

לדוגמה, הפונקציה F (x) = k / x היא קשר הפוך או עקיף. מכיוון שערכו של המשתנה הבלתי תלוי מתחיל לעלות, הערך של k יחולק במספר הולך וגדל, וגורם למשתנה התלוי לרדת בערך לפי הפרופורציה.

על פי הערך שלקח K, ניתן להגדיר את מגמת הפונקציה היחסית ההפוכה. אם k> 0, הפונקציה תפחת על כל המספרים האמיתיים. והגרף שלך יהיה ברבע הראשון והשלישי.

נהפוך הוא, אם הערך של K שלילי או פחות מאפס, הפונקציה תגדל והגרף שלה יימצא ברבע השני והרביעי.

איך זה מחושב?

ישנם הקשרים שונים בהם עשויה להידרש להגדרת קבוע המידתיות. במקרים השונים, יוצגו נתונים שונים אודות הבעיה, כאשר המחקר בהם יניב סוף סוף את הערך של ק.

בדרך גנרית ניתן להכניס מחדש את האמור לעיל. הערכים של K תואמים לשני ביטויים בהתאם לסוג המידתיות הקיים:

- ישיר: K = Y / X

- הפוך או עקיף: K = YX

על פי הגרף שלה

לפעמים הגרף של פונקציה יהיה ידוע רק באופן חלקי או מלא. במקרים אלה יהיה צורך, באמצעות ניתוח גרפי, לקבוע את סוג המידתיות. אז יהיה צורך להגדיר קואורדינטה המאפשרת לאמת את הערכים של X ו- Y כדי להחיל על הנוסחה המתאימה של K.

הגרפים המתייחסים לממדים ישירים הם לינאריים. מצד שני, הגרפים של פונקציות פרופורציות הפוכות בדרך כלל צורות של היפרבולות.

על פי טבלת הערכים

במקרים מסוימים, יש טבלת ערכים עם הערכים המתאימים לכל איטרציה של המשתנה הבלתי תלוי. בדרך כלל זה כרוך ביצירת הגרף בנוסף להגדרת הערך של K.

על פי ביטוי אנליטי

מחזירה את הביטוי המגדיר את הפונקציה באופן אנליטי. ניתן לפתור את הערך של K ישירות, או שניתן להסיק אותו גם מהביטוי עצמו.

על ידי כלל ישיר או מורכב משלושה

במודלים אחרים של התרגיל מוצגים נתונים מסוימים המתייחסים לקשר בין הערכים. זה מחייב להחיל את הכלל הישיר או המורכב משלושה כדי להגדיר נתונים אחרים הנדרשים בתרגיל.

הִיסטוֹרִיָה

מושג המידתיות היה מאז ומעולם. לא רק במוחם ועבודתם של המתמטיקאים הגדולים, אלא בחיי היומיום של האוכלוסייה, בשל מעשיותה ויישומם.

מקובל מאוד למצוא מצבים הדורשים גישה פרופורציונאלית. אלה מוצגים בכל מקרה בו יש צורך להשוות בין משתנים ותופעות שיש להם קשרים מסוימים.

באמצעות ציר זמן אנו יכולים לאפיין את הרגעים ההיסטוריים, שבהם נעשה שימוש בהתקדמות מתמטית ביחס למידתיות.

- המאה השנייה לפנה"ס. מערכת אגירת שברים ופרופורציות מאומצת ביוון.

- המאה החמישית לפני הספירה. היחס המתייחס לצד האלכסון של הכיכר מתגלה גם ביוון.

- 600 לפני הספירה תאלס ממילטוס מציג את משפטו ביחס למידתיות.

- שנת 900. המערכת העשרונית ששימשה בעבר הודו מורחבת ביחס ובפרופורציות. תרומה מצד הערבים.

- המאה ה- XVII. התרומות לגבי הפרופורציות מגיעות לחישוב של אוילר.

- המאה ה- XIX. גאוס תורם את מושג המספר והפרופורציה המורכבים.

- המאה העשרים. מידתיות כמודל פונקציה מוגדרת על ידי Azcarate ו- Deulofeo.

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

זה נדרש לחשב את הערך של המשתנים x, y, z ו- g. הכרת היחסים הפרופורציונליים הבאים:

3x + 2y - 6z + 8g = 1925

x / 3 = y / 8 = z / 3 = g / 5

אנו ממשיכים להגדיר את הערכים היחסיים של קבוע המידתיות. ניתן להשיג את אלה מהקשר השני, כאשר הערך המחלק כל משתנה מציין יחס או יחס המתייחס ל- K.

X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k

הערכים מוחלפים בביטוי הראשון, שם המערכת החדשה תוערך במשתנה בודד k.

3 (3k) + 2 (2k) - 6 (3k) + 8 (5k) = 1925

9k + 4k -18k + 40k = 1925

35k = 1925

K = 1925/35 = 55

בעזרת ערך זה של קבוע המידתיות אנו יכולים למצוא את המספר המגדיר כל אחד מהמשתנים.

x = 3 (55) = 165 y = 2 (55) = 110

z = 3 (55) = 165 גרם = 5 (55) = 275

תרגיל 2

חשב את קבוע המידתיות ואת הביטוי המגדיר את הפונקציה, בהתחשב בתרשים שלה.

ראשית, הגרף מנותח, ואופיו הליניארי ניכר. זה מצביע על כך שמדובר בפונקציה עם מידתיות ישירה וכי הערך של K יתקבל באמצעות הביטוי k = y / x

ואז נבחר נקודה הניתנת לקביעה מהגרף, כלומר נקודה בה ניתן לראות את הקואורדינטות המרכיבות אותה בדיוק.

במקרה זה נלקחת הנקודה (2, 4). משם נוכל ליצור את הקשר הבא.

K = 4/2 = 2

אז הביטוי מוגדר על ידי הפונקציה y = kx, שבמקרה זה תהיה

F (x) = 2x

הפניות

1. מתמטיקה לחשמל ואלקטרוניקה. ד"ר ארתור קרמר. לימוד Cengage, 27 ביולי 2012
2. חזון 2020: התפקיד האסטרטגי של המחקר התפעולי. נ 'רביצ'נדרן. מוציאים של בעלות הברית, 11 בספטמבר 2005
3. ידע דקדוקי ואריתמטי של עוזר מינהלי של הספר האלקטרוני. MAD-Eduforma
4. חיזוק מתמטיקה לתמיכה וגיוון של תכניות לימודים: לתמיכה וגיוון לימודים. Mª Lourdes Lázaro Soto. Narcea Ediciones, 29 באוגוסט. 2003
5. לוגיסטיקה וניהול מסחרי. מריה חוסה אסקודרו סרנו. Ediciones Paraninfo, SA, 1 בספטמבר. 2013