ערכה סופית מובנת לכל קבוצה עם מספר אלמנטים מוגבל או ניתן לספור. דוגמאות לסטים סופיים הם הגולות הכלולות בשקית, קבוצת הבתים בשכונה, או הסט P שנוצר על ידי עשרים (20) המספרים הטבעיים הראשונים:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
קבוצת הכוכבים ביקום היא בהחלט עצומה, אך לא ידוע בוודאות אם היא סופית או אינסופית. עם זאת, מערכת הפלנטות במערכת השמש היא סופית.
איור 1. קבוצת המצולעים היא סופית וגם קבוצת המשנה של הקבועים. (Wikimedia Commons)
מספר האלמנטים בערכה סופית נקרא קרדינליות שלה ועבור הסט P זה מצוין כדלקמן: כרטיס ( P ) או # P. לסט הריק יש אפס קרדינליות והוא נחשב לסט סופי.
נכסים
בין המאפיינים של סטים סופיים הם הבאים:
1 - איחוד הסטים הסופיים מוליד מערך סופי חדש.
2- אם שתי קבוצות סופיות מצטלבות, תוצאת קבוצה סופית חדשה.
3- תת קבוצה של ערכה סופית היא סופית והקרדינליות שלה פחות או שווה לזו של הסט המקורי.
4- הסט הריק הוא סט סופי.
דוגמאות
ישנן דוגמאות רבות לסטים סופיים. כמה דוגמאות כוללות את הדברים הבאים:
הסט M של חודשי השנה, אשר בצורה מורחבת ניתן לכתוב כך:
M = {ינואר, פברואר, מרץ, אפריל, מאי, יוני, יולי, אוגוסט, ספטמבר, אוקטובר, נובמבר, דצמבר}, הקרדינליות של M היא 12.
הסט S של ימי השבוע: S = {שני, שלישי, רביעי, חמישי, שישי, שבת, ראשון}. הקרדינליות של S היא 7.
הסט Ñ של אותיות האלף-בית הספרדי הוא קבוצה סופית, הסט הזה באמצעות סיומת כתוב ככה:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} והקרדינליות שלו היא 27.
הסט V של התנועות בספרדית הוא קבוצת משנה של הסט Ñ:
V ⊂ Ñ ולכן הוא קבוצה סופית.
הסט הסופי V בצורה נרחבת נכתב כך: V = {a, e, i, o, u} והקרדינליות שלו היא 5.
סטים יכולים לבוא לידי ביטוי על ידי הבנה. הסט F המורכב מאותיות המילה "סופי" הוא דוגמה:
F = {x / x הוא אותיות של המילה "סופי"}
קבוצה זו באה לידי ביטוי בצורה נרחבת תהיה:
F = {f, i, n, t, o} שהקרדינליות שלה היא 5 ולכן היא קבוצה סופית.
דוגמאות נוספות
צבעי הקשת הם דוגמא נוספת לסט סופי, הסט C של הצבעים הללו הוא:
C = {אדום, כתום, צהוב, ירוק, ציאן, כחול, סגול} והקרדינליות שלו היא 7.
קבוצת השלבים F של הירח היא דוגמא נוספת לסט סופי:
F = {ירח חדש, רבע ראשון, ירח מלא, רבע אחרון} לסט הזה יש קרדינליות 4.
איור 2. כוכבי הלכת של מערכת השמש מהווים מערכת קבועה סופית. (pixabay)
מערך סופי אחר הוא זה שנוצר על ידי כוכבי הלכת של מערכת השמש:
P = {מרקורי, ונוס, כדור הארץ, מאדים, יופיטר, שבתאי, אורנוס, נפטון, פלוטו} של קרדינליות 9.
תרגילים שנפתרו
תרגיל 1
הערכה הבאה A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} ניתנת. הביעו אותו במילים וכתב אותו בהרחבה, ציין את קרדינליותו ואמר האם הוא סופי או לא.
הפיתרון: הסט A הוא קבוצת המספרים האמיתיים x כך ש- x קוביות כתוצאה 27.
למשוואה x ^ 3 = 27 יש שלושה פתרונות: הם x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) ו- x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). מבין שלושת הפתרונות, רק x1 הוא אמיתי, בעוד ששני האחרים הם מספרים מורכבים.
מכיוון שההגדרה של סט A אומרת ש- x שייך למספרים האמיתיים, אז הפתרונות למספרים המורכבים אינם חלק מהסט A.
הסט A המתבטא בהרחבה הוא:
A = {3}, שהיא קבוצה סופית של קרדינליות 1.
תרגיל 2
כתוב בצורה סמלית (לפי הבנה) ובצורה נרחבת את הסט B של מספרים אמיתיים שהם גדולים מ- 0 (אפס) ופחות או שווים ל- 0 (אפס). ציין את קרדינליותו והאם הוא סופי או לא.
הפיתרון: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
הסט B הוא ריק מכיוון שמספר אמיתי x אינו יכול להיות גדול בו זמנית ופחות מאפס, בדיוק כפי שהוא אינו יכול להיות 0 וגם פחות מ -0.
B = {} והקרדינליות שלה היא 0. הסט הריק הוא קבוצה סופית.
תרגיל 3
הסט S של הפתרונות של משוואה מסוימת ניתנת. הסט S על ידי הבנה נכתב כך:
S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
כתוב ערכה כאמור בצורה נרחבת, ציין את קרדינליותה וסמן אם מדובר בערכה סופית או לא.
הפיתרון: ראשית, כאשר מנתחים את הביטוי המתאר את הסט S, מתקבל שמדובר בערך של x ערכים אמיתיים שהם פתרונות של המשוואה:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
פיתרון של משוואה זו הוא x = 3, שהוא מספר אמיתי ולכן הוא שייך לס. אבל יש יותר פתרונות שניתן להשיג על ידי חיפוש הפתרונות של המשוואה הריבועית:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
ניתן לבחון את הביטוי לעיל באופן הבא:
(x - 4) (x - 5) = 0
מה שמוביל אותנו לשני פתרונות נוספים של המשוואה המקורית (*) שהם x = 4 ו- x = 5. בקיצור, למשוואה (*) יש פתרונות 3, 4 ו- 5.
הסט S המתבטא בצורה נרחבת נראה כך:
S = {3, 4, 5}, שיש לו קרדינליות 3 ולכן הוא קבוצה סופית.
תרגיל 4
יש שתי מערכות A = {1, 5, 7, 9, 11} ו- B = {x ∊ N / x הוא אפילו ^ x <10}.
כתוב את הסט B באופן מפורש ומצא את האיחוד עם הסט A. מצא גם את היירוט של שתי קבוצות אלה וסיכם.
הפיתרון: קבוצה B מורכבת ממספרים טבעיים כך שהם אחידים וגם הם פחותים מהערך 10, ולכן בערכה B רחבה זה כתוב כדלקמן:
B = {2, 4, 6, 8}
האיחוד של סט A עם סט B הוא:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
והיירוט של הסט A עם הסט B כתוב כך:
A ⋂ B = {} = Ø הוא הסט הריק.
יש לציין כי האיחוד והיירוט של שני הסטים הסופיים הללו מובילים לסטים חדשים, שבתורם הם גם סופיים.
הפניות
- Fuentes, A. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחשבון. Lulu.com.
- גארו, מ '(2014). מתמטיקה: משוואות ריבועיות: כיצד פותרים משוואה ריבועית. מארילו גרו.
- הייסלר, אי.פי, ופול, רס (2003). מתמטיקה לניהול וכלכלה. פירסון חינוך.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). מתמטיקה 1 SEP. מפתן.
- Preciado, CT (2005). קורס מתמטיקה שלישי. פרוגרסו עריכה.
- מתמטיקה 10 (2018). "דוגמאות לסטים סופיים". התאושש מ: matematicas10.net
- רוק, נ.מ. (2006). אלגברה אני קלה! כל כך קל. צוות רוק עיתונות.
- Sullivan, J. (2006). אלגברה וטריגונומטריה. פירסון חינוך.
- ויקיפדיה. סט סופי. התאושש מ: es.wikipedia.com