קשת , בגיאומטריה, הוא כל קו מעוקל שמחבר בין שתי נקודות. קו מעוקל, בשונה מקו ישר, הוא כיוונו שונה בכל נקודה עליו. ההפך מקשת הוא קטע, מכיוון שמדובר בקטע ישר המצטרף לשתי נקודות.
הקשת הנפוצה ביותר בגיאומטריה היא קשת ההיקפים. קשתות אחרות הנמצאות בשימוש נפוץ הן הקשת הפרבולית, הקשת האליפטית וקשת החוליות. צורת הקשת משמשת לעתים קרובות גם באדריכלות כאלמנט דקורטיבי ואלמנט מבני. זהו המקרה של המשקופים של הדלתות והחלונות, כמו גם של הגשרים והאמות.
איור 1. הקשת היא קו מעוקל המצטרף לשתי נקודות באופק. מקור: Pixabay
הקשת ומידותיה
מידת הקשת היא אורכה, שתלויה בסוג העקומה המחברת בין שתי הנקודות והמיקום שלהן.
אורך קשת מעגלית הוא אחד הפשוטים ביותר לחישוב, מכיוון שאורך הקשת השלם או היקף ההיקף השלם ידוע.
היקף המעגל הוא פי פי פי הרדיוס שלו: p = 2 π R. בידיעה זאת, אם ברצוננו לחשב את האורך s של קשת מעגלית של זווית α (נמדדת ברדיאנים) ורדיוס R, מוחל פרופורציה:
(s / p) = (α / 2 π)
לאחר מכן, לנקות s מהביטוי הקודם ולהחליף את ההיקף p בביטויו כפונקציה של הרדיוס R, יש לנו:
s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.
כלומר, מידת הקשת המעגלית היא תוצר של זמני הפתיחה הזוויתיים שלו ברדיוס של הקשת המעגלית.
עבור קשת בכלל הבעיה מורכבת יותר, עד כדי כך שהוגי הדעות הקדומים הגדולים טענו שמדובר במשימה בלתי אפשרית.
רק עם כניסתו של חישוב דיפרנציאלי ואינטגרלי בשנת 1665, נפתרה בעיית מדידת קשת כלשהי באופן משביע רצון.
לפני המצאת חישוב דיפרנציאלי, ניתן היה למצוא פתרונות רק באמצעות קווים מצולעים או קשתות של היקפים שקירבו את הקשת האמיתית, אך פתרונות אלה לא היו מדויקים.
סוגי קשתות
מבחינת הגיאומטריה, קשתות מסווגות לפי הקו המעוגל המצטרף לשתי נקודות במטוס. ישנן סיווגים אחרים לפי השימוש והצורה האדריכלית שלו.
קשת מעגלית
כאשר הקו המחבר בין שתי נקודות במטוס הוא חתיכת היקף של רדיוס מסוים, יש לנו קשת מעגלית. איור 2 מציג קשת c עגולה של רדיוס R נקודות חיבור A ו- B.
איור 2. קשת מעגלית של רדיוס R המחברת בין נקודות A ו- B. המוחזק על ידי ריקרדו פרז.
קשת פרבולית
הפרבולה היא השביל שאחריו חפץ שנזרק באלכסון. כאשר העקומה המצטרפת לשתי נקודות היא פרבולה, אז יש לנו קשת פרבולית כמו זו שמוצגת באיור 3.
איור 3. איור 3. קשת פרבולית המחברת בין נקודות A ו- B. המועברים על ידי ריקרדו פרז.
זו צורת סילון המים שיוצא מצינור שמכוון כלפי מעלה. ניתן להבחין בקשת הפרבולית במקורות המים.
איור 4. קשת פרבולית שנוצרה על ידי מים ממזרקה בדרזדן. מקור: Pixabay.
קשת המגן
קשת המגן היא קשת טבעית נוספת. המגן הוא העקומה הנוצרת באופן טבעי כאשר שרשרת או חבל תלויים באופן רופף משתי נקודות נפרדות.
איור 5. איור 5. קשת לידה והשוואה לקשת הפרבולית. הוכן על ידי ריקרדו פרז.
המיתריה דומה לפרבולה, אך היא אינה בדיוק כפי שניתן לראות בתרשים 4.
קשת החוטים ההפוכה משמשת בארכיטקטורה כאלמנט מבני בעל חוזק דחיסה גבוה. למעשה, ניתן להראות שהוא סוג החרטום החזק ביותר מבין כל הצורות האפשריות.
כדי לבנות קשת שרירים מוצקה, פשוט העתק את הצורה של חבל או שרשרת תלויים, ואז את הצורה המועתקת מועברים כדי לשחזר אותה על משקוף הדלת או החלון.
קשת אליפטית
קשת אליפטית אם הקימור המחבר בין שתי נקודות הוא חתיכת אליפסה. האליפסה מוגדרת כנקודה של נקודות שהמרחק שלהן לשתי נקודות נתונות תמיד מסתכם בכמות קבועה.
האליפסה היא עקומה המופיעה בטבע: היא עקומת מסלול כוכבי הלכת סביב השמש, כפי שהדגים יוהנס קפלר בשנת 1609.
בפועל ניתן לצייר אליפסה על ידי הצמדת שני תמוכות לקרקע או שני סיכות בנייר נייר וקשירת חוט אליהם. לאחר מכן מתהדקים את החבל בעזרת הטוש או העיפרון והעקומה מתחקה. חתיכת אליפסה היא קשת אליפטית. ההנפשה הבאה ממחישה כיצד מצויר האליפסה:
איור 5. התחקות אחר אליפסה באמצעות חבל מתוח. מקור: Wikimedia Commons
איור 6 מראה קשת אליפטית המחברת בין נקודות G ו- H.
איור 6. קשת אליפטית המחברת בין שתי נקודות. הוכן על ידי ריקרדו פרז.
דוגמאות לקשתות
הדוגמאות הבאות מתייחסות לחישוב ההיקף של כמה קשתות ספציפיות.
דוגמא 1
איור 7 מציג חלון שסיים בקשת מעגלית חתוכה. המידות המוצגות באיור הן ברגליים. מצא את אורך הקשת.
איור 7. חישוב אורך הקשת המעגלית של חלון. (הערות בעלות - תמונת חלון ב- Pixabay)
כדי להשיג את מרכז ורדיוס קשתו המעגלית של משקוף החלון, מבנים על המבנים הבאים:
-מקטע KL מצויר והביזקטור שלו מצויר.
ואז נמצא הנקודה הגבוהה ביותר של המשקוף, אותה אנו מכנים M. M. הבא, נחשב הקטע KM והמדיטריצה שלו מתייחסת.
היירוט של שני הביזקטורים הוא נקודה N וזה גם מרכז הקשת המעגלית.
עכשיו עלינו למדוד את אורך קטע ה- NM, אשר עולה בקנה אחד עם הרדיוס R של הקשת המעגלית: R = 2.8 רגל.
-כדי לדעת את אורך הקשת בנוסף לרדיוס, יש לדעת את הזווית שהקשת יוצרת. אותם ניתן לקבוע בשתי שיטות, או שהיא נמדדת בעזרת מדד, או לחילופין היא מחושבת באמצעות טריגונומטריה.
במקרה המוצג, הזווית שנוצרה על ידי הקשת היא 91.13 מעלות, אותה יש להמיר לרדיאנים:
91.13º = 91.13º * π / 180º = 1.59 רדיאנים
לבסוף אנו מחשבים את אורך הקשת באמצעות הנוסחה s = α R.
s = 1.59 * 2.8 רגל = 4.45 רגל
דוגמא 2
מצא את אורך הקשת האליפטית המוצגת באיור 8, תוך הכרת הציר החצי-מז'ורי r וציר המחצה-מינורי של האליפסה.
איור 8. קשת אליפטית בין GH. הוכן על ידי ריקרדו פרז.
מציאת אורך של אליפסה הייתה אחת הבעיות הקשות במתמטיקה מזה זמן רב. אתה יכול לקבל פתרונות הבאים לידי ביטוי על ידי אינטגרלים אליפטיים, אך כדי לקבל ערך מספרי עליך להרחיב את האינטגרלים הללו בסדרות כוח. תוצאה מדויקת תדרוש אינסוף מונחים של אותן סדרות.
למרבה המזל הגאון המתמטי ההינדי רמנוג'אן, שחי בין 1887 ל -1920, מצא נוסחה המדויקת מאוד להיקף האליפסה:
היקף האליפסה עם r = 3 ס"מ ו- s = 2.24 ס"מ הוא 16.55 ס"מ. עם זאת, לקשת האליפטית המוצגת יש מחצית מערך זה:
אורך הקשת האליפטית GH = 8.28 ס"מ.
הפניות
- Clemens S. 2008. גיאומטריה וטריגונומטריה. פירסון חינוך.
- גרסיה פ. נהלים נומריים בג'אווה. אורך אליפסה. התאושש מ: sc.ehu.es
- גיאומטריה דינאמית. קשתות. התאושש מ- geometriadinamica.es
- פיזיאדס. אליפסות ופרבולות סביבנו. התאושש מ: piziadas.com
- ויקיפדיה. קשת (גיאומטריה). התאושש מ: es.wikipedia.com