13 שיעורים של סטים ודוגמאות - אוצר מילים תרבות - 2025

ניתן לסווג את מחלקות הסטים לשוויון, סופי ואינסופי, קבוצות משנה, חללים, פרודים או לא מפסיקים, שווה ערך, יחידה, זו עם זו או אחרת, חופפים, ללא הלימה, בין השאר.

סט הוא אוסף של אובייקטים, אך מונחים וסמלים חדשים נחוצים בכדי להיות מסוגלים לדבר בצורה מושכלת על סטים. לדוגמא, אנו אומרים סט של סוסים, סט של מספרים אמיתיים, קבוצת אנשים, סט של כלבים וכו '.

בשפה הרגילה, העולם בו אנו חיים הגיוני על ידי סיווג הדברים. לספרדית יש מילים רבות לאוספים כאלה. לדוגמה, "עדר ציפורים", "עדר בקר", "נחיל דבורים", ו"מושבת נמלים ".

במתמטיקה נעשה דבר דומה בעת סיווג מספרים, דמויות גיאומטריות וכו '. האובייקטים בסטים אלה נקראים אלמנטים להגדיר.

תיאור סט

ניתן לתאר ערכה על ידי רשימת כל האלמנטים שלה. לדוגמה,

S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S היא הסט שרכיביו הם 1, 3, 5, 7 ו- 9." חמשת האלמנטים של הסט מופרדים באמצעות פסיקים ומופיעים בסוגריים.

ניתן לתחום ערכה גם על ידי הצגת הגדרה של האלמנטים שלה בסוגריים מרובעים. לפיכך, הערכה S לעיל יכולה להיכתב גם כ:

S = {מספרים מספרים מוזרים פחות מ- 10}.

סט חייב להיות מוגדר היטב. משמעות הדבר היא שתיאור האלמנטים של סט חייב להיות ברור וחד משמעי. לדוגמה, {אנשים גבוהים} אינו סט, מכיוון שאנשים נוטים לא להסכים עם המשמעות של 'גבוה'. דוגמה לסט מוגדר היטב היא

T = {אותיות האלף-בית}.

סוגי סטים

1- סטים שווים

שתי סטים שווים אם יש להם אותם אלמנטים בדיוק.

לדוגמה:

• אם A = {וודרים של האלף-בית} ו- B = {a, e, i, o, u} נאמר ש- A = B.
• מצד שני, הסטים {1, 3, 5} ו- {1, 2, 3} אינם זהים, מכיוון שיש להם אלמנטים שונים. זה כתוב כ {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
• הסדר בו נכתבים האלמנטים בתוך הסוגריים אינו משנה כלל. לדוגמה, {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• אם פריט מופיע ברשימה יותר מפעם אחת, הוא נספר רק פעם אחת. לדוגמה, {a, a, b} = {a, b}.

לסט {a, a, b} יש רק את שני האלמנטים a ו- b. האזכור השני של א הוא חזרה מיותרת וניתן להתעלם ממנה. לרוב זה נחשב לציון רע כאשר אלמנט מונה לא פעם.

2- סטים סופיים ואינסופיים

סטים סופיים הם אלה שבהם ניתן לספור או למנות את כל האלמנטים בערכה. להלן שתי דוגמאות:

• {מספרים שלמים בין 2,000 ל- 2,005} = {2,001, 2,002, 2,003, 2,004}
• {מספרים שלמים בין 2,000 ל -3,000} = {2,001, 2,002, 2,003, …, 2,999}

שלוש הנקודות '…' בדוגמה השנייה מייצגות את שאר 995 המספרים בערכה. ניתן היה לרשום את כל הפריטים, אך כדי לחסוך מקום, במקום נעשה שימוש בנקודות. ניתן להשתמש בסימון זה רק אם ברור לחלוטין מה פירושו, כמו במצב זה.

סט יכול גם להיות אינסופי - כל מה שחשוב זה שהוא מוגדר היטב. להלן שתי דוגמאות לסטים אינסופיים:

• {מספרים מספרים ומספרים שלמים הגדולים או שווים לשניים} = {2, 4, 6, 8, 10, …}
• {מספרים שלמים העולים על 2,000} = {2,001, 2,002, 2,003, 2,004, …}

שתי הסטים הם אינסופיים, מכיוון שלא משנה כמה פריטים תנסו למנות, תמיד יש יותר פריטים בערכה שלא ניתן לרשום, לא משנה כמה זמן תנסו. הפעם לנקודות "…" יש משמעות מעט שונה, מכיוון שהם מייצגים אין סוף פריטים רבים ללא מספר.

3 - מגדיר קבוצות משנה

קבוצת משנה היא חלק מהתפאורה.

• דוגמה: ינשופים הם סוג מסוים של ציפור, כך שכל ינשוף הוא גם ציפור. בשפת הסטים זה בא לידי ביטוי באומרו שערכת הינשופים היא תת-קבוצה של קבוצת הציפורים.

קבוצה S נקראת תת קבוצה של קבוצה אחרת T, אם כל אלמנט של S הוא אלמנט של T. זה כתוב כ:

• S ⊂ T (קרא "S היא קבוצת משנה של T")

הסמל החדש ⊂ פירושו 'הוא תת-קבוצה של'. אז {ינשופים} ⊂ {ציפורים} כי כל ינשוף הוא ציפור.

• אם A = {2, 4, 6} ו- B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, אז A ⊂ B,

כי כל אלמנט של A הוא מרכיב של B.

הסמל ⊄ פירושו 'לא תת-קבוצה'.

המשמעות היא שלפחות אלמנט אחד של S אינו מרכיב של T. לדוגמא:

• {ציפורים} ⊄ {יצורים מעופפים}

כי יען הוא ציפור, אך הוא אינו עף.

• אם A = {0, 1, 2, 3, 4} ו- B = {2, 3, 4, 5, 6}, אז A ⊄

מכיוון ש- 0 ∈ A, אלא 0 ∉ B, אנו קוראים "0 שייך לסט A", אך "0 לא שייך לסט B".

4- סט ריק

הסמל Ø מייצג את הסט הריק, שהוא הסט שאין בו אלמנטים כלל. שום דבר ביקום כולו אינו מרכיב ב- Ø:

• - Ø - = 0 ו- X ∉ Ø, לא משנה מה יכול להיות X.

יש רק קבוצה אחת ריקה, מכיוון ששתי סטים ריקים הם בעלי אותם אלמנטים בדיוק, ולכן עליהם להיות שווים זה לזה.

5- סטים פרודים או מפרידים

שתי קבוצות נקראות disjoints אם אין להן אלמנטים משותפים. לדוגמה:

• הסטים S = {2, 4, 6, 8} ו- T = {1, 3, 5, 7} אינם קשורים זה לזה.

6- סטים שווים

נאמר כי A ו- B שוות ערך אם יש להם אותו מספר אלמנטים המהווים אותם, כלומר המספר הקרדינלי של הסט A שווה למספר הקרדינלי של הסט B, n (A) = n (B). הסמל לציין קבוצה שווה ערך הוא '↔'.

• לדוגמא:
  A = {1, 2, 3}, ולכן n (A) = 3
  B = {p, q, r}, ולכן n (B) = 3
  לכן, A ↔ B

7- סטים ליחידה

זהו סט שיש בו בדיוק אלמנט אחד. במילים אחרות, יש רק אלמנט אחד המרכיב את השלם.

לדוגמה:

• S = {a}
• תן ל B = {הוא מספר ראשוני שווה}

לכן B היא ערכת יחידה מכיוון שיש רק מספר ראשוני אחד שהוא, כלומר, 2.

8- סט אוניברסלי או הפניה

סט אוניברסלי הוא אוסף כל האובייקטים בהקשר או תיאוריה מסוימים. כל שאר הקבוצות במסגרת זו מהוות קבוצות משנה של הסט האוניברסלי, הנקרא על ידי אות ההון המוטבע U.

ההגדרה המדויקת של U תלויה בהקשר או בתיאוריה הנחשבת. לדוגמה:

• ניתן להגדיר U כסט של כל היצורים החיים בכדור הארץ. במקרה כזה, קבוצת כל הגידולים היא תת-קבוצה של U, הסט של כל הדגים הוא תת-קבוצה נוספת של U.
• אם U מוגדר כסט של כל בעלי החיים על פני כדור הארץ, אז כל הנקבולים הם קבוצת משנה של U, הסט של כל הדגים הוא תת-קבוצה אחרת של U, אבל הסט של כל העצים אינו תת המשנה של U.

9- סטים חופפים או חופפים

שתי סטים שיש להם לפחות אלמנט משותף נקראים קבוצות חופפות.

• דוגמה: תן ל- X = {1, 2, 3} ו- Y = {3, 4, 5}

לשני הסטים X ו- Y יש אלמנט אחד משותף, המספר 3. לכן הם נקראים סטים חופפים.

10- סטים קונגרגנטיים.

הם הקבוצות בהן לכל אחד מהאלמנטים ב- A יש את אותו יחסים מרחקיים עם אלמנטים הדימוייים של B. דוגמה:

• ב {2, 3, 4, 5, 6} ו- A {1, 2, 3, 4, 5}

המרחק בין: 2 ל -1, 3 ו -2, 4 ו -3, 5 ו 4, 6 ו 5 הוא יחידה (1), כך ש- A ו- B הם קבוצות חופפות.

11- סטים לא חופפים

הם אלה שבהם לא ניתן ליצור קשר יחסי מרחק זהה בין כל אלמנט ב- A עם דימויו ב B. דוגמה:

• B {2, 8, 20, 100, 500} ו- A {1, 2, 3, 4, 5}

המרחק בין: 2 ל -1, 8 ו -2, 20 ו -3, 100 ו -4, 500 ו 5 הוא שונה, ולכן A ו- B הם קבוצות לא הלימה.

12 - סטים הומוגניים

כל האלמנטים המרכיבים את הסט שייכים לאותה קטגוריה, ז'אנר או כיתה. הם מאותו סוג. דוגמא:

• ב {2, 8, 20, 100, 500}

כל האלמנטים של B הם מספרים ולכן הסט נחשב הומוגני.

13 - סטים הטרוגניים

האלמנטים שהם חלק מהתפאורה שייכים לקטגוריות שונות. דוגמא:

• A {z, auto, π, בניינים, חסום}

אין קטגוריה אליה שייכים כל האלמנטים של הסט, לכן מדובר בערכה הטרוגנית.

הפניות

1. Brown, P. et al (2011). סטים ותרשימי Venn. מלבורן, אוניברסיטת מלבורן.
2. סט סופי. התאושש מ: math.tutorvista.com.
3. הון, ל. והון, טי (2009). תובנות מתמטיות משניות 5 רגילות (אקדמיות). סינגפור, פירסון חינוך דרום אסיה Pte Ld.
4. התאושש מ: searchsecurity.techtarget.com.
5. סוגי סטים. התאושש מ: math-only-math.com.