טרפז סקלני: תכונות, נוסחאות ומשוואות, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

טרפז שווה צלעות הוא מצולע עם ארבעת הצדדים, שניים מהם מקבילות זו לזו, ועם שלה ארבע זוויות הפנים של מדדים שונים.

ABCD הרביעי מוצג למטה, כאשר הצדדים AB ו- DC מקבילים זה לזה. די בכך שיהיה טרפז, אך גם זוויות הפנים α, β, γ ו- δ כולן שונות, ולכן הטרפז הוא שקלי.

איור 1. תרשים 1. ABCD מרובע הוא טרפז לפי מצב 1 וסקלן על ידי מצב 2. מקור: F. Zapata.

אלמנטים של טרפז סקלני

להלן האלמנטים האופייניים ביותר:

בסיסים וצדדים: הצדדים המקבילים של הטרפז הם בסיסיו ושני הצדדים הלא מקבילים הם הצדדים.

בטרפז סקלני הבסיסים באורכים שונים וגם אלה לרוחב. עם זאת, טרפז סקלני יכול להיות בעל רוחב שווה לאורכו לבסיס.

-מדיאן: הוא הקטע שמצטרף לנקודות האמצע של הרוחביות .

אלכסונים: האלכסון של טרפז הוא הקטע המצטרף לשני קודקודים מנוגדים. לטרפז, כמו כל ריבוע, יש שני אלכסונים. בטרפז הסקלני הם באורך שונה.

טרפזידים אחרים

מלבד הטרפז הסקלני, ישנם טרפזואידים נוספים מסוימים: הטרפז הנכון והטרפז השביל.

טרפז הוא מלבן כאשר אחת הזוויות שלו צודקת, ואילו לטרפז עם שדיים יש צלעותיו שוות.

הצורה הטרפזית כוללת יישומים רבים ברמת העיצוב והתעשייה, כמו למשל בתצורת כנפי מטוסים, צורת חפצים יומיומיים כמו שולחנות, גב כסאות, אריזה, ארנקים, הדפסים טקסטיליים ועוד.

איור 2. צורת הטרפז נפוצה בתצורת הכנפיים של מטוסים. מקור: Wikimedia Commons.

נכסים

המאפיינים של הטרפז הסולני מופיעים בהמשך, ורבים מהם נמשכים לסוגים אחרים של הטרפז. במה שלאחר מכן, כאשר מדברים על "טרפז", הנכס יחול על כל סוג, כולל סקלן.

1. חציון הטרפז, כלומר הקטע המצטרף לנקודות האמצע של הצדדים הלא מקבילים שלו, מקביל לכל אחד מהבסיסים.

2.- לחציון של טרפז אורך שהוא חצי הגודל של בסיסיו וחותך את האלכסונים בנקודת האמצע.

3.- האלכסונים של טרפז מצטלבים בנקודה המחלקת אותם לשני חלקים שהם פרופורציונליים למרכיבי הבסיסים.

4.- סכום הריבועים של האלכסונים של טרפז שווה לסכום המשבצות של דפנותיו בתוספת התוצר הכפול של בסיסיו.

5.- לקטע המצטרף לנקודות האמצע של האלכסונים יש אורך שווה לחצי הפרש הבסיסים.

6.- הזוויות הסמוכות לרוחב הן משלימות.

7.- בטרפז סקלני, אורכי האלכסונים שלו שונים.

8.- לטרפז היקף חתום רק אם סכום בסיסיו שווה לסכום דפנותיו.

9.- אם לטרפז יש היקף חרוט, הזווית עם הקודקוד במרכז ההיקף והצדדים האמורים העוברים בקצוות הצד של הטרפז היא ישר.

10.- לטרפז סקלני אין היקף מתוחם, הסוג היחיד של הטרפז שעושה הוא שדיים.

נוסחאות ומשוואות

היחסים הבאים של הטרפז הסולני מופנים לדמות הבאה.

1.- אם AE = ED ו- BF = FC → EF - AB ו- EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 כלומר: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = ד ₁ /2 ו- AG = GC = ד ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) באופן דומה CJ / JA = (c / a).

איור 3. איור 3. חציון ואלכסונים של טרפז סקלני. מקור: פ. זפטה.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

באופן שווה:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

זאת אומרת:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ ו- β + γ = 180⁰

8.- אם α ≠ β ≠ γ ≠ δ אז d1 ≠ d2.

9.- איור 4 מציג טרפז סקלני עם היקף חרוט, במקרה זה נכון הוא כי:

a + c = d + b

10.- ב טרפז סקלני ABCD עם היקף חרוט של מרכז O, הדברים נכונים גם הם:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

איור 4. אם בטרפז מוודאים כי סכום בסיסיו שווה לסכום הרוחבי, אזי יש את ההיקף שכתוב עליו. מקור: פ. זפטה.

גוֹבַה

גובה הטרפז מוגדר כחתך העובר מנקודת הבסיס בניצב לבסיס הנגדי (או הרחבה שלו).

לכל גבהי הטרפז יש אותה מדידה h, כך שרוב הזמן המילה גובה מתייחסת למדידה שלה. בקיצור, גובה הוא המרחק או ההפרדה בין הבסיסים.

ניתן לקבוע את הגובה h על ידי הכרת אורך צד אחד ואחת הזוויות הסמוכות לצד:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

חֲצִיוֹן

המדד m של החציון של הטרפז הוא הסכום החצי של הבסיסים:

m = (a + b) / 2

אלכסונים

d ₁ = √

d ₂ = √

ניתן לחשב אותו אם ידוע רק אורך דפנות הטרפז:

d ₁ = √

d ₂ = √

היקף

ההיקף הוא האורך הכולל של קווי המתאר, כלומר סכום כל צלעותיו:

P = a + b + c + d

אֵזוֹר

שטח הטרפז הוא חצי הגודל של בסיסיו כפול גובהו:

A = h ∙ (a + b) / 2

ניתן לחשב גם אם החציון ידוע והגובה h:

A = m ∙ h

אם ידוע רק אורך דפנות הטרפז, ניתן לקבוע את האזור באמצעות הנוסחה של הרון לטרפז:

A = ∙ √

איפה ש הוא חצי מטר: s = (a + b + c + d) / 2.

יחסים אחרים לטרפז הסקלני

צומת החציון עם האלכסונים וההקבלה העוברת בצומת האלכסונים מעוררת מערכות יחסים אחרות.

איור 5. קשרים אחרים לטרפז הסקלני. מקור: פ. זפטה.

- יחסים עבור ה- EF החציוני

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-קשרים לפלח המקביל לבסיסים KL ועוברים דרך נקודת הצומת J של האלכסונים

אם KL - AB - DC עם J ∈ KL, אז KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

בניית הטרפז הסולני בעזרת סרגל ומצפן

בהתחשב בבסיסי האורך a ו- c, כאשר A> cy עם צידי האורך b ו- d, היכן b> d, המשך לבצע את הצעדים הבאים (ראה איור 6):

1.- עם הכלל נמשך הקטע של ה- AB הראשי.

2.- מ- A se והלאה AB סמן את הנקודה P כך ש- AP = c.

3.- עם המצפן שבמרכזו P ורדיוס D נמשך קשת.

4.- מרכז נוצר ב B עם רדיוס b, שואב קשת שמיירטת את הקשת המצוירת בשלב הקודם. אנו מכנים את Q נקודת הצומת.

איור 6. בניית טרפז סקלני בצדדיו. מקור: פ. זפטה.

5.- עם המרכז ב A, צייר קשת ברדיוס d.

6.- עם המרכז ב Q, צייר קשת ברדיוס c שמיירטת את הקשת שצוירה בשלב הקודם. נקודת הניתוק תיקרא ר.

7.- קטעים BQ, QR ו- RA נמשכים עם הסרגל.

8.- ABQR הרביעי הוא טרפז סקלני, שכן APQR הוא מקבילית שמבטיחה כי AB - QR.

דוגמא

האורכים הבאים ניתנים בסנטימטרים: 7, 3, 4 ו 6.

א) קבע אם אתם יכולים לבנות טרפז סקלני שיכול לעקוף מעגל.

ב) מצא את המערכת, את האזור, את אורך האלכסונים ואת גובה הטרפז האמור, כמו גם את רדיוס המעגל החתום.

- פתרון ל

באמצעות קטעי אורך 7 ו -3 כבסיסים ואלה באורך 4 ו 6 כצדדים, ניתן לבנות טרפז סקלני באמצעות הנוהל המתואר בסעיף הקודם.

נותר לבדוק אם יש לו היקף כתוב, אך לזכור את הנכס (9):

אנו רואים זאת ביעילות:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

ואז מתקיים תנאי קיומו של היקף חרוט.

- פיתרון ב

היקף

ההיקף P מתקבל על ידי הוספת הצדדים. מכיוון שהבסיסים מסתכמים בעשרה ואלה גם לרוחביים, ההיקף הוא:

P = 20 ס"מ

אֵזוֹר

כדי לקבוע את האזור, הידוע רק על צדיו, יחסים מוחלים:

A = ∙ √

איפה הוא חצי המטר:

s = (a + b + c + d) / 2.

במקרה שלנו, חצי המטר שווה = 10 ס"מ. לאחר החלפת הערכים המתאימים:

a = 7 ס"מ; b = 6 ס"מ; c = 3 ס"מ; d = 4 ס"מ

שְׂרִידִים:

A = √ = (5/2) √63 = 19.84 ס"מ².

גוֹבַה

הגובה h קשור לאזור A על ידי הביטוי הבא:

A = (a + c) ∙ h / 2, ממנו ניתן להשיג את הגובה באמצעות ניקוי:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19.84 / 10 = 3.988 ס"מ.

רדיוס המעגל הכתובת

רדיוס המעגל החתום שווה למחצית הגובה:

r = h / 2 = 1,984 ס"מ

אלכסונים

לבסוף אנו מוצאים את אורך האלכסונים:

d ₁ = √

d ₂ = √

החלפה נכונה של הערכים שיש לנו:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

כלומר: d ₁ = 4.69 ס"מ ו- d ₂ = 8.49 ס"מ

איור 7. טרפז סקלני העומד בתנאי קיומו של היקף חרוט. מקור: פ. זפטה.

התרגיל נפתר

קבע את הזוויות הפנימיות של הטרפז באמצעות בסיסים AB = a = 7, CD = c = 3 וזוויות לרוחב BC = b = 6, DA = d = 4.

פִּתָרוֹן

ניתן ליישם את משפט הקוסינוס כדי לקבוע את הזוויות. לדוגמא, הזווית ∠A = α נקבעת מהמשולש ABD עם AB = a = 7, BD = d2 = 8.49, ו- DA = d = 4.

משפט הקוסינוס המיושם על משולש זה נראה כך:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), כלומר:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

פיתרון לקבלת הקוסינוס של הזווית α מתקבל:

Cos (α) = -1/8

כלומר, α = ArcCos (-1/8) = 97.18⁰.

הזוויות האחרות מתקבלות באותה צורה, כאשר הערכים שלהם הם:

β = 41.41⁰; γ = 138.59⁰ ולבסוף δ = 82.82⁰.

הפניות

1. CEA (2003). אלמנטים בגיאומטריה: עם תרגילים וגיאומטריה של מצפן. אוניברסיטת מדיין.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). מתמטיקה 2. גרפו עורך פטריה.
3. Freed, K. (2007). גלה מצולעים. חברת חינוך בנצ'מרק.
4. Hendrik, V. (2013). מצולעים כללית. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Tacaná סמסטר א 'במתמטיקה. IGER.
6. גיאומטריה ג'וניור. (2014). מצולעים. Lulu Press, Inc.
7. מילר, האדרמס והורנסבי. (2006). מתמטיקה: נימוקים ויישומים (המהדורה העשירית). פירסון חינוך.
8. Patiño, M. (2006). מתמטיקה 5. פרוגרסו עריכה.
9. ויקיפדיה. טרַפֵּז. התאושש מ: es.wikipedia.com