טרפז נכון: תכונות, יחסים ונוסחאות, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

טרפז תקין הוא דמות שטוח עם ארבעה צדדים, כך שניים מהם הם מקבילים זה בסיסים אחרים, נקראים גם אחד הצדדים האחרים הוא בניצב הבסיסים.

מסיבה זו, שתיים מהזוויות הפנימיות צודקות, כלומר הן מודדות 90 מעלות. מכאן השם "מלבן" שניתן לדמות. התמונה הבאה של טרפז ימני מבהירה את המאפיינים האלה:

אלמנטים טרפזיים

המרכיבים של הטרפז הם:

בסיסים

-תודות

-גוֹבַה

זוויות פנימיות

בסיס בסיס

-אלכסונים

אנו הולכים לפרט את האלמנטים הללו בעזרת הדמויות 1 ו -2:

איור 1. טרפז ימני, המאופיין בשני זוויות פנימיות של 90 מעלות: A ו- B. מקור: F. Zapata.

צידי הטרפז הימני מסומנים באותיות קטנות a, b, c ו- d. פינות הדמות או הקודקודים מסומנים באותיות גדולות. לבסוף הזוויות הפנימיות באות לידי ביטוי באותיות יווניות.

על פי ההגדרה, בסיסי הטרפז הזה הם הצדדים a ו- b, שכאמור הם מקבילים וגם הם בעלי אורכים שונים.

הצד הניצב לשני הבסיסים הוא צד c משמאל, שהוא גובהו של הטרפז. ולבסוף, יש את הצד d, המהווה את הזווית החדה α עם הצד a.

סכום הזוויות הפנימיות של ריבוע הוא 360 מעלות. קל לראות שהזווית החסרה C בתמונה היא 180 - α.

הבסיס החציוני הוא הקטע המצטרף לנקודות האמצע של הצדדים הלא מקבילים (קטע EF בתרשים 2).

איור 2. אלמנטים של הטרפז הימני. מקור: פ. זפטה.

ולבסוף, יש את האלכסונים d ₁ ו- d ₂ , הקטעים המצטרפים לקודקודים ההפוכים המצטלבים בנקודה O (ראה איור 2).

מערכות יחסים ונוסחאות

גובה הטרפז ח

היקף P

זהו מדד קווי המתאר ומחושב על ידי הוספת הצדדים:

צד d בא לידי ביטוי במונחים של הגובה או הצד c על ידי משפט פיתגורס:

תחליף באזור ההיקפי:

בסיס אמצעי

זהו הסכום החצי של הבסיסים:

לפעמים נמצא הבסיס הממוצע מבוטא כך:

אֵזוֹר

שטח A של הטרפז הוא תוצר של בסיס בסיס ממוצע בגובה:

אלכסונים, צדדים וזוויות

באיור 2 מופיעים כמה משולשים, גם ימניים וגם לא ימניים. משפט הפיתגורס יכול להיות מיושם על אלה שהם משולשים נכונים ועל אלה שאינם, משפטי הקוסינוס והסינוס.

באופן זה נמצאים מערכות יחסים בין הצדדים ובין הצדדים והזוויות הפנימיות של הטרפז.

משולש רואה חשבון

זהו מלבן, רגליו שוות ושוות b, ואילו היפוזה הוא האלכסון d ₁ , לכן:

משולש DAB

זהו גם מלבן, הרגליים הן a ו- c (או גם כן) וההתנחה הימנית היא d ₂ , כך ש:

משולש CDA

מכיוון שמשולש זה אינו משולש ימין, משפט הקוסינו מוחל עליו, או גם משפט הסינוס.

על פי משפט הקוסינוס:

משולש CDP

משולש זה משולש ימין ובצדדיו בנויים היחס הטריגונומטרי של הזווית α:

אבל הצד הצד = a - b, לפיכך:

יש לך גם:

משולש CBD

במשולש זה יש לנו את הזווית שהקודקוד שלה הוא ב C. זה לא מסומן בתמונה, אבל בתחילת הדרך הודגש כי הוא 180 - α. משולש זה אינו משולש ימין, כך שניתן ליישם את משפט הקוסינוס או משפט הסינוס.

כעת ניתן בקלות להראות כי:

החלת משפט הקוסינוס:

דוגמאות לטרפזואידים ימניים

טרפזואידים ובמיוחד טרפזואידים ימניים נמצאים בצדדים רבים, ולעיתים לא תמיד בצורה מוחשית. להלן מספר דוגמאות:

הטרפז כאלמנט עיצובי

דמויות גיאומטריות שופעות באדריכלות של מבנים רבים, כמו הכנסייה הזו בניו יורק, המציגה מבנה בצורת טרפז מלבני.

באופן דומה, הצורה הטרפזית תכופה בעיצוב מכולות, מכולות, להבים (חותך או מדויק), צלחות ובעיצוב גרפי.

איור 3. איור 3. מלאך בתוך טרפז מלבן בכנסייה בניו יורק. מקור: דיוויד גהרינג דרך פליקר.

מחולל גל טרפז

אותות חשמליים לא יכולים להיות רק מרובעים, סינוסים או משולשים. ישנם גם אותות טרפז אשר מועילים במעגלים רבים. באיור 4 יש אות טרפז המורכב משני טרפזואידים ימניים. ביניהם הם יוצרים טרפז שווה-צורה יחידה.

איור 4. איור טרפזי. מקור: Wikimedia Commons.

בחישוב מספרי

כדי לחשב בצורה מספרית את האינטגרל המוגדר של הפונקציה f (x) בין a ל- b, כלל הטרפז משמש לקירוב השטח שמתחת לתרשים של f (x). באיור הבא משמאל האינטגרל משוער עם טרפז ימני יחיד.

קירוב טוב יותר הוא זה שבדמות הנכונה, עם טרפזואידים מרובים.

איור 5. אינטגרל מוגדר בין a ו- b אינו אלא האזור שמתחת לעיקול f (x) בין ערכים אלה. טרפז ימני יכול לשמש כקירוב ראשוני לאזור כזה, אך ככל שמשמשים יותר בטרפזונים, כך טוב יותר הקירוב. מקור: Wikimedia Commons.

קרן עם עומס טרפזי

כוחות לא תמיד מרוכזים בנקודה יחידה, שכן לגופים עליהם הם פועלים יש ממדים ניכרים. כזה הוא המקרה של גשר שעליו מסתובבים כלי רכב ברציפות, מים של בריכת שחייה על הקירות האנכיים של אותו או גג שעליו מצטברים מים או שלג.

מסיבה זו מופצים כוחות ליחידת אורך, שטח פנים או נפח, בהתאם לגוף עליו הם פועלים.

במקרה של קרן, לכוח המופץ לכל אורך יחידה יכולות להיות התפלגויות שונות, למשל הטרפז הימני המוצג להלן:

איור 6. עומסים על קרן. מקור: Bedford, A. 1996. סטטי. אדיסון ווסלי אינטרמריקנה.

במציאות, התפלגויות לא תמיד מתאימות לצורות גיאומטריות רגילות כמו זו, אך הן יכולות להיות קירוב טוב במקרים רבים.

ככלי חינוכי ולמידה

בלוקים ותמונות בצורת גיאומטריה, כולל טרפזואידים, עוזרים מאוד להכיר את הילדים עם העולם המרתק של הגיאומטריה מגיל צעיר.

איור 7. בלוקים עם צורות גיאומטריות פשוטות. כמה טרפזואידים ימניים מסתתרים בגושים? מקור: Wikimedia Commons.

תרגילים שנפתרו

- תרגיל 1

בטרפז הימני באיור 1 הבסיס הגדול יותר הוא 50 ס"מ והבסיס הקטן יותר שווה ל -30 ס"מ, ידוע גם שהצד האלכסוני הוא 35 ס"מ. למצוא:

א) זווית α

ג) גובה

ג) היקף

ד) בסיס ממוצע

ה) שטח

ו) אלכסונים

פתרון ל

נתוני ההצהרה מסוכמים כך:

a = בסיס גדול יותר = 50 ס"מ

b = בסיס קטן יותר = 30 ס"מ

d = צד נטוי = 35 ס"מ

כדי למצוא את הזווית α אנו מבקרים בקטע הנוסחאות והמשוואות, בכדי לראות איזו היא המתאימה ביותר לנתונים המסופקים. הזווית המבוקשת נמצאת בכמה מהמשולשים המנותחים, למשל ה- CDP.

יש לנו את הנוסחה הזו, המכילה את הלא ידוע וגם את הנתונים שאנחנו מכירים:

לכן:

זה מנקה את h:

d ₁ ² = 2 x (30 ס"מ) ² = 1800 ס"מ ²

d ₁ = √1800 ס"מ ² = 42.42 ס"מ

ולאלכסון ד ₂ :

הפניות

1. Baldor, A. 2004. גאומטריה של מטוס וחלל עם טריגונומטריה. פרסומי תרבות.
2. Bedford, A. 1996. סטטיסטיקות. אדיסון ווסלי אינטרמריקנה.
3. גיאומטריה ג'וניור. 2014. מצולעים. Lulu Press, Inc.
4. בית הספר המקוון. טרפז מלבני. התאושש מ: es.onlinemschool.com.
5. פותר בעיות גיאומטריה אוטומטי. הטרפז. התאושש מ: scuolaelettrica.it
6. ויקיפדיה. טרפז (גיאומטריה). התאושש מ: es.wikipedia.org.