טרנספורד פורייה דיסקרטי: מאפיינים, יישומים, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

דיסקרטי ההתמרה היא שיטה נומרית המשמשת להגדרת דגימות בהתייחסו התדרים ספקטרלי שמרכיבים אות. הוא בוחן פונקציות תקופתיות בפרמטרים סגורים, ומביא אות נוסף בדידה כתוצאה מכך.

על מנת להשיג את טרנספורמציית פורייה הבודדת של נקודות N, על אות נפרד, יש לעמוד ב 2 התנאים הבאים ברצף x

TDF

ניתן להגדיר את טרנספורמט ה- Fourier הבודד כדגימה נקודתית N של טרנספורמציית פורייה.

פרשנות השינוי פורייה הבודד

מקור: Pexels

ישנן שתי נקודות מבט מהן ניתן לפרש את התוצאות המתקבלות ברצף x _s דרך טרנספורמציית פורייה הנבדלת.

-הראשון תואם את מקדמי הספקטרום, הידועים כבר מהסדרה פורייה. זה נצפה בסיגנלים תקופתיים נפרדים, כאשר דגימות חופפות לרצף x _s .

השני עוסק בספקטרום האות האפריודידי בדידה, עם דוגמאות המתאימות לרצף x _s .

הטרנספורמציה הדיסקרטית היא קירוב לספקטרום האות האנלוגי המקורי. שלב זה תלוי במיידי הדגימה ואילו גודלו תלוי במרווח הדגימה.

נכסים

יסודות המבנה האלגבריים מהווים את הרציונל עבור החלקים הבאים.

לינאריות

ג. S _n → C. F; אם רצף כפול סקלר, השינוי שלו יהיה גם כן.

T _n + V _n = F + F; טרנספורמציה של סכום שווה לסכום התמורות.

שְׁנִיוּת

F → (1 / N) S _-k; אם טרנספורמציית פורייה הנבדלת מחושבת מחדש לביטוי שעבר טרנספורמציה, מתקבל אותו ביטוי, מוגדר בקנה מידה N והופך ביחס לציר האנכי.

המרה

רדיפה אחר יעדים דומים כמו בשינוי Laplace, התפשטות של פונקציות מתייחסת למוצר בין התמורות פורייה שלהם. הפיתרון חל גם על זמנים נפרדים ואחראי על נהלים מודרניים רבים.

X _n * R _n → F .F; טרנספורמציה של התפתחות שווה לתוצר הטרנספורמציות.

X _n . R _n → F * F; הטרנספורמציה של מוצר שווה להתמכרות הטרנספורמציות.

תְזוּזָה

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; אם רצף מתעכב על ידי דגימות m, השפעתו על הטרנספורמציה הנפרדת תהיה שינוי של הזווית המוגדרת על ידי (2π / N) km.

סִימֶטרִיָה

X _t = X * _t = X _t

וויסות

W ^-nm _N . x ↔ X _t

מוצר

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

סִימֶטרִיָה

X ↔ X _t = X * _t

לְהַטוֹת

x * ↔ X * _t

משוואת האזור

ביחס לשינוי פורייה המקובל יש לו כמה קווי דמיון והבדלים. טרנספורמציית פורייה ממירה רצף לקו אחיד. באופן זה נאמר כי התוצאה של המשתנה פורייה היא פונקציה מורכבת של משתנה אמיתי.

טרנספורמציית פורייה הנבדלת, בניגוד, מקבלת אות נפרד והופכת אותו לאות בדיד אחר, כלומר רצף.

למה מיועד טרנספורמציית פורייה הנבדלת?

הם משמשים בעיקר לפשט מאוד משוואות, תוך הפיכת ביטויים נגזרים לאלמנטים כוחיים. מציין ביטויים דיפרנציאליים בצורות פולינומיות בלתי ניתנות לחיבור.

באופטימיזציה, אפנון ומידול של תוצאות זה פועל כביטוי סטנדרטי, מהווה משאב תכוף להנדסה לאחר מספר דורות.

מקור: pixabay

הִיסטוֹרִיָה

מושג מתמטי זה הוצג על ידי ג'וזף ב. פורייה בשנת 1811, תוך כדי פיתוח מסה על התפשטות החום. זה אומץ במהירות על ידי ענפי מדע והנדסה שונים.

הוא הוקם ככלי העבודה העיקרי בחקר משוואות עם נגזרות חלקיות, ואף השווה אותו לקשר העבודה הקיים בין טרנספורמציית לפלס למשוואות דיפרנציאליות רגילות.

כל פונקציה שניתן לעבוד עם טרנספורמציה פורייה חייבת להציג null מחוץ לפרמטר מוגדר.

טרנספורמציה פורייה דיסקרטית וההיפוך שלה

הטרנספורמציה הנבדלת מתקבלת באמצעות הביטוי:

לאחר שניתנו רצף בדיד X

ההפוך של טרנספורמציית פורייה הנבדל מוגדר באמצעות הביטוי:

PTO הפוך

ברגע שהשינוי הדיסקרטי מושג, הוא מאפשר להגדיר את הרצף בתחום הזמן X.

מכונף

תהליך הפרמטריזציה המתאים לשינוי פורייה הבודד טמון בחלון הראווה. כדי לעבוד את השינוי עלינו להגביל את הרצף בזמן. במקרים רבים אין לאותות המדוברים מגבלות אלה.

ניתן להכפיל רצף שאינו עומד בקריטריוני הגודל שיחולו על טרנספורמציה בדידה על ידי פונקציית "חלון" V, המגדיר את התנהגות הרצף בפרמטר מבוקר.

איקס. V

רוחב הספקטרום יהיה תלוי ברוחב החלון. ככל שרוחב החלון גדל, השינוי המחושב יהיה צר יותר.

יישומים

חישוב הפיתרון הבסיסי

טרנספורמציית פורייה הבדידה היא כלי רב עוצמה בחקר רצפי בדידות.

טרנספורמציית פורייה הבודדת הופכת פונקציה משתנה רציפה לשינוי משתנה בדיד.

בעיית הקאוצ'י למשוואת החום מציגה שדה יישום תכוף של טרנספורמציית פורייה הנבדלת . כאשר נוצרת פונקציית הליבה של חום או ליבת Dirichlet, החלה על ערכי דגימה בפרמטר מוגדר.

תורת האותות

הסיבה הכללית ליישום טרנספורמציית פורייה הנבדלת בענף זה נובעת בעיקר מהתפרקות האופיינית של האות כסופרפוזיציה אינסופית של אותות הניתנים לטיפול בקלות רבה יותר.

זה יכול להיות גל קול או גל אלקטרומגנטי, טרנספורמציית פורייה הנבדלת מבטאת אותו בסופרפוזיציה של גלים פשוטים. ייצוג זה שכיח למדי בהנדסת חשמל.

סדרת פורייה

הם סדרות המוגדרות במונחים של קוסינוס וגנים. הם משמשים להקל על עבודה עם פונקציות תקופתיות כלליות. כאשר הם מיושמים, הם חלק מהטכניקות לפתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות.

סדרות פורייה כלליות אפילו יותר מסדרות טיילור, מכיוון שהן מפתחות פונקציות רציפות תקופתיות שאין בהן ייצוג של סדרות טיילור.

צורות אחרות של סדרת פורייה

בכדי להבין את טרנספורמציית פורייה באופן אנליטי, חשוב לסקור את שאר הדרכים בהן ניתן למצוא את הסדרה פורייה, עד שניתן יהיה להגדיר את הסדרה פורייה בסימון המורכב שלה.

סדרת פורייר על פונקציה של תקופה 2 ל ':

נחשב המרווח המציע יתרונות כאשר מנצלים את המאפיינים הסימטריים של הפונקציות.

אם f הוא שווה, סדרת פורייה מבוססת כסדרה של Cosines.

אם f הוא מוזר, סדרת פורייה מבוססת כסדרת סינוסים.

-ציור מורכב של סדרת פורייה

אם יש לנו פונקציה f (t), העונה על כל הדרישות של סדרת פורייה, אפשר לציין אותה במרווח תוך שימוש בסימון המורכב שלה:

דוגמאות

לגבי חישוב הפיתרון הבסיסי, הדוגמאות הבאות מוצגות:

מצד שני, להלן דוגמאות ליישום של טרנספורמציית פורייה הנבדלת בתחום תורת האותות:

-בעיות בזיהוי מערכת. הוקמה f ו- g

- בעיה עם העקביות של אות הפלט

-בעיות בסינון אותות

תרגילים

תרגיל 1

חשב את טרנספורמציית פורייה הנבדלת עבור הרצף הבא.

אתה יכול להגדיר את ה- PTO של x כ:

X _t = {4, -j2, 0, j2} עבור k = 0, 1, 2, 3

תרגיל 2

אנו רוצים לקבוע את האות הספקטרלי שהוגדר על ידי הביטוי x (t) = e- ^t באמצעות אלגוריתם דיגיטלי . כאשר מקדם התדר המקסימלי הוא f _m = 1Hz. הרמוניה תואמת f = 0.3 הרץ. השגיאה מוגבלת לפחות מ- 5%. חישוב f _s , D ו- N.

תוך התחשבות במשפט הדגימה f _s = 2f _m = 2 Hz

נבחר רזולוציית תדר של f ₀ = 0.1 הרץ, ממנה אנו משיגים D = 1 / 0.1 = 10s

0.3 הרץ הוא התדר המתאים למדד k = 3, כאשר N = 3 × 8 = 24 דגימות. המציין כי F _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

מכיוון שהמטרה היא להשיג את הערך הנמוך ביותר האפשרי עבור N, ניתן לראות בערכים הבאים כפתרון:

f ₀ = 0.3 הרץ

D = 1 / 0.3 = 3.33 שניות

k = 1

N = 1 × 8 = 8

הפניות

1. שליטה על טרנספורמציית פורייה דיסקרטית במימד אחד, שניים או כמה מימדים: החסרונות והממצאים. יצחק עמידרור. שפרינגר מדע ומדיה עסקית, 19 ביולי. 2013
2. ה- DFT: מדריך לבעלים עבור טרנספורטר פורייה בדיד. וויליאם ל. בריגס, ואן אמדן הנסון. סיאם, 1 בינואר. אלף תשע מאות תשעים וחמש
3. עיבוד אותות דיגיטליים: תיאוריה ותרגול. ד. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. טרנספורמציות ואלגוריתמים מהירים לניתוח אותות וייצוגים. גואן בי, יונגונג ג'נג. שפרינגר מדע ומדיה עסקית, 6 בדצמבר. 2012
5. טרנספורמציות פורייה דיסקרטיות ורצופות: ניתוח, יישומים ואלגוריתמים מהירים. אלינור צ'ו. הוצאת CRC, 19 במרץ. 2008