מהירות ארולארית: כיצד מחשבים את התרגילים ונפתרים - גוּפָנִי - 2025

מהירות areolar הוא אזור סחף ליחידת זמן והוא מתמיד. זה ספציפי לכל כוכב לכת ונובע מתיאור החוק השני של קפלר בצורה מתמטית. במאמר זה נסביר מה זה ואיך זה מחושב.

הבום המייצג את גילוי כוכבי הלכת מחוץ למערכת השמש הפעיל מחדש את העניין בתנועה פלנטרית. שום דבר לא גורם לנו להאמין כי כוכבי לכת exo אלה פועלים לפי חוקים שאינם חוקיים שכבר היו מוכרים ותקפים במערכת השמש: חוקי קפלר.

יוהנס קפלר היה האסטרונום שללא עזרה בעזרת הטלסקופ ובשימוש בתצפיות של המנטור שלו טיכו ברהה, יצר מודל מתמטי המתאר את תנועת כוכבי הלכת סביב השמש.

הוא השאיר מודל זה המגולם בשלושת החוקים הנושאים את שמו ותקפים עד היום כמו בשנת 1609, כאשר הקים את השניים הראשונים ובשנת 1618, המועד בו הודיע ​​על השלישי.

חוקי קפלר

בשלוש החוקים של קפלר נכתב כך:

1. מסלולי כוכבי הלכת הם אליפטיים והשמש נמצאת במוקד אחד.

2. וקטור המיקום מהשמש לכוכב לכת שוטף על פני אזורים שווים בזמנים שווים.

3. ריבוע התקופה המסלול של כוכב לכת פרופורציונאלי לקוביה של הציר החצי-ראשי של האליפסה המתוארת.

לכוכב לכת תהיה מהירות ליניארית, ממש כמו כל אובייקט שזז ידוע. ויש עוד דברים: כאשר כותבים את החוק השני של קפלר בצורה מתמטית, מתעורר מושג חדש הנקרא מהירות ארולארית, האופיינית לכל כוכב לכת.

מדוע כוכבי הלכת נעים באליפטיות סביב השמש?

כדור הארץ ושאר כוכבי הלכת מסתובבים סביב השמש בזכות העובדה שהוא מפעיל עליהם כוח: האטרקציה הכבידה. אותו דבר קורה עם כל כוכב אחר וכוכבי הלכת המרכיבים את המערכת שלו, אם יש לו אותם.

זהו כוח מהסוג המכונה כוח מרכזי. משקל הוא כוח מרכזי שכולם מכירים אותו. האובייקט המפעיל את הכוח המרכזי, בין אם הוא השמש או כוכב רחוק, מושך את כוכבי הלכת לכיוון מרכזו והם נעים בעיקול סגור.

באופן עקרוני ניתן להתקרב לעיקול זה כהיקף, וכך גם ניקולאס קופרניקוס, אסטרונום פולני שיצר את התיאוריה ההליוצנטרית.

הכוח האחראי הוא המשיכה הכבידה. כוח זה תלוי ישירות בהמוני הכוכב וכוכב הלכת המדובר ויחס הפוך לריבוע המרחק המפריד ביניהם.

הבעיה לא כל כך קלה, מכיוון שבמערכת סולארית כל האלמנטים מתקשרים בצורה כזו, ומוסיפים מורכבות לעניין. יתר על כן, הם אינם חלקיקים, מכיוון שכוכבים וכוכבי לכת יש גודל מדיד.

מסיבה זו, הנקודה המרכזית של המסלול או המעגל שנסעו על ידי כוכבי הלכת אינה בדיוק ממוקמת בכוכב, אלא בנקודה המכונה מרכז הכובד של מערכת כוכבי הלכת השמש.

המסלול שנוצר הוא אליפטי. התמונה הבאה מציגה את זה, ולוקחת את כדור הארץ והשמש כדוגמה:

איור 1. מסלול כדור הארץ הוא אליפטי, כאשר השמש ממוקמת באחד המוקדים. כאשר כדור הארץ והשמש נמצאים במרחק המרבי שלהם, אומרים שכדור הארץ נמצא באפליון. ואם המרחק הוא מינימלי, אנחנו מדברים על perihelion.

האפיליון הוא המיקום הכי רחוק על פני כדור הארץ מהשמש, ואילו perihelion הוא הנקודה הקרובה ביותר. האליפסה יכולה להיות משטחית פחות או יותר, תלוי במאפייני מערכת כוכב הלכת.

ערכי האפיליון והפריהליון משתנים מדי שנה, מכיוון שכוכבי הלכת האחרים גורמים להפרעות. עבור כוכבי לכת אחרים, עמדות אלה נקראות apoaster ו- periaster בהתאמה.

גודל המהירות הליניארית של כוכב לכת אינו קבוע

קפלר גילה שכאשר כוכב לכת מקיף את השמש, במהלך תנועתו הוא סוחף שטחים שווים בזמנים שווים. איור 2 מראה בצורה גרפית את המשמעות של זה:

איור 2. וקטור המיקום של כוכב לכת ביחס לשמש הוא r. כאשר כוכב הלכת מתאר את מסלולו הוא עובר קשת של אליפסה בזמן זה.

באופן מתמטי, העובדה ש- A ₁ שווה ל- A ₂ באה לידי ביטוי כך:

הקשתות הנסיעות הן קטנות, כך שכל אזור יכול להיות בקירוב לזה של משולש:

מכיוון Δs = v Δ t, כאשר v הוא המהירות הליניארית של כדור הארץ בנקודה מסוימת, על ידי החלפה יש לנו:

ומכיוון שמרווח הזמן Δt זהה, אנו משיגים:

מכיוון ש r ₂ > r ₁ , אז v ₁ > v ₂ , במילים אחרות, המהירות הליניארית של כוכב לכת אינה קבועה. למעשה, כדור הארץ הולך מהר יותר כשהוא נמצא בפריחה, מאשר כשהוא נמצא באפליון.

לפיכך המהירות הקווית של כדור הארץ או של כל כוכב לכת סביב השמש אינה גודל המשמש לאפיין תנועתו של הכוכב האמור.

מהירות ארולרית

בדוגמה הבאה אנו נראה כיצד לחשב את המהירות האורולרית כאשר ידועים כמה פרמטרים של תנועה פלנטרית:

תרגיל

כוכב לכת Exo נע סביב שמשו בעקבות מסלול אליפטי, על פי חוקי קפלר. כאשר הוא נמצא בפריאסטר, וקטור הרדיוס שלו הוא r ₁ = 4 · 10 ⁷ km, וכשהוא נמצא בפויסטר הוא r ₂ = 15 · 10 ⁷ km. המהירות הליניארית בגבהה היא ₁ = 1000 קמ"ש.

לחשב:

א) גודל המהירות באפוסטרה.

ב) המהירות האורולארית של כוכב הלכת האקסית.

ג) אורך הציר החצי-ראשי של האליפסה.

תשובה ל)

המשוואה משמשת:

שבהם מחליפים ערכים מספריים.

כל מונח מזוהה באופן הבא:

v ₁ = מהירות באפוסטרו; v ₂ = מהירות בפריאסטר; r ₁ = מרחק מהפוסטר,

r ₂ = המרחק מהפניסטר.

עם הערכים האלה אתה מקבל:

תשובה ב)

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). פיסיקה למדע והנדסה. כרך 1. מקסיקו. עורכי לימוד Cengage. 367-372.
2. שטרן, ד (2005). שלושת חוקי התנועה הפלנטרית של קפלר. התאושש מ- pwg.gsfc.nasa.gov
3. הערה: התרגיל המוצע נלקח ושונה מהטקסט הבא בספר McGrawHill. לרוע המזל זהו פרק מבודד בפורמט pdf, ללא הכותרת או המחבר: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf