וקטורים לא-מסורתיים: הגדרה, תנאים, תרגילים - גוּפָנִי - 2025

הלא - וקטורים coplanar הם אלה אינם חולקים את אותו המטוס. שני וקטורים חופשיים ונקודה מגדירים מישור יחיד. וקטור שלישי עשוי לחלוק את המישור הזה או לא, ואם הוא לא, הם וקטורים שאינם מסודרים.

לא ניתן לייצג וקטורים לא-מסודרים בחללים דו מימדיים כמו לוח או גיליון נייר, מכיוון שחלקם כלולים בממד השלישי. כדי לייצג אותם כראוי אתה צריך להשתמש בפרספקטיבה.

איור 1. איורים 1. וקטורים של Coplanar ו non-planlanar. (פירוט משלו)

אם אנו מסתכלים על איור 1, כל האובייקטים המוצגים נמצאים אך ורק במישור המסך, אולם בזכות הפרספקטיבה המוח שלנו מסוגל לדמיין מטוס (P) שיוצא ממנו.

במטוס זה (P) נמצאים הווקטורים r , s , u ואילו הווקטורים v ו- w אינם במישור ההוא.

לכן הווקטורים r , s , u הם מישוריים או מסודרים זה לזה מכיוון שהם חולקים את אותו מישור (P). וקטורים v ו- w אינם חולקים מטוס עם אף אחד מהווקטורים האחרים המוצגים, ולכן הם לא-מתכננים.

וקטורים קופלנריים ומשוואת המטוס

מטוס מוגדר באופן ייחודי אם יש שלוש נקודות במרחב התלת מימדי.

נניח ששלוש הנקודות הללו הן נקודה A, נקודה B ונקודה C המגדירות את המטוס (P). בעזרת נקודות אלה ניתן לבנות שני ווקטורים AB = u ו- AC = v שהם בבנייה מזויפת עם המטוס (P).

התוצר הווקטורי (או התוצר הנגדי) של שני הווקטורים הללו מביא לווקטור שלישי בניצב (או רגיל) לשניהם ולכן ניצב למישור (P):

n = u X v => n ⊥ u ו- n ⊥ v => n ⊥ (P)

כל נקודה אחרת השייכת למישור (P) חייבת לספק שהווקטור AQ בניצב לווקטור n ; זה שווה להגיד שמוצר הנקודה (או מוצר הנקודה) של n עם AQ חייב להיות אפס:

n • AQ = 0 (*)

התנאי הקודם שווה לאמירה כי:

AQ • ( u X v ) = 0

משוואה זו מבטיחה שנקודה Q שייכת למישור (P).

המשוואה הקרטזית של המטוס

את המשוואה לעיל ניתן לכתוב בצורה קרטזית. לשם כך אנו כותבים את הקואורדינטות של הנקודות A, Q ורכיבי הווקטור הרגיל n :

אז המרכיבים של AQ הם:

התנאי להמצאות הווקטור AQ במישור (P) הוא התנאי (*) שנכתב כעת כך:

חישוב מוצר הנקודה נשאר:

אם הוא מפותח ומסודר הוא נשאר:

הביטוי הקודם הוא המשוואה הקרטזית של מישור (P), כפונקציה של מרכיבי וקטור רגיל ל- (P) וקואורדינטות של נקודה A השייכת ל (P).

התנאים ששלושה ווקטורים יהיו בלתי-מתכננים

כפי שניתן לראות בסעיף הקודם, התנאי AQ • ( u X v ) = 0 מבטיח שהווקטור AQ הוא מישוריים ל- u ו- v .

אם אנו מכנים את הווקטור AQ w, אנו יכולים לאשר כי:

w , u ו- v הם coplanar, אם ורק אם w • ( u X v ) = 0.

מצב שאינו מזויף

אם המוצר המשולש (או המוצר המעורב) של שלושה ווקטורים שונה מאפס, אז שלושת הווקטורים האלה אינם לא-פלנלריים.

אם w • ( u X v ) ≠ 0 אז הווקטורים u, v ו- w הם לא-מתכננים.

אם מוצגים הרכיבים הקרטזיים של הווקטורים u, v ו- w, ניתן לכתוב את תנאי אי-ההשתנות כך:

למוצר המשולש יש פרשנות גיאומטרית והוא מייצג את נפח מקבילי ההפקה שנוצרו על ידי שלושת הווקטורים הלא-קופלנריים.

איור 2. איור 2. שלושה ווקטורים שאינם מסומנים מגדירים צנרת מקבילה שהנפח שלה הוא המודול של המוצר המשולש. (פירוט משלו)

הסיבה היא כדלקמן; כאשר שניים מהווקטורים הלא-coplanar מוכפלים וקטורית, מתקבל וקטור שעוצמתו היא שטח המקבילית שהם מייצרים.

ואז כאשר הווקטור הזה מוכפל בסקאלת על ידי הווקטור השלישי הלא-מישורני, מה שיש לנו הוא ההקרנה לווקטור בניצב למישור ששני הראשונים קובעים כפול השטח שהם קובעים.

במילים אחרות, יש לנו את שטח המקביל שנוצר על ידי שני הראשונים כפול גובה הווקטור השלישי.

תנאי אלטרנטיבי של אי-שיתוק

אם יש לך שלושה ווקטורים ולא ניתן לכתוב את אחד מהם כשילוב ליניארי של שני האחרים, אז שלושת הווקטורים אינם לא-תוכניות. כלומר, שלושה וקטורים u , v ו- w אינם-פלנטריים אם התנאי:

α u + β v + γ w = 0

זה מרוצה רק כאשר α = 0, β = 0 ו- γ = 0.

תרגילים שנפתרו

-תרגיל 1

ישנם שלושה ווקטורים

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) ו- w = (-1, 2, z)

שימו לב כי רכיב ה- z של הווקטור w אינו ידוע.

מצא את טווח הערכים ש- z יכול לקחת כך שלשלושת הווקטורים מובטחים שלא יחלקו את אותו מישור.

פִּתָרוֹן

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

קבענו ביטוי זה שווה לערך אפס

21 z + 18 = 0

ואנחנו פותרים עבור z

z = -18 / 21 = -6/7

אם המשתנה z ייקח את הערך -6/7 אז שלושת הווקטורים היו בעלי תוכנה מדויקת.

אז הערכים של z שמבטיחים כי הווקטורים אינם לא-פלנטריים הם אלה שבמרווח הבא:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

- תרגיל 2

מצא את עוצמת הקול של המקביל המוצג באיור הבא:

פִּתָרוֹן

כדי למצוא את עוצמת הקול של המקביל המוצג באיור, ייקבעו המרכיבים הקרטזיים של שלושה ווקטורים לא-מקבילים במקביל במקור מערכת הקואורדינטות. הראשון הוא הווקטור u של 4m ומקביל לציר ה- X:

u = (4, 0, 0) מ

השני הוא הווקטור v במישור ה- XY בגודל 3m שיוצר 60 מעלות עם ציר ה- X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) מ '

והשלישי הוא הווקטור w של 5 מ 'וההשלכה שלו במישור ה- XY נוצרת 60 מעלות עם ציר ה- X, בנוסף w מהווה 30 מעלות עם ציר ה- Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

לאחר ביצוע החישובים יש לנו: w = (1.25, 2.17, 2.5) מ '.

הפניות

1. Figueroa, D. סדרה: פיזיקה למדעים והנדסה. כרך 1. קינמטיקה. 31-68.
2. גוּפָנִי. מודול 8: וקטורים. התאושש מ: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. מכניקה למהנדסים. סטָטִי מהדורה 6. חברת הוצאת קונטיננטל, 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. מכניקה למהנדסים: סטטיקה ודינמיקה. מהדורה שלישית. מקגרו היל. 1-15.
5. ויקיפדיה. וֶקטוֹר. התאושש מ: es.wikipedia.org