וקטור רגיל: חישוב ודוגמא - גוּפָנִי - 2025

הווקטור הנורמלי הוא אחד שמגדיר בכיוון ניצבת איזו ישות גיאומטרית תחת שיקול, אשר יכול להיות על ידי עקומה, מטוס או משטח, למשל.

זהו מושג שימושי מאוד במיקום של חלקיק נע או משטח כלשהו בחלל. בגרף הבא ניתן לראות איך הווקטור הרגיל לעיקול שרירותי C:

איור 1. איור 1. עקומה C כשהווקטור תקין לעיקול בנקודה P. מקור: Svjo

שקול נקודה P על עקומה C. הנקודה יכולה לייצג חלקיק נע הנע בתוואי בצורת C. קו המשיק לעיקול בנקודה P מצויר באדום.

שימו לב כי וקטור T משיק ל C בכל נקודה, ואילו וקטור N ניצב ל T ומצביע על מרכז מעגל דמיוני שקשתו היא קטע של C. וקטורים מסומנים בסגנון מודגש בטקסט מודפס, עבור להבדיל ביניהם מכמויות אחרות שלא וקטוריות.

הווקטור T מציין תמיד לאן החלקיק נע, ולכן הוא מציין את מהירות החלקיק. מצד שני, הווקטור N תמיד מצביע על הכיוון בו החלקיק מסתובב, באופן זה הוא מצביע על שקירות העקומה C.

איך להעלות את הווקטור הרגיל למישור?

הווקטור הרגיל אינו בהכרח וקטור יחידה, כלומר וקטור שמודולוסו הוא 1, אך אם כן, הוא נקרא וקטור יחידה רגיל.

איור 2. משמאל מטוס P ושני הווקטורים נורמליים למישור האמור. מימין וקטורי היחידה בשלושת הכיוונים שקובעים שטח. מקור: Wikimedia Commons. ראה את המחבר לדף

ביישומים רבים יש צורך לדעת את הווקטור תקין למישור ולא לעיקול. וקטור זה חושף את הכיוון של המטוס האמור בחלל. לדוגמה, שקול את המטוס P (צהוב) של הדמות:

ישנם שני ווקטורים נורמליים למישור זה: n ₁ ו- n ₂ . השימוש באחד או אחר יהיה תלוי בהקשר בו נמצא המטוס האמור. השגת הווקטור הרגיל למישור היא פשוטה מאוד אם ידועה המשוואה של המטוס:

כאן הווקטור N בא לידי ביטוי במונחים של וקטורי היחידה הניצב i , j ו- k , המכוונים לאורך שלושת הכיוונים שקובעים את שטח ה- xyz, ראו איור 2 מימין.

הווקטור הרגיל מהמוצר הווקטורי

הליך פשוט מאוד למציאת הווקטור הרגיל עושה שימוש בתכונות של המוצר הווקטורי בין שני וקטורים.

כידוע, שלוש נקודות שונות, שאינן קשורות זו לזו, קובעות מישור P. כעת ניתן להשיג שני וקטורים u ו- v השייכים למישור האמור שיש להם שלוש נקודות אלה.

לאחר קבלת הווקטורים, המוצר הווקטורי u x v הוא פעולה שתוצאתה היא בתורו וקטור, שיש לו את התכונה להיות בניצב למישור שנקבע על ידי u ו- v .

וקטור זה ידוע, הוא מסומן כ- N , ומתוכו ניתן יהיה לקבוע את משוואת המטוס בזכות המשוואה המצוינת בסעיף הקודם:

N = u x v

האיור הבא ממחיש את הנוהל המתואר:

איור 3. עם שני וקטורים ותוצר הווקטור או הצלב שלהם, נקבעת המשוואה של המטוס המכיל את שני הווקטורים. מקור: Wikimedia Commons. לא סופק מחבר קריא במכונה. M.Romero שמידטקה הניח (בהתבסס על טענות בזכויות יוצרים).

דוגמא

מצא את המשוואה של המטוס שנקבעה על ידי הנקודות A (2,1,3); B (0,1,1); ג (4.2.1).

פִּתָרוֹן

תרגיל זה ממחיש את הנוהל שתואר לעיל. על ידי שיש להם 3 נקודות, אחת מהן נבחרה כמקור השכיח של שני ווקטורים השייכים למישור שהוגדר על ידי נקודות אלה. לדוגמה, נקודה A מוגדרת כמקור והבניית הווקטורים AB ו- AC .

וקטור AB הוא הווקטור שמקורו נקודה A ונקודת הסיום שלו היא נקודה B. הקואורדינטות של וקטור AB נקבעות על ידי הפחתת ההתאמה של הקואורדינטות של B מהקואורדינטות של A:

אנו ממשיכים באותה דרך למצוא את הווקטור AC :

חישוב המוצר הווקטורי

ישנם מספר נהלים למציאת המוצר הצלב בין שני ווקטורים. בדוגמה זו נעשה שימוש בפרוצדורה ממנומונית המשתמשת באיור הבא כדי למצוא את המוצרים הווקטוריים בין וקטורי היחידה i , j ו- k:

איור 4. תרשים לקביעת המוצר הווקטורי בין וקטורי היחידה. מקור: תוצרת עצמית.

ראשית, טוב לזכור שמוצרי הווקטור בין וקטורים מקבילים הם אפסיים, לכן:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

ומכיוון שתוצר הווקטור הוא וקטור נוסף הניצב לווקטורים המשתתפים, נע בכיוון החץ האדום שיש לנו:

אם אתה צריך לנוע בכיוון ההפוך לחץ, הוסף סימן (-):

בסך הכל ניתן לייצר 9 מוצרים וקטוריים עם וקטורי היחידה i , j ו- k , מתוכם 3 יהיו null.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

משוואת המטוס

הווקטור N נקבע על ידי המוצר הווקטורי שחושב בעבר:

N = 2 i -8 j -2 k

לכן a = 2, b = -8, c = -2, המטוס המבוקש הוא:

הערך של d נותר לקבוע. זה קל אם הערכים של אחת מהנקודות A, B או C הזמינות מוחלפות במשוואה של המטוס. בחירת C לדוגמא:

x = 4; y = 2; z = 1

שְׂרִידִים:

בקיצור, המפה המבוקשת היא:

הקורא הסקרן עשוי לתהות אם אותה תוצאה הייתה מתקבלת אם במקום לעשות AB x AC הוא נבחר לעשות AC x AB. התשובה היא כן, המטוס שנקבע על ידי שלוש הנקודות הללו הוא ייחודי ויש לו שני ווקטורים נורמליים, כפי שמוצג באיור 2.

באשר לנקודה שנבחרה כמקור הווקטורים, אין שום בעיה לבחור אף אחד מהשניים האחרים.

הפניות

1. Figueroa, D. (2005). סדרה: פיזיקה למדע והנדסה. כרך 1. קינמטיקה. נערך על ידי דאגלס פיגארואה (USB). 31- 62.
2. מציאת הנורמלי למטוס. התאושש מ: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). חישוב וגיאומטריה אנליטית. מק גריי היל. 616-647.
4. קווים ומטוסים ב- R 3. התאושש מ: math.harvard.edu.
5. וקטור רגיל. התאושש מ- mathworld.wolfram.com.