וקטור: מאפיינים ותכונות, אלמנטים, סוגים, דוגמאות - מַדָע - 2025

וקטורים הם ישויות מתמטיות שבהן קיימת מלווה בדרך כלל על ידי גודל וכיוון -positiva- יחידת המדידה היטב. מאפיינים כאלה מתאימים מאוד לתיאור כמויות פיזיות כמו מהירות, כוח, תאוצה ורבים אחרים.

בעזרת וקטורים ניתן לבצע פעולות כמו תוספת, חיסור ומוצרים. חלוקה אינה מוגדרת עבור וקטורים ובאשר למוצר, ישנן שלוש מחלקות שתיאר בהמשך: מוצר נקודה או נקודה, מוצר וקטורי או צלב ומוצר של סקלר על ידי וקטור.

איור 1. אלמנטים של וקטור. מקור: Wikimedia Commons.

כדי לתאר באופן מלא וקטור, יש לציין את כל המאפיינים שלו. גודל או מודול הם ערך מספרי המלווה ביחידה, ואילו הכיוון והחוש נקבעים בעזרת מערכת קואורדינטות.

בואו נסתכל על דוגמא: נניח שמטוס טס מעיר לעיר בקצב של 850 קמ"ש בכיוון NE. כאן יש לנו וקטור מוגדר לחלוטין, מכיוון שהעוצמה זמינה: 850 קמ"ש, בעוד הכיוון והתחושה הם NE.

וקטורים מיוצגים בדרך כלל באופן גרפי על ידי קטעי קו מכוונים, שאורכם פרופורציונאלי לגודל.

אמנם כדי לציין את הכיוון ואת התחושה יש צורך בקו התייחסות, שהוא בדרך כלל הציר האופקי, אם כי ניתן לקחת גם צפון כאסמכתא, כך למשל מהירות המטוס:

איור 2. וקטור מהירות. מקור: פ. זפטה.

האיור מציג את וקטור המהירות של המטוס, מסומן כמו נ ב באותיות מודגשות , כדי להבדיל בינו לבין כמות סקלר, אשר רק דורשת ערך מספרי וכמה יחידה שיפורט.

אלמנטים של וקטור

כאמור, האלמנטים של הווקטור הם:

-מדד או מודול, לפעמים נקרא גם ערך מוחלט או נורמה של הווקטור.

-כתובת

-לָחוּשׁ

בדוגמה באיור 2 מודולוס v הוא 850 קמ"ש. המודול מצוין כ- v ללא מודגש, או כ- v -, שם הסורגים מייצגים את הערך המוחלט.

הכיוון של v מצוין ביחס לצפון. במקרה זה הוא 45 מעלות צפון מזרחית (45 מעלות צלזיוס). לבסוף קצה החץ מודיע על תחושת v .

בדוגמה זו, מקורו של הווקטור צוייר במקביל למקור O של מערכת הקואורדינטות, זה מכונה וקטור מקושר. מצד שני, אם מקורו של הווקטור אינו עולה בקנה אחד עם מערכת מערכת ההתייחסות, נאמר שהוא וקטור חופשי.

יש לציין שכדי לציין באופן מלא את הווקטור, יש לציין את שלושת האלמנטים הללו, אחרת התיאור של הווקטור לא יהיה שלם.

רכיבים מלבניים של וקטור

איור 3. איור 3. מרכיבים מלבניים של וקטור במישור. מקור: Wikimedia Commons. אורן

בתמונה יש לנו בחזרה וקטור v דוגמה , שנמצא במישור ה- xy.

קל לראות שהתחזיות של v על צירי ה- x ו- y קובעות משולש ימין. תחזיות אלה הן v _{y ו-} v _x ונקראות רכיבים מלבניים של v .

אחת הדרכים לציין v על ידי המרכיבים המלבניים שלה היא כזו: v =x, v _ו- >. סוגריים אלה משמשים במקום בסוגריים כדי להדגיש את העובדה שמדובר בווקטור ולא בתקופה, שכן במקרה זה ישמשו בסוגריים.

אם הווקטור נמצא במרחב תלת ממדי, יש צורך במרכיב אחד נוסף, כך:

v =x, v _y , v _z >

ידיעת רכיבים מלבני גודל של וקטור מחושבת, שקולה למציאת אלכסון של משולש ישר זווית שרגליו הם v _x ו נ _{ו ,.} באמצעות משפט פיתגורס יוצא כי:

צורה קוטבית של וקטור

כאשר ידועים גודל הווקטור - v - והזווית it שהוא עושה עם ציר ההתייחסות, בדרך כלל הציר האופקי, נקבע גם הווקטור. לאחר מכן נאמר שהווקטור מתבטא בצורה קוטבית.

הרכיבים המלבניים במקרה זה מחושבים בקלות:

על פי האמור לעיל, המרכיבים המלבניים של וקטור המהירות v של המטוס יהיו:

סוגים

ישנם מספר סוגים של וקטורים. ישנם וקטורים של מהירות, מיקום, תזוזה, כוח, שדה חשמלי, תנופה, ורבים נוספים. כפי שכבר אמרנו, בפיזיקה ישנם מספר גדול של כמויות וקטוריות.

לגבי ווקטורים בעלי מאפיינים מסוימים, נוכל להזכיר את הסוגים הבאים של וקטורים:

-אפס : אלה הם וקטורים שעוצמתם היא 0 ואשר מסומנים כ- 0. זכור כי האות הנועזת מסמלת את שלושת המאפיינים הבסיסיים של וקטור, בעוד שהאות הרגילה מייצגת רק את המודול.

לדוגמה, על גוף בשיווי משקל סטטי, סכום הכוחות חייב להיות וקטור null.

- חופשיים ומקושרים : וקטורים חופשיים הם אלה שנקודות המוצא וההגעה שלהם הם כל זוג נקודות במטוס או בחלל, שלא כמו וקטורים מקושרים, שמקורם עולה בקנה אחד עם זו של מערכת ההתייחסות המשמשת לתיאורם.

הזוג או הרגע שמייצרים זוג כוחות הם דוגמה טובה לווקטור חופשי, מכיוון שהזוג אינו חל על נקודה מסוימת.

- Equipolentes : הם שני וקטורים חופשיים החולקים מאפיינים זהים. לכן יש להם גודל, כיוון וחוש שווים.

- Coplanar או coplanar : וקטורים השייכים לאותו מישור.

- ניגודים : וקטורים בעלי גודל וכיוון זהים, אך כיוונים הפוכים. הווקטור שמול וקטור v הוא הווקטור - v והסכום של שניהם הוא וקטור האפס: v + (- v ) = 0 .

- במקביל : וקטורים שקווי הפעולה שלהם כולם עוברים באותה נקודה.

- מחוונים : הם אותם ווקטורים שנקודת היישום שלהם יכולה להחליק לאורך קו מסוים.

- קולניארית : וקטורים שנמצאים באותו קו.

- Unitary : אותם ווקטורים שהמודול שלהם הוא 1.

וקטורי יחידה אורתוגונלית

יש סוג וקטורי שימושי מאוד בפיזיקה הנקרא וקטור יחידה אורתוגונאלית. וקטור היחידה האורטוגונלית כולל מודול השווה ל 1 והיחידות יכולות להיות כל אחת, למשל אלה של מהירות, מיקום, כוח או אחרים.

יש קבוצה של וקטורים מיוחדים שעוזרים לייצג בקלות וקטורים אחרים ולבצע איתם פעולות: הם וקטורי היחידה האורטוגונלית i , j ו- k , יחידה ואונכים זה לזה.

בשני ממדים, וקטורים אלו מכוונים לאורך הכיוון החיובי של ציר ה- x וגם של ציר ה- Y. ובשלושה מימדים מתווסף וקטור יחידה לכיוון ציר ה- Z החיובי. הם מיוצגים כדלקמן:

i = <1, 0.0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

וקטור יכול להיות מיוצג על ידי וקטורי היחידה i , j ו- k באופן הבא:

v = v _x i + v _y j + v _z k

לדוגמה, ניתן לכתוב את וקטור המהירות v בדוגמאות הקודמות כ:

v = 601.04 i + 601.04 j km / h

הרכיב ב- k אינו הכרחי, מאחר וקטור זה נמצא במישור.

הוספת וקטור

סכום הווקטורים מופיע בתדירות גבוהה במצבים שונים, למשל כשרוצים למצוא את הכוח המתקבל על עצם המושפע מכוחות שונים. כדי להתחיל, נניח שיש לנו שני וקטורים חופשיים u ו- v במטוס, כפי שמוצג באיור הבא משמאל:

איור 4. סכום גרפי של שני ווקטורים. מקור: Wikimedia Commons. לוקן קבנאך.

הוא מועבר מייד בזהירות אל הווקטור v , מבלי לשנות את גודלו, כיוונו או חושו, כך שמקורו חופף לסוף u .

סכום הווקטור נקרא w והוא נמשך החל מ- u שמסתיים ב- v , על פי הנתון הנכון. חשוב לציין כי גודל הווקטור w אינו בהכרח סכום העוצמות של v ו- u .

אם אתה חושב על זה בזהירות, הפעם היחידה שעוצמת הווקטור המתקבל היא סכום גודל העוצמות של התוספות היא כאשר שני התוספים הם באותו כיוון ויש להם אותה חוש.

ומה קורה אם הווקטורים אינם חופשיים? קל מאוד להוסיף אותם. הדרך לעשות זאת היא על ידי הוספת רכיב לרכיב, או שיטה אנליטית.

כדוגמה, הבה נבחן את הווקטורים באיור הבא, הדבר הראשון הוא לבטא אותם באחת מהדרכים הקרטזיות שהוסבר בעבר:

איור 5. סכום של שני ווקטורים מקושרים. מקור: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

כדי להשיג את רכיב ה- x של וקטור הסכום w , הוסף את רכיבי ה- x בהתאמה של v ו- u : w _x = 5 + 2 = 7. וכדי להשיג w _y מתבצע הליך אנלוגי: w _y = 1 + 3. לכן:

u = <7.4>

מאפיינים של הוספת וקטור

הסכום של שני וקטורים או יותר מביא לווקטור אחר.

זה תקין, סדר התוספות לא משנה את הסכום באופן כזה:

u + v = v + u

- היסוד הנייטרלי של סכום הווקטורים הוא וקטור האפס: v + 0 = v

- החיסור של שני וקטורים מוגדר כסיכום ההפך: v - u = v + (-u)

דוגמאות וקטוריות

כאמור, יש הרבה כמויות וקטוריות בפיזיקה. בין הידועים ביותר הם:

-עמדה

-תְזוּזָה

מהירות ממוצעת ומהירות מיידית

-תְאוּצָה

-כּוֹחַ

כמות תנועה

-טורק או רגע של כוח

-דַחַף

-שדה חשמלי

-שדה מגנטי

-מגנטית

מצד שני, הם לא וקטורים אלא סקלרים:

-מזג אוויר

-מסה

-טֶמפֶּרָטוּרָה

-כרך

-צְפִיפוּת

-מכניקה

-אֵנֶרְגִיָה

-חַם

-כּוֹחַ

-מתח

-זרם חשמלי

פעולות אחרות בין וקטורים

בנוסף לתוספת וקטורים של וקטורים, ישנם עוד שלוש פעולות חשובות מאוד בין הווקטורים, מכיוון שהם מולידים כמויות פיזיקליות חשובות מאוד:

- ייצור סקלר על ידי וקטור.

- מוצר הנקודה או מוצר הנקודה בין וקטורים

ותוצר הצלב או הווקטור בין שני וקטורים.

תוצר של סקלר וקטור

שקול את החוק השני של ניוטון, הקובע כי הכוח F והתאוצה a הם פרופורציונליים. קבוע המידתיות הוא המסה של העצם, ולכן:

F = מ. ל

המיסה היא סקלר; כוחם והתאוצה הם מצדם. מכיוון שכוח מתקבל על ידי הכפלת מסה בתאוצה, הוא תוצאה של תוצר סקלרי וקטור.

סוג זה של מוצר מביא תמיד לווקטור. להלן דוגמא נוספת: כמות התנועה. תן ל- P להיות וקטור המומנטום, v וקטור המהירות וכמו תמיד, m הוא המסה:

P = מ. v

מוצר נקודה או מוצר נקודה בין וקטורים

שמנו עבודות מכניות ברשימת הכמויות שאינן ווקטורים. עם זאת, עבודה בפיזיקה היא תוצאה של פעולה בין וקטורים הנקראים מוצר סקלרי, מוצר פנימי או מוצר נקודה.

תן לווקטורים v ו- u , להגדיר את הנקודה או המוצר הסקלרי ביניהם:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

כאשר θ הוא הזווית בין השניים. מהמשוואה המוצגת עולה מיד כי התוצאה של מוצר הנקודה היא סקלרית וגם שאם שני הווקטורים בניצב, מוצר הנקודה שלהם הוא 0.

בחזרה לעבודה מכנית W, זהו המוצר הסקלרי בין וקטור הכוח F לבין וקטור העקירה ℓ .

כאשר קיימים וקטורים מבחינת הרכיבים שלהם, גם מוצר הנקודה קל מאוד לחישוב. אם v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, מוצר הנקודה בין השניים הוא:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

מוצר הנקודה בין וקטורים הוא קומוטיטיבי, לכן:

v ∙ u = u ∙ v

חוצה תוצר או מוצר וקטורי בין וקטורים

אם v ו- u הם שני הווקטורים שלנו לדוגמה, אנו מגדירים את המוצר הווקטורי כ:

v x u = w

יוצא מיד כי המוצר הצלב מביא לווקטור, שמודולוסו מוגדר כ:

כאשר θ הוא הזווית בין הווקטורים.

המוצר הצלב אינו תקין, ולכן v x u ≠ u x v. למעשה v x u = - (u x v).

אם שני הווקטורים לדוגמה באים לידי ביטוי במונחים של וקטורי היחידה, קל יותר את חישוב המוצר הווקטורי:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

חוצים מוצרים בין וקטורי יחידות

המוצר הצלב בין וקטורי יחידות זהים הוא אפס, מכיוון שהזווית ביניהם היא 0º. אבל בין וקטורי יחידות שונים, הזווית ביניהם היא 90 מעלות וחטא 90º = 1.

התרשים שלהלן מסייע במציאת מוצרים אלה. בכיוון החץ יש לו כיוון חיובי ובכיוון ההפוך שלילי:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

החלת המאפיין החלוקתי, שעדיין תקף למוצרים בין ווקטורים פלוס המאפיינים של וקטורי יחידות, יש לנו:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

תרגילים שנפתרו

- תרגיל 1

בהתחשב בווקטורים:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

מה חייב להיות הווקטור w כדי שהסכום v + u + w יהיה 6 i +8 j -10 k ?

פִּתָרוֹן

לכן יש לממש כי:

התשובה היא: w = 9 i +7 j - 18 k

- תרגיל 2

מה הזווית בין הווקטורים v ו- u בתרגיל 1?

פִּתָרוֹן

אנו נשתמש במוצר הנקודה. מההגדרה שיש לנו:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

החלפת ערכים אלה:

הפניות

1. Figueroa, D. (2005). סדרה: פיזיקה למדע והנדסה. כרך 1. קינמטיקה. נערך על ידי דאגלס פיגארואה (USB).
2. Giancoli, D. 2006. פיזיקה: עקרונות עם יישומים. 6. אולם אד פרנטיס.
3. Rex, A. 2011. יסודות הפיזיקה. פירסון.
4. סירס, זמנסקי. 2016. פיזיקה באוניברסיטה עם פיזיקה מודרנית. 14. עורך כרך 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics for Science and Engineering. כרך 1. 7. למידה של אד. צ'נגז '.