משולשים: היסטוריה, אלמנטים, סיווג, מאפיינים - מַדָע - 2025

המשולשים שטוח הם סגרו צורות הנדסיות, מורכב משלושה צדדים. משולש נקבע על ידי שלושה קווים המצטלבים זה אחר זה, ויוצרים שלוש זוויות זו עם זו. הצורה המשולשת, המלאה בסמליות, קיימת באינספור חפצים וכרכיב בנייה.

מקור המשולש אבוד בהיסטוריה. מהעדויות הארכיאולוגיות ידוע כי האנושות הפרימיטיבית ידעה זאת היטב, שכן השרידים הארכיאולוגיים מאשרים כי הוא שימש בכלים וכלי נשק.

איור 1. משולשים. מקור: תמונות ציבוריות.

ניכר גם כי המצרים הקדמונים היו בעלי ידע יציב בגיאומטריה ובמיוחד בצורת המשולש. הם באו לידי ביטוי באלמנטים האדריכליים של הבניינים המונומנטליים שלה.

בפפירוס Rhind ישנן נוסחאות לחישוב שטחים של משולשים וטרפזידים, כמו גם כמה נפחים ומושגים אחרים של טריגונומטריה ראשונית.

מצידם, ידוע כי הבבלים הצליחו לחשב את שטח המשולש ודמויות גיאומטריות אחרות, בהן השתמשו למטרות מעשיות, כמו חלוקות אדמות. הם היו בקיאים גם בתכונות רבות של משולשים.

עם זאת, היוונים הקדמונים היו אלה ששיטטו רבות מהמושגים הגיאומטריים הרווחים כיום, אם כי חלק גדול מהידע הזה לא היה בלעדי, מכיוון שהוא בוודאי היה משותף לתרבויות קדומות אחרות אלה.

אלמנטים משולש

האלמנטים של כל משולש מסומנים באיור הבא. ישנם שלושה: קודקודים, צדדים וזוויות.

איור 2. איור 2. סימון משולשים ואלמנטים שלהם. מקור: Wikimedia Commons, שונה על ידי F. Zapata

-ערכות : הן נקודות ההצטלבות של הקווים שהקטעים שלהם קובעים את המשולש. באיור שלמעלה, למשל, הקו L _AC המכיל את הקטע AC, מצטלב את הקו L _AB שמכיל את הקטע AB בדיוק בנקודה A.

- צדדים : בין כל זוג קודקודים נמשך קטע קו המהווה צד אחד של המשולש. ניתן לציין קטע זה באמצעות אותיות הסיום או באמצעות אות ספציפית כדי לקרוא לו. בדוגמה של איור 2, צד AB נקרא גם "c".

- זוויות : בין כל צד עם קודקוד משותף מקורה זווית, שהקודקוד שלה עולה בקנה אחד עם זה של המשולש. בדרך כלל מצוין הזווית על ידי אות יוונית, כאמור בהתחלה.

כדי לבנות משולש מסוים, עם צורה וגודל נתון, פשוט יש אחת מערכות הנתונים הבאות:

-שלושת הצדדים, די ברור במקרה של משולש.

- שני צדדים והזווית ביניהם, ומיד נמשך הצד הנותר.

- שתי זוויות (פנימיות) והצד ביניהן. בהרחבה משורטטים שני הצדדים החסרים והמשולש מוכן.

סִמוּן

באופן כללי, בסימון משולש משתמשים במוסכמות הבאות: קודקודים מסומנים באותיות לטיניות גדולות, צדדים באותיות לטיניות קטנות, וזוויות באותיות יווניות (ראה איור 2).

באופן זה נקרא המשולש על פי קודקודיו. לדוגמה, המשולש בצד שמאל באיור 2 הוא משולש ABC, וזה שמימין הוא משולש A'B'C.

אפשר להשתמש גם בסימונים אחרים; לדוגמא, הזווית α באיור 2 מציינת BAC. שימו לב כי אות הקודקוד עוברת באמצע והאותיות כתובות בכיוון נגד כיוון השעון.

פעמים אחרות משמשת לציון לזווית:

α = ∠A

סוגי משולשים

ישנם כמה קריטריונים לסיווג משולשים. הדבר הרגיל ביותר הוא לסווג אותם לפי מידת הצדדים שלהם או לפי מידת הזוויות שלהם. בהתאם למידות הצדדים שלהם, המשולשים יכולים להיות: קשקשים, שדיים או שווה צלעות:

-סקאלנו : שלושת הצדדים שלו שונים.

ישנים : יש לו שני צדדים שווים וצד אחד שונה.

-Equilátero : שלושת הצדדים שווים.

איור 3. סיווג משולשים לצדיהם. מקור: פ. זפטה

לפי מידת הזוויות שלהם, המשולשים נקראים כך:

- חסימה , אם אחת הזוויות הפנימיות גדולה מ- 90 מעלות.

- זווית חדה , כאשר שלוש הזוויות הפנימיות של המשולש חריפות, כלומר פחות מ- 90 מעלות

- מלבן , במקרה שאחת הזוויות הפנימיות שלו שווה 90 מעלות. הצדדים היוצרים 90 מעלות נקראים רגליים והצד שמול הזווית הנכונה הוא hypotenuse.

איור 4. סיווג משולשים לפי זוויותיהם הפנימיות. מקור: פ. זפטה.

התכנסות משולשים

כאשר שני משולשים בעלי צורה זהה והם בגודל זהה, אומרים שהם חופפים. כמובן שהלימה קשורה לשוויון, אז מדוע הגיאומטריה מדברת על "שני משולשים חופפים" במקום "שני משולשים שווים"?

ובכן, עדיף להשתמש במונח "הלימה" כדי להיצמד לאמת, מכיוון ששני משולשים יכולים להיות בעלי צורה וגודל זהים, אך להיות מכוונים בצורה אחרת במישור (ראה איור 3). מבחינת הגיאומטריה, הם כבר לא יהיו זהים לחלוטין.

איור 5. משולשים מצטברים, אך לא בהכרח שווים, מכיוון שהנטייה שלהם במטוס שונה. מקור: פ. זפטה.

קריטריוני כניסה

שני משולשים הינם חופפים אם מתרחש אחד מהדברים הבאים:

-שלושת הצדדים מודדים אותו דבר (שוב זה הכי ברור).

יש להם שני צדדים זהים ועם אותה זווית ביניהם.

יש לשני זוויות פנימיות זהות והצד בין זוויות אלה נמדד זהה.

כפי שניתן לראות, מדובר בשני המשולשים העומדים בתנאים הדרושים כך שכאשר הם בנויים, צורתם וגודלם זהים לחלוטין.

קריטריוני הלידה מועילים מאוד, מכיוון שבפועל, אין ספור חלקים וחלקים מכניים חייבים להיות מיוצרים בסדרות, באופן שהמידות והצורה שלהם זהים לחלוטין.

דמיון משולשים

משולש דומה למשנהו אם יש להם אותה צורה, גם אם הם בגדלים שונים. כדי להבטיח כי הצורה זהה, נדרש כי לזוויות הפנימיות יהיה אותו ערך וכי הצדדים יהיו פרופורציונליים.

איור 6. שני משולשים דומים: גודלם זה מזה, אך הפרופורציות שלהם זהות. מקור: פ. זפטה.

המשולשים באיור 2 דומים גם הם, כמו גם באיור 6. באופן זה:

באשר לצדדים, יחסי הדמיון הבאים הם:

נכסים

המאפיינים הבסיסיים של משולשים הם כדלקמן:

-סכום של הזוויות הפנימיות של כל משולש הוא תמיד 180 מעלות.

-לכל משולש, סכום הזוויות החיצוניות שלו שווה ל 360 °.

- זווית חיצונית של משולש שווה לסכום של שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לזווית האמורה.

משפטים

המשפט הראשון של תאלס

הם מיוחסים לפילוסוף והמתמטיקאי היווני תאלס ממילטוס, שפיתח מספר משפטים הקשורים לגיאומטריה. הראשון שבהם קובע את הדברים הבאים:

איור 7. משפט תאלס. מקור: פ. זפטה.

במילים אחרות:

a / a´ = b / b´ = c / c´

המשפט הראשון של תאלס חל על משולש, למשל יש לנו את המשולש הכחול ABC בצד שמאל, שנחתך על ידי ההקבלות האדומות מימין:

איור 8. משפט תאלס ומשולשים דומים.

המשולש הסגול AB'C 'דומה למשולש הכחול ABC, לפיכך, על פי משפט תאלס, ניתן לכתוב את הדברים הבאים:

AB´ / AC´ = AB / AC

וזה בהתאם למה שהוסבר קודם לכן בקטע הדמיון של משולשים. אגב, קווים מקבילים יכולים להיות גם אנכיים או מקבילים להיפוטוזה ומשולשים דומים מתקבלים באותה צורה.

המשפט השני של תאלס

משפט זה מתייחס גם למשולש ולעיגול עם מרכז O, כמו אלה המוצגים להלן. באיור זה, AC הוא קוטר ההיקף ו- B הוא נקודה עליו, B שונה מ- A ו- B.

המשפט השני של תאלס קובע כי:

איור 9. משפט המשנה השני של תאלס. מקור: Wikimedia Commons. טעינה אינדוקטיבית.

משפט פיתגורס

זהו אחד המשפטים המפורסמים ביותר בהיסטוריה. זה נובע מהמתמטיקאי היווני פיתגורס מסאמוס (569 - 475 לפני הספירה) והוא חל על משולש ימין. אומר כך:

אם ניקח כדוגמה את המשולש הכחול באיור 8, או את המשולש הסגול, מכיוון ששניהם מלבנים, ניתן לומר כי:

AC ² = AB ² + BC ² (משולש כחול)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (משולש סגול)

שטח המשולש

שטח המשולש ניתן על ידי תוצר בסיסו a וגובהו h, מחולק על ידי 2. ועל ידי טריגונומטריה ניתן לכתוב גובה זה כ- h = b sinθ.

איור 10. שטח המשולש. מקור: Wikimedia Commons.

דוגמאות למשולשים

דוגמא 1

נאמר כי באמצעות משפטו הראשון הצליח תאלס למדוד את גובה הפירמידה הגדולה במצרים, אחד משבע נפלאות העולם העתיק, על ידי מדידת הצל שהקרין על האדמה ואת הצל שהוקרן על ידי יתד שהונע באדמה.

זהו מתווה הנוהל שאחריו סיפורים:

איור 11. תרשים למדידת גובה הפירמידה הגדולה על ידי דמיון משולשים. מקור: Wikimedia Commons. לטבול

תאלס הניח נכון כי קרני השמש פוגעות במקביל. עם זה בחשבון, הוא דמיין את המשולש הימני הגדול מימין.

שם D הוא גובה הפירמידה ו- C הוא המרחק מעל פני האדמה שנמדד מהמרכז לצל שמטילה הפירמידה על רצפת המדבר. יתכן ומאמץ למדוד C, אך בהחלט קל יותר למדוד את גובה הפירמידה.

משמאל המשולש הקטן, עם רגלי A ו- B, כאשר A הוא גובה המוקד המונע אנכית באדמה ו- B הוא הצל שהוא מטיל. שני האורכים ניתנים למדידה, כמו גם C (C שווה לאורך הצל + חצי מאורך הפירמידה).

אז לפי דמיון משולשים:

A / B = D / C

וגובה הפירמידה הגדולה מתברר כ: D = C. (A / B)

דוגמא 2

הקירות בבנייה אזרחית הם מבנים העשויים סורגים ישרים דקים מעץ או ממתכת חצובה, המשמשים כתמיכה במבנים רבים. הם ידועים גם בשם מסבכות, מסבכות או מסבכות.

בתוכם המשולשים תמיד קיימים, מכיוון שהמוטים קשורים זה בזה בנקודות הנקראות צמתים, שניתן לתקן או לנסח.

איור 12. המשולש קיים במסגרת גשר זה. מקור: PxHere.

דוגמא 3

השיטה המכונה טריאנגולציה מאפשרת להשיג את המיקום של נקודות בלתי נגישות בידיעה למרחקים אחרים שקל יותר למדוד, ובלבד שתיווצר משולש הכולל את המיקום הרצוי בין קודקודיו.

לדוגמא, באיור הבא אנו רוצים לדעת היכן נמצאת הספינה בים, המכונה B.

איור 13. תרשים משולש לאיתור הספינה. מקור: Wikimedia Commons. קולט

ראשית, נמדד המרחק בין שתי נקודות בחוף, אשר באיור הם A ו- C. לאחר מכן, יש לקבוע את הזוויות α ו- β בעזרת תיאודוליט, מכשיר המשמש למדידת זוויות אנכיות ואופקיות.

עם כל המידע הזה, בנוי משולש שהקודקוד העליון שלו הוא הספינה. נותר לחשב את הזווית y, תוך שימוש בתכונות המשולשים והמרחקים AB ו- CB באמצעות טריגונומטריה, כדי לקבוע את מיקום הספינה בים.

תרגילים

תרגיל 1

באיור המוצג קרני השמש מקבילות. באופן זה, העץ שגובהו 5 מטרים מטיל צל על שטח של 6 מטרים. באותה עת, צל הבניין הוא 40 מטר. בעקבות המשפט הראשון של תאלס, מצא את גובה הבניין.

איור 14. תרשים לתרגיל שנפתר 1. מקור: F. Zapata.

פִּתָרוֹן

למשולש האדום צלעות של 5 ו 6 מטר בהתאמה, ואילו הכחול גובה H - גובה הבניין - ובסיסו 40 מטר. שני המשולשים דומים, לכן:

תרגיל 2

עליכם לדעת את המרחק האופקי בין שתי נקודות A ו- B, אך הם ממוקמים על קרקע מאוד לא אחידה.

בערך בנקודת האמצע (P _{מ '} ) של השטח האמור בולטת גובהה של 1.75 מטר. אם מדידת הקלטת מציינת 26 מטר אורך שנמדד מ- A לבולטות, ו- 27 מטרים מ- B לאותה נקודה, מצא את המרחק AB.

איור 15. תרשים לתרגיל שנפתר 2. מקור: Jiménez, R. Mathematics II. גיאומטריה וטריגונומטריה.

פִּתָרוֹן

משפט הפיתגורס מוחל על אחד משני המשולשים הימניים בתמונה. החל מהמשמאל:

היפוטנוזה = c = 26 מטר

גובה = א = 1.75 מטר

AP _m = (26 ² - 1.75 ² ) ^1/2 = 25.94 מ '

החל כעת את פיתגורס על המשולש מימין, הפעם c = 27 מטר, a = 1.75 מטר. עם הערכים הבאים:

BP _m = (27 ² - 1.75 ² ) ^1/2 = 26.94 מ '

המרחק AB נמצא על ידי הוספת תוצאות אלה:

AB = 25.94 מ '+ 26.94 מ' = 52.88 מ '.

הפניות

1. Baldor, JA 1973. מטוס וגיאומטריה בחלל. תרבות מרכז אמריקה.
2. Barredo, D. הגיאומטריה של המשולש. התאושש מ: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. מתמטיקה II. גיאומטריה וטריגונומטריה. מהדורה שנייה. פירסון.
4. וונטוורת ', ג. גיאומטריה של מטוס. התאושש מ: gutenberg.org.
5. ויקיפדיה. משולש. התאושש מ: es. wikipedia.org.