משולש ישר-סיבים: מאפיינים, נוסחה ושטח, חישוב - מתמטיקה - 2025

משולש שווה שוקיים הוא מצולע עם משלושה צדדים, שבו שניים מהם יש את אותה מידה והצד השלישי מידה שונות. הצד האחרון הזה נקרא הבסיס. בשל מאפיין זה ניתן שם זה, שפירושו ביוונית "רגליים שוות"

משולשים הם מצולעים הנחשבים לפשוטים ביותר בגאומטריה, מכיוון שהם מורכבים משלושה צדדים, שלוש זוויות ושלושה קודקודים. הם אלה שיש להם את המספר הפחות של צדדים וזוויות ביחס למצולעים האחרים, עם זאת השימוש בהם נרחב מאוד.

מאפיינים של משולשים ישריים

משולש השבילים סווגו באמצעות המידה של דפנותיה כפרמטר, מכיוון ששני הצדדים שלה הם חופפים (יש להם אותו אורך).

בהתבסס על משרעת הזוויות הפנימיות, משולשים איזבוליים מסווגים כ:

• משולש ימין של ישראלי : שני הצדדים שלו שווים. בפינה אחת היא ישר (90 ^או ) והאחרים הם זהים (45 ^או כל אחד)
• משולש שפתולי איזום : שני הצדדים שלו שווים. אחת הזוויות היא סתמית (> 90 ^או ).
• משולש חריף ישראלי. שני הצדדים שלו שווים. כל הזוויות חריפות (<90 ^או ) כאשר לשניהם מדד זהה.

רכיבים

• החציון : זהו קו שמתחיל מנקודת האמצע של צד אחד ומגיע לקודקוד ההפוך. שלושת החציונים נפגשים בנקודה הנקראת barycenter או centroid.
• הביזקטור : זוהי קרן המחלקת את הזווית של כל קודקוד לשתי זוויות במידה שווה. זו הסיבה שזה ידוע כציר הסימטריה ולסוג משולשים זה יש רק אחד.
• הביזקטור : זהו קטע בניצב לצד המשולש, אשר מקורו באמצעו. יש שלוש מדיטציות במשולש והן נפגשות בנקודה שנקראת מרכז המעגל.
• הגובה : זה הקו שעובר מהקודקוד לצד שממול וגם קו זה הוא בניצב לצד זה. לכל המשולשים שלושה גבהים, אשר חופפים בנקודה הנקראת האורתוסנטר.

נכסים

משולשים של ישראליות מוגדרים או מזוהים מכיוון שיש להם מספר תכונות המייצגים אותם, שמקורם במשפטים שהוצעו על ידי מתמטיקאים גדולים:

זוויות פנימיות

סכום זוויות הפנים תמיד שווה ל 180 ^° .

סכום הצדדים

סכום המידות של שני צדדים חייב להיות תמיד גדול יותר מאשר המידה של הצד השלישי, a + b> c.

צדדים מתכנסים

משולשים ישר-ליביים יש שני צדדים באותו מידה או אורך; כלומר הם חופפים והצד השלישי שונה מאלו.

זוויות מתכנסות

משולשים ישראליות ידועים גם כמשולשים איזו משולשים, מכיוון שיש להם שתי זוויות שיש להן מידה זהה (הלימה). אלה ממוקמים בבסיס המשולש, מול הצדדים שאורכם זהה.

עקב כך נוצר המשפט הקובע כי:

"אם למשולש יש שני צדדים חופפים, הזוויות שמול הצדדים ההם יהיו גם הם חופפים." לכן, אם משולש הוא שווה-זווית, זוויות בסיסיו חופפות.

דוגמא:

באיור שלהלן נראה משולש ABC. על ידי שרטוט ה ביזקטור שלו מקודקוד הזווית B לבסיס, המשולש מחולק לשני משולשים שווים BDA ו- BDC:

באופן זה גם זווית קודקוד B חולקה לשתי זוויות שוות. הביזקטור הוא כעת הצד השכיח (BD) בין שני המשולשים החדשים הללו, ואילו הצדדים AB ו- BC הם הצדדים המתלכדים. כך יש לנו המקרה של הלידה בצד, בזווית, בצד (LAL).

זה מראה שלזוויות הקודקודים A ו- C יש מידה זהה, כמו כן ניתן להראות שמכיוון שהמשולשים BDA ו- BDC הם חופפים, הצדדים AD ו- DC גם הם חופפים.

גובה, חציון, ביזקטור וביסקטור מקרים זה בזה

הקו הנמשך מהקודקוד שמול הבסיס לנקודת האמצע של בסיס משולש השבילים, הוא באותו זמן הגובה, החציון והביסקטור, כמו גם הביזקטור יחסית לזווית ההפוכה של הבסיס.

כל הקטעים הללו חופפים זה לזה שמייצג אותם.

דוגמא:

באיור שלהלן נראה המשולש ABC עם נקודת אמצע M המחלקת את הבסיס לשני מקטעים BM ו- CM.

על ידי ציור קטע מנקודה M אל הקודקוד ההפוך, בהגדרה מתקבל החציון AM, שהוא יחסית לקודקוד A וצד לפני הספירה.

כאשר קטע AM מחלק את המשולש ABC לשני משולשים שווים AMB ו- AMC, המשמעות היא כי המקרה של צד הלידה, זווית, צד יהיה לו ולכן AM יהיה גם החלק הנגדי של BÂC.

לכן הביזקטור תמיד יהיה שווה לחציון ולהפך.

קטע AM יוצר זוויות בעלות אותה מידה למשולשים AMB ו- AMC; כלומר הם משלימים בצורה כזו שהמדד של כל אחד מהם יהיה:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^או

2 _* מדד (AMC) = 180 ^או

Med. (AMC) = 180 ^או ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^או

ניתן לדעת כי הזוויות הנוצרות על ידי הקטע AM ביחס לבסיס המשולש צודקות, מה שמצביע על כך שקטע זה בניצב לחלוטין לבסיס.

לכן זה מייצג את הגובה ואת הביסקטור, בידיעה ש- M הוא נקודת האמצע.

לכן קו AM:

• מייצג בשיאה של לפני הספירה.
• הוא בגודל בינוני.
• זה כלול בתוך הביזקטור של לפני הספירה.
• זהו הוויברציה של זווית הקודקוד

גבהים יחסית

לגבהים שהם יחסית לצדדים שווים יש גם אותה מדידה.

מכיוון שבמשולש השבילים יש שני צדדים שווים, שני הגבהים שלהם בהתאמה יהיו גם שווים.

אורטוסנטר, בר סנטר, סנטר ומרכז צירופי מקרים

כיוון שהגובה, החציון, הביזקטור והביסקטור ביחס לבסיס, מיוצגים בו זמנית על ידי אותו קטע, האורתוסנטר, המרכז הבארי סנטר והמרכז המרכזי יהיו נקודות קולניאריות, כלומר הם יימצאו באותו קו:

כיצד לחשב את ההיקף?

היקף מצולע מחושב על ידי הוספת הצדדים.

כמו במקרה זה במשולש השבילים יש שני צדדים באותה מידה, ההיקף שלו מחושב לפי הנוסחה הבאה:

P = 2 _* (צד א) + (צד ב).

כיצד לחשב את הגובה?

הגובה הוא הקו הניצב לבסיס, הוא מחלק את המשולש לשני חלקים שווים כשהוא משתרע לקודקוד ההפוך.

הגובה מייצג את הרגל הנגדית (א), אמצע הבסיס (b / 2) הרגל הסמוכה והצד "a" מייצג את היפוזה.

בעזרת משפט פיתגורס ניתן לקבוע את ערך הגובה:

a ² + b ² = c ²

איפה:

a ² = גובה (ח).

b ² = b / 2.

c ² = צד א.

להחליף ערכים אלה במשפט הפיתגורס, ולפתרון הגובה, יש לנו:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = ²

h ² = a ² - ב ² /4

h = √ (א ² - ב ² /4).

אם ידוע על הזווית שנוצרה על ידי הצדדים ההולכים, ניתן לחשב את הגובה באמצעות הנוסחה הבאה:

כיצד לחשב את השטח?

שטח המשולשים מחושב תמיד באותה נוסחה, מכפיל את הבסיס בגובה ומחלק בשניים:

ישנם מקרים שרק המדידות של שני צידי המשולש והזווית שנוצרה ביניהן ידועות. במקרה זה, כדי לקבוע את האזור יש להחיל את היחס הטריגונומטרי:

כיצד לחשב את בסיס המשולש?

מכיוון שלמשולש השבילים יש שני צדדים שווים, כדי לקבוע את ערך הבסיס שלו אתה צריך לדעת לפחות את מידת הגובה או אחת מזוויותיו.

בידיעת הגובה, משתמשים במשפט פיתגורס:

a ² + b ² = c ²

איפה:

a ² = גובה (ח).

c ² = צד א.

b ² = b / 2, אינו ידוע.

אנו מבודדים את b ² מהנוסחה ויש לנו:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

מכיוון שערך זה תואם את מחצית הבסיס, יש להכפיל אותו בשניים כדי להשיג את המידה השלמה של בסיס משולש השבילים:

b = 2 _* (√ a ² - c ² )

במקרה שרק ידוע על ערך הצדדים השווים והזווית שביניהם, מיושמת טריגונומטריה, תוך ציור קו מהקודקוד לבסיס המחלק את משולש השבילים לשני משולשים ימין.

בדרך זו מחושב מחצית מהבסיס באמצעות:

ייתכן גם שרק ערך הגובה והזווית של הקודקוד שנמצא מול הבסיס ידועים. במקרה כזה, באמצעות טריגונומטריה ניתן לקבוע את הבסיס:

תרגילים

תרגיל ראשון

מצא את השטח של משולש השביל השביל, בידיעה ששני הצדדים שלו הם 10 ס"מ והצד השלישי הוא 12 ס"מ.

פִּתָרוֹן

כדי למצוא את שטח המשולש, יש צורך לחשב את הגובה בעזרת נוסחת השטח הקשורה למשפט פיתגורס, מכיוון שלא ידוע שווי הזווית שנוצרה בין הצדדים השווים.

יש לנו את הנתונים הבאים של משולש השבילים:

• צדדים שווים (א) = 10 ס"מ.
• בסיס (ב) = 12 ס"מ.

הערכים מוחלפים בנוסחה:

תרגיל שני

אורכם של שני הצדדים השווים במשולש שולי החרק 42 ס"מ. האיחוד של הצדדים הללו מהווה זווית של 130 ^או . קבע את הערך של הצד השלישי, שטח המשולש ההוא וההיקף.

פִּתָרוֹן

במקרה זה ידועות מידות הצדדים והזווית ביניהן.

לדעת את הערך של הצד החסר, כלומר בסיס המשולש ההוא, משורטט קו הניצב אליו ומחלק את הזווית לשני חלקים שווים, אחד לכל משולש ימני שנוצר.

• צדדים שווים (א) = 42 ס"מ.
• זווית (Ɵ) = 130 ^o

כעת על ידי טריגונומטריה מחושב הערך של מחצית הבסיס, התואם למחצית מתנועת ההפחתה:

כדי לחשב את השטח, יש צורך לדעת את גובה המשולש ההוא, אותו ניתן לחשב באמצעות טריגונומטריה או על ידי משפט פיתגורס, כעת כאשר ערך הבסיס כבר נקבע.

באמצעות טריגונומטריה זה יהיה:

ההיקף מחושב:

P = 2 _* (צד א) + (צד ב).

P = 2 _* (42 ס"מ) + (76 ס"מ)

P = 84 ס"מ + 76 ס"מ

P = 160 ס"מ.

תרגיל שלישי

חשב את הזוויות הפנימיות של משולש השבילים, בידיעה שזווית הבסיס היא = 55 ^או

פִּתָרוֹן

כדי למצוא את שתי הזוויות החסרות (Ê ו- Ô) יש לזכור שתי תכונות של משולשים:

• סכום הזוויות הפנימיות של כל משולש יהיה תמיד = 180 ^או :

 + Ê + Ô = 180 ^או

• במשולש ישר-זוויתי זוויות הבסיס תמיד חופפות, כלומר יש להן אותה מידה, לפיכך:

 = Ô

Ê = 55 ^או

כדי לקבוע את ערך הזווית Ê, אנו מחליפים את הערכים של הזוויות האחרות בכלל הראשון ופותרים עבור Ê:

55 ^או + 55 ^או + Ô = 180 ^או

110 ^או + Ô = 180 ^או

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o .

הפניות

1. Álvarez, E. (2003). אלמנטים של גאומטריה: עם תרגילים רבים וגיאומטריה של המצפן. אוניברסיטת מדיין.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). רישום טכני: מחברת פעילות.
3. Angel, AR (2007). אלגברה אלמנטרית. פירסון חינוך.
4. ארתור גודמן, LH (1996). אלגברה וטריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.
5. בלדור, א '(1941). אַלגֶבּרָה. הוואנה: תרבות.
6. חוסה ג'ימנס, LJ (2006). מתמטיקה 2.
7. Tuma, J. (1998). מדריך למתמטיקה הנדסית. וולפרם MathWorld.