משולש סולם: מאפיינים, נוסחה ואזורים, חישוב - מתמטיקה - 2025

משולש שווה צלעות הוא מצולע עם משלושה צדדים, שלכל אחד מהם יש אמצעים או באורכים שונים; מסיבה זו ניתן לה שם סקלן, שבלטינית פירושו טיפוס.

משולשים הם מצולעים הנחשבים לפשוטים ביותר בגאומטריה, מכיוון שהם מורכבים משלושה צדדים, שלוש זוויות ושלושה קודקודים. במקרה של משולש הסולן, על ידי כך שכל הצדדים שונים זה מזה, זה מרמז ששלוש הזוויות שלו יהיו מדי.

מאפיינים של משולשים קשקשים

משולשים קשקשים הם מצולעים פשוטים מכיוון שאף אחד מהצדדים או הזוויות שלהם אינו בעל מידה זהה, בניגוד לשרביטים ושולשים משוליים.

מכיוון שלכל הצדדים והזוויות שלהם יש מידות שונות, משולשים אלה נחשבים מצולעים קמורים לא סדירים.

על סמך משרעת הזוויות הפנימיות, משולשי הסקלן מסווגים כ:

• משולש ימין שקוע : כל הצדדים שונים זה מזה. אחת הזוויות שלו נכונה (90 ^או ) והאחרות חדות וביכולות שונות.
• משולש סקלן סתמי : כל הצדדים שונים ואחד הזוויות שלו הוא סתמי (> 90 ^או ).
• משולש חריף בקנה מידה : כל הצדדים שונים זה מזה. כל הזוויות חריפות (<90 ^או ) במידות שונות.

מאפיין נוסף של משולשי הסולן הוא שבשל אי התאמה של הצדדים והזוויות שלהם, אין להם ציר סימטריה.

רכיבים

החציון : זהו קו שמתחיל מנקודת האמצע של צד אחד ומגיע לקודקוד ההפוך. שלושת החציונים נפגשים בנקודה הנקראת barycenter או centroid.

הביזקטור : זוהי קרן המחלקת כל זווית לשתי זוויות במידה שווה. החלקים של המשולש נפגשים בנקודה הנקראת המבערה.

הביזקטור : זהו קטע בניצב לצד המשולש, אשר מקורו באמצעו. ישנם שלושה ביסקטורים במשולש והם נפגשים בנקודה שנקראת מרכז המעגל.

הגובה : זה הקו שעובר מהקודקוד לצד שממול וגם קו זה הוא בניצב לצד זה. לכל המשולשים שלושה גבהים אשר חופפים זה לזה בנקודה המכונה האורטוסנטר.

נכסים

משולשים קשניים מוגדרים או מזוהים מכיוון שיש להם מספר תכונות המייצגים אותם, שמקורם במשפטים שהוצעו על ידי מתמטיקאים גדולים. הם:

זוויות פנימיות

סכום זוויות הפנים תמיד שווה ל 180 ^° .

סכום הצדדים

סכום המידות של שני צדדים חייב להיות תמיד גדול יותר מאשר המידה של הצד השלישי, a + b> c.

צדדים לא מסובכים

לכל הצדדים של משולשי הסולן יש מידות או אורכים שונים; כלומר, הם לא תואמים.

זוויות לא ברורות

מכיוון שכל צידי משולש הסולן שונים, זוויותיו יהיו מדי. עם זאת, סכום הזוויות הפנימיות תמיד יהיה שווה ל -180 מעלות, ובמקרים מסוימים אחת הזוויות שלו יכולה להיות סתמית או ישרה, ואילו באחרות כל הזוויות שלה יהיו חריפות.

גובה, חציון, ביזקטור וביסקטור אינם מקרים

כמו כל משולש, לסקלנה יש קטעי קו שונים המרכיבים אותו, כמו: גובה, חציון, ביזקטור וביסקטור.

בשל הייחודיות של צידיו, במשולש מסוג זה אף אחד מהקווים הללו לא יעלה בקנה אחד.

אורתוסנטר, barycenter, incenter ו- circumcenter אינם מקרים

כיוון שהגובה, חציון, ביזקטור וביסקטור מיוצגים על ידי פלחי קו שונים, במשולש סקלן נקודות המפגש - האורתוסנטר, המגע והמרכז סביב - יימצאו בנקודות שונות (הן אינן חופפות זו את זו).

תלוי אם המשולש הוא חריף, ימין או סקלן, לאורתוסנטר יש מיקומים שונים:

ל. אם המשולש חריף, האורתוסנטר יהיה בתוך המשולש.

ב. אם המשולש צודק, האורתוסנטר יעלה בקנה אחד עם קודקוד הצד הימני.

ג. אם המשולש סתום, האורתוסנטר יהיה בחלק החיצוני של המשולש.

גבהים יחסית

הגבהים יחסית לדפנות.

במקרה של משולש הסקלן, לגבהים אלה יהיו מדידות שונות. לכל משולש שלושה גבהים יחסית והנוסחה של הרון משמשת לחישובם.

כיצד לחשב את ההיקף?

היקף מצולע מחושב על ידי הוספת הצדדים.

מכיוון שבמקרה זה למשולש הסולן כל הצדדים שלו במידות שונות, ההיקף שלו יהיה:

P = צד a + צד b + צד c.

כיצד לחשב את השטח?

שטח המשולשים מחושב תמיד באותה נוסחה, מכפיל את הבסיס כפול הגובה ומחלק בשניים:

שטח = (בסיס _* ח) ÷ 2

במקרים מסוימים גובה משולש הסולן אינו ידוע, אך יש נוסחה שהציעה המתמטיקאי הרון, לחישוב השטח היודע את המידה של שלושת הצדדים של המשולש.

איפה:

• a, b ו- c מייצגים את צידי המשולש.
• sp, מתאים לחצי הגודל של המשולש, כלומר חצי מהיקף ההיקף:

sp = (a + b + c) ÷ 2

במקרה שיש לנו מידה של שניים מצדי המשולש והזווית הנוצרת ביניהם, ניתן לחשב את השטח על ידי יישום היחס הטריגונומטרי. אז עליכם:

שטח = (צד _* ח) ÷ 2

כאשר הגובה (h) הוא תוצר של צד אחד והסינוס של הזווית ההפוכה. לדוגמה, עבור כל צד, האזור יהיה:

• שטח = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• שטח = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• שטח = (a _* b _* sin C) ÷ 2

כיצד לחשב את הגובה?

מכיוון שכל צידי משולש הסולן שונים זה מזה, לא ניתן לחשב את הגובה בעזרת משפט פיתגורס.

מהנוסחה של הרון, שמתבססת על המדידות של שלושת צדי המשולש, ניתן לחשב את השטח.

ניתן לנקות את הגובה מהנוסחה הכללית של האזור:

הצד מוחלף על ידי מידת הצד a, b או c.

דרך נוספת לחשב את הגובה כאשר ידוע הערך של אחת הזוויות היא על ידי יישום היחס הטריגונומטרי, שם הגובה ייצג רגל של המשולש.

לדוגמא, כאשר ידועה הזווית שמול הגובה, היא תיקבע על ידי הסינוס:

כיצד לחשב את הצדדים?

כאשר יש לך מידה של שני צדדים והזווית שמולו, אפשר לקבוע את הצד השלישי על ידי יישום משפט הקוסינוס.

לדוגמה, במשולש AB, הגובה ביחס לקטע AC מתוכם. בדרך זו המשולש מחולק לשני משולשים ימניים.

לחישוב צד ג '(קטע AB), החל את משפט הפיתגורס על כל משולש:

• למשולש הכחול יש לנו:

c ² = h ² + m ²

מכיוון m = b - n, אנו מחליפים:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ² .

• למשולש הוורוד עליכם:

h ² = a ² - n ²

הוא מחליף במשוואה הקודמת:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

בידיעה ש- n = a _* cos C, הוא מוחלף במשוואה הקודמת והערך של צד c מתקבל:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

על פי חוק הקוסינים, ניתן לחשב את הצדדים כך:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

ישנם מקרים בהם מדדי צידי המשולש אינם ידועים, אלא גובהם והזוויות הנוצרות בקודקודים. כדי לקבוע את האזור במקרים אלה יש להחיל את היחס הטריגונומטרי.

בהכרת הזווית של אחד מקודקודיו מזוהים הרגליים ומשמשים ביחס הטריגונומטרי המתאים:

לדוגמה, הרגל AB תהיה הפוכה לזווית C, אך סמוכה לזווית A. בהתאם לצד או הרגל המתאימים לגובה, הצד השני מנוקה בכדי לקבל את הערך של זה.

תרגילים

תרגיל ראשון

חשב את השטח ואת הגובה של משולש הסולן ABC, בידיעה שהצדדים שלו הם:

a = 8 ס"מ.

b = 12 ס"מ.

c = 16 ס"מ.

פִּתָרוֹן

כנתונים, המדידות של שלושת הצדדים של משולש הסקלן ניתנות.

מכיוון שערך הגובה אינו זמין, ניתן לקבוע את השטח על ידי יישום הנוסחה של הרון.

ראשית מחושב חצי המטר:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 ס"מ + 12 ס"מ + 16 ס"מ) ÷ 2

sp = 36 ס"מ ÷ 2

sp = 18 ס"מ.

כעת מחליפים את הערכים בנוסחה של הרון:

בידיעת השטח ניתן לחשב את הגובה ביחס לצד b. מהנוסחה הכללית, מנקה אותה, יש לנו:

שטח = (צד _* ח) ÷ 2

46, 47 ס"מ ² = (12 ס"מ _* שעות) ÷ 2

h = (2 _* 46.47 ס"מ ² ) ÷ 12 ס"מ

h = 92.94 ס"מ ² ÷ 12 ס"מ

h = 7.75 ס"מ.

תרגיל שני

בהתחשב במשולש הסקלין ABC, שמדדיו הם:

• מקטע AB = 25 מ '.
• מקטע BC = 15 מ '.

בקודקוד B נוצר זווית של 50 מעלות. חשב את הגובה ביחס לצד ג, היקף ואזור המשולש ההוא.

פִּתָרוֹן

במקרה זה יש לנו מדידות של שני צדדים. כדי לקבוע את הגובה יש צורך בחישוב מדידת הצד השלישי.

מכיוון שניתנת זווית הפוכה לצדדים הנתונים, ניתן להחיל את חוק הקוסינוסים כדי לקבוע את מידת הצד AC (ב):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

איפה:

a = BC = 15 מ '.

c = AB = 25 מ '.

b = AC.

B = 50 ^o .

הנתונים מוחלפים:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0.6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367.985

b = √367,985

b = 19.18 מ '.

מכיוון שכבר יש לנו את הערך של שלושת הצדדים, מחושב היקף המשולש:

P = צד a + צד b + צד c

P = 15 מ '+ 25 מ' + 19, 18 מ '

P = 59.18 מ '

כעת ניתן לקבוע את השטח על ידי יישום הנוסחה של הרון, אך תחילה יש לחשב את חצי המטר:

sp = P ÷ 2

sp = 59.18 מ ÷ 2

sp = 29.59 מ '.

המדידות של הצדדים והמחצית המידה מחליפות בנוסחה של הרון:

סוף סוף הכרת השטח, ניתן לחשב את הגובה ביחס לצד ג. מהנוסחה הכללית, מנקה אותה עליך:

שטח = (צד _* ח) ÷ 2

143.63 מ ' ² = (25 מ' _* ח) ÷ 2

h = (2 _* 143.63 מ ' ² ) ÷ 25 מ'

h = 287.3 מ ' ² ÷ 25 מ'

h = 11.5 מ '.

תרגיל שלישי

במשולש הסקליין ABC צד b הוא 40 ס"מ, הצד c 22 ס"מ, ובקודד A, נוצר זווית 90 ^או . חשב את שטח המשולש ההוא.

פִּתָרוֹן

במקרה זה ניתנים המידות של שני צדי משולש הסולן ABC, כמו גם הזווית שנוצרת בקודקוד A.

כדי לקבוע את השטח, אין צורך לחשב את מידת הצד א 'שכן דרך היחס הטריגונומטרי משתמשים בזווית למציאתו.

מכיוון שהזווית שמול הגובה ידועה, היא תיקבע על ידי תוצר של צד אחד וסינוס הזווית.

החלפה בנוסחת האזור שיש לנו:

• שטח = (צד _* ח) ÷ 2
• h = c _* חטא א

שטח = (b _* c _* sin A) ÷ 2

שטח = (40 ס"מ _* 22 ס"מ _* sin 90) ÷ 2

שטח = (40 ס"מ _* 22 ס"מ _* 1) ÷ 2

שטח = 880 ס"מ ² ÷ 2

שטח = 440 ס"מ ² .

הפניות

1. Álvaro Rendón, AR (2004). רישום טכני: מחברת פעילות.
2. אננגל רויז, HB (2006). גיאומטריות. טכנולוגיית CR,.
3. Angel, AR (2007). אלגברה אלמנטרית. פירסון חינוך,.
4. בלדור, א '(1941). אַלגֶבּרָה. הוואנה: תרבות.
5. Barbosa, JL (2006). גיאומטריה אוקלידית מטוס. ריו דה ז'נרו,.
6. קוקסטר, ח. (1971). יסודות הגיאומטריה. מקסיקו: לימוזה-וויילי.
7. דניאל סי. אלכסנדר, GM (2014). גיאומטריה יסודית לסטודנטים במכללה. לימוד Cengage.
8. הארפה, פ. ד. (2000). נושאים בתורת הקבוצות הגיאומטריות. הוצאת אוניברסיטת שיקגו.