משולש חריף: מאפיינים וסוגים - מתמטיקה - 2025

המשולשים החריפים הם אלה אשר שלוש זוויות פנימיות הם זוויות חדות; כלומר, המידה של כל אחת מהזוויות הללו פחות מ- 90 מעלות. בכך שלא תהיה לנו זווית נכונה, יש לנו כי משפט הפיתגורס אינו מחזיק עבור דמות גיאומטרית זו.

לכן, אם אנו רוצים לקבל מידע כלשהו על צדדיו או זוויותיו, יש צורך לעשות שימוש במשפטים אחרים המאפשרים לנו גישה לנתונים האמורים. אלה שאנו יכולים להשתמש בהם הם משפט הסינוס ומשפט הקוסינוס.

מאפיינים

בין המאפיינים שיש לדמות גיאומטרית זו, אנו יכולים להדגיש את אלה שניתנים על ידי העובדה הפשוטה להיות משולש. בין אלה שיש לנו:

- משולש הוא מצולע שיש בו שלושה צדדים ושלושה זוויות.

- סכום של שלוש הזוויות הפנימיות שלו שווה ל 180 °.

- סכום שני הצדדים שלו תמיד גדול מהשלישי.

כדוגמה בואו נסתכל על המשולש ABC הבא. בדרך כללית, אנו מזהים את הצדדים שלה עם אותיות קטנות וזוויותיה עם אות גדולה, באופן שלצד אחד ולזווית הפוכה שלה יש את אותה האות.

מהמאפיינים שכבר ניתנו, אנו יודעים כי:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b ו- b + c> a

המאפיין העיקרי המבדיל סוג זה של משולש משאר הוא שכפי שכבר הזכרנו, הזוויות הפנימיות שלו חריפות; כלומר, המידה של כל אחת מהזוויות שלו היא פחות מ- 90 °.

משולשים חריפים, יחד עם משולשים מטושטשים (אלה שבהם אחת הזוויות שלהם יש מידה גבוהה מ 90 °), הם חלק ממערך המשולשים האלכסוניים. סט זה מורכב מהמשולשים שאינם זוויות ישרות.

מכיוון שהמשולשים האלכסוניים הם חלק, עלינו להיות מסוגלים לפתור בעיות הכרוכות במשולשים חריפים, עלינו לעשות שימוש במשפט הסינוס ובמשפט הקוסינוס.

משפט סינוס

משפט הסינוס אומר לנו כי היחס בין צד אחד לסינוס של הזווית הנגדית שלו שווה לכפול מרדיוס המעגל שנוצר על ידי שלושת הקודקודים של המשולש האמור. זאת אומרת:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

משפט קוסין

מצד שני, משפט הקוסינווס נותן לנו את שלוש השוויון הללו עבור כל משולש ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

משפטים אלה ידועים גם כחוק הסינוס וחוק הקוסינוס בהתאמה.

מאפיין נוסף שנוכל לתת למשולשים החריפים הוא ששניים מאלו שווים אם הם עומדים באחד מהקריטריונים הבאים:

- אם יש להם את אותם שלושה צדדים.

- אם יש להם צד אחד ושתי זוויות שוות זו לזו.

- אם יש להם שני צדדים שווים וזווית.

סוגים

ניתן לסווג משולשים חריפים לפי הצדדים שלהם. אלה עשויים להיות:

משולשים חריפים שווה צלעות

הם המשולשים החריפים אשר כל הצדדים שלהם שווים ולכן לכל הזוויות הפנימיות שלהם יש אותו ערך, שהוא A = B = C = 60 ° מעלות.

כדוגמה, בואו ניקח את המשולש הבא, שלצידיו a, b ו- c יש ערך של 4.

משולשים חריפים של איזבולס

למשולשים אלה, בנוסף לזוויות פנימיות חריפות, יש את המאפיין שיש שניים מהצדדים השווים שלהם והשלישי, שנחשב בדרך כלל כבסיס, שונה.

דוגמה לסוג זה של משולשים יכולה להיות אחת שבסיסה הוא 3 ושני הצדדים האחרים שלה הם בעלי ערך של 5. עם המדידות הללו יהיו לו זוויות הפוכות לצדדים שווים בערך 72.55 ° והזווית ההפוכה של הבסיס יהיה 34.9 מעלות.

משולשים חריפים שקועים

אלה המשולשים שיש לכולם צדדים שונים שניים אחרי שניים. לכן כל זוויותיו, בנוסף להיותן פחות מ- 90 °, שונות משניים לשניים.

המשולש DEF (שמידותיו d = 4, e = 5 ו- f = 6 וזוויותיו D = 41.41 °, E = 55.79 ° ו- F = 82.8 °) הוא דוגמא טובה למשולש חריף סקלן.

רזולוציה של משולשים חריפים

כפי שאמרנו קודם, כדי לפתור בעיות הכרוכות במשולשים חריפים יש צורך להשתמש במשפטי הסינוס והקוסינוס.

דוגמא 1

בהינתן משולש ABC עם זוויות A = 30 °, B = 70 ° וצד a = 5 ס"מ, אנו רוצים לדעת את הערך של זווית C ואת הצדדים b ו- c.

הדבר הראשון שאנחנו עושים הוא להשתמש בעובדה שסכום הזוויות הפנימיות של משולש הוא 180 מעלות, כדי להשיג את הערך של זווית C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

אנו מנקים את C ויש לנו:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

מכיוון שאנו כבר מכירים את שלוש הזוויות ואת הצד האחד, אנו יכולים להשתמש במשפט הסינוס כדי לקבוע את הערך של הצדדים הנותרים. לפי המשפט יש לנו:

a / sin (A) = b / sin (B) ו- a / sin (A) = c / (sin (C)

אנו מבודדים את b מהמשוואה ונשארנו עם:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0.940) / (0.5) ≈ 9.4

כעת עלינו רק לחשב את הערך של c. אנו ממשיכים באותו אופן כמו במקרה הקודם:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0.984) / (0.5) ≈ 9.84

כך אנו משיגים את כל נתוני המשולש. כפי שאנו רואים, משולש זה נופל לקטגוריה של המשולש החריף של הסקאלה.

דוגמא 2

בהינתן משולש DEF עם הצדדים d = 4 ס"מ, e = 5 ס"מ ו- f = 6 ס"מ, אנו רוצים לדעת את ערך הזוויות של המשולש האמור.

במקרה זה נשתמש בחוק הקוסינוס, האומר לנו כי:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

ממשוואה זו אנו יכולים לפתור עבור cos (D), שנותן לנו כתוצאה מכך:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0.75

מכאן שיש לנו D≈ 41.41 °

בשימוש כעת במשפט הסנום יש לנו את המשוואה הבאה:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

פיתרון לחטא (ה), יש לנו:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0.66) / 4 ≈ 0.827

מכאן שיש לנו מעלות ≈55.79 °

לבסוף, בשימוש שסכום הזוויות הפנימיות של משולש הוא 180 °, יש לנו F≈82.8 °.

1. לנדוורדה, פ. ד. (1997). גיאומטריה (מהדפיס מחדש). התקדמות.
2. לייק, ד (2006). משולשים (מאויר). היינמן-ריינטרי.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). גיאומטריה מטרית. CODEPRE
4. רויז, Á., & Barrantes, H. (2006). גיאומטריות. טכנולוגיית CR.
5. סאליבן, מ '(1997). טריגונומטריה וגיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.