טרנספורמציה פורייה: מאפיינים, יישומים, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

התמרת היא שיטה אנליטית הלימות אוריינטציה לפונקציות integrable השייך למשפחת והתמרות אינטגרליות. זה מורכב מהגדרה מחודשת של הפונקציות f (t) מבחינת Cos (t) ו- Sen (t).

זהותם הטריגונומטרית של פונקציות אלה יחד עם מאפייני הגזירה וההפחדה שלהם משמשים להגדרת טרנספורמציית פורייה באמצעות הפונקציה המורכבת הבאה:

וזה נכון כל עוד הביטוי הגיוני, כלומר כאשר האינטגרל הלא תקין מתכנס. באופן אלגברי אומרים שהטרנספורמציה של פורייה היא הומורפיזם ליניארי.

כל פונקציה שניתן לעבוד עם טרנספורמציה פורייה חייבת להציג null מחוץ לפרמטר מוגדר.

נכסים

מקור: פיקסלים

טרנספורמציית פורייה עומדת בתכונות הבאות:

קִיוּם

כדי לאמת את קיומו של טרנספורמציית פורייה בפונקציה f (t) המוגדרת בריאלי R , יש למלא את 2 האקסיומות הבאות:

1. f (t) הוא רציף ברציפות עבור כל R
2. F (t) הוא integrable ב R

לינאריות טרנספורמציה פורית

תן M (t) ו- N (t) להיות כל שתי פונקציות עם טרנספורמציות פורייה מוגדרות, עם כל קבועים a ו- b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

הנתמך גם על ידי הליניאריות של האינטגרל של אותו שם.

טרנספורמציה פורייה של נגזרת

יש פונקציה f שהיא רציפה ובלתי ניתנת להשכלה בכל המימוש, שם:

והנגזרת של f (f ') היא רציפה ומגדירה באופן חלקי לאורך R

טרנספורמציית פורייה של נגזרת מוגדרת על ידי שילוב על ידי חלקים, על ידי הביטוי הבא:

F (z) = iz F (z)

בגזרות בעלות סדר גבוה יותר, הוא ייושם בצורה הומולוגית, כאשר לכל N 1 יש לנו:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

בידול טרנספורמציה פורייה

יש פונקציה f שהיא רציפה ובלתי ניתנת להשכלה בכל המימוש, שם:

טרנספורמציה פורייה של תרגום

לכל θ ששייך לסט S ו- T ששייך לסט S ', יש לנו:

F = e ^-ay FF = e ^-iax F

עם τ עבודה כמפעיל התרגום על וקטור.

תרגום טרנספורמציה פורייה

לכל θ ששייך לסט S ו- T ששייך לסט S ', יש לנו:

τ _a F = F τ _a F = F

עבור כל של השייכים R

טרנספורמציה פורייה של קבוצת סולם

לכל θ השייך לסט S. T השייך לסט S '

λ השייך ל R - {0} יש לנו:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

אם f היא פונקציה רציפה ובלתי ניתנת להפרדה בבירור, כאשר a> 0. ואז:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

כדי להדגים תוצאה זו אנו יכולים להמשיך עם שינוי המשתנה.

כאשר T → + ואז s = ב → + ∞

כאשר T → - ואז s = ב → - ∞

סִימֶטרִיָה

כדי ללמוד את הסימטריה של טרנספורמציית פורייה, יש לאמת את זהותה של פרסבל ונוסחת הפלנצ'רל.

יש לנו θ ו- δ ששייכים ל- S. משם ניתן להסיק כי:

מקבל

1 / (2π) ^d { F, F } זהות Parseval

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d נוסחת plancherel

טרנספורמציה פורייה של מוצר התמכרות

רדיפה אחר יעדים דומים כמו בשינוי Laplace, התפשטות של פונקציות מתייחסת למוצר בין התמורות פורייה שלהם.

יש לנו f ו- g בתור 2 פונקציות מוגבלות, מוגדרות ובלתי נשברות לחלוטין:

F (f * g) = F (f). F (g)

ו (ו). F (g) = F (f. G)

המשכיות ונפילות לאינסוף

למה מיועד השינוי פורייה?

זה משמש בעיקר לפישוט משמעותי של משוואות, תוך הפיכת ביטויים נגזרים לאלמנטים כוחיים, המציין ביטויים דיפרנציאליים בצורה של פולינומים בלתי ניתנים לחיבור.

באופטימיזציה, אפנון ומידול של תוצאות זה פועל כביטוי סטנדרטי, מהווה משאב תכוף להנדסה לאחר מספר דורות.

סדרת פורייה

אלה סדרות המוגדרות במונחים של קוסינוס וגנים; הם משמשים להקל על עבודה עם פונקציות תקופתיות כלליות. כאשר הם מיושמים, הם חלק מהטכניקות לפתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות.

סדרות פורייה כלליות אפילו יותר מסדרות טיילור, מכיוון שהן מפתחות פונקציות רציפות תקופתיות שאין בהן ייצוג של סדרות טיילור.

צורות אחרות של סדרת פורייה

כדי להבין את טרנספורמציית פורייה באופן אנליטי, חשוב לסקור את שאר הדרכים בהן ניתן למצוא את הסדרה פורייה, עד שניתן יהיה להגדיר את הסדרה פורייה בסימויה המורכב.

סדרת פורייר על פונקציה של תקופה 2 ל '

פעמים רבות יש צורך להתאים את המבנה של סדרת פורייה לפונקציות תקופתיות שהתקופה שלה היא p = 2L> 0 במרווח.

-סדרות פורייר בפונקציות משונות ואפילו אחידות

נחשב המרווח המציע יתרונות כאשר מנצלים את המאפיינים הסימטריים של הפונקציות.

אם f הוא שווה, סדרת פורייה מבוססת כסדרה של Cosines.

אם f הוא מוזר, סדרת פורייה מבוססת כסדרת סינוסים.

-ציור מורכב של סדרת פורייה

אם יש לנו פונקציה f (t), העונה על כל דרישות הפיתוח של סדרת פורייה, אפשר לציין אותה במרווח תוך שימוש בסימון המורכב שלה:

יישומים

מקור: פיקסלים

חישוב הפיתרון הבסיסי

טרנספורמציית פורייה היא כלי רב עוצמה בחקר משוואות דיפרנציאליות חלקיות מהסוג הליניארי עם מקדמים קבועים. הם פונים לפונקציות עם תחומים בלתי מוגבלים באופן שווה.

כמו טרנספורמציית Laplace, טרנספורמציית פורייה הופכת פונקציה נגזרת חלקית למשוואת דיפרנציאל רגילה הרבה יותר פשוטה לתפעול.

בעיית הקאוצ'י למשוואת החום מציגה שדה של יישום תכוף של טרנספורמציית פורייה, בה נוצר גרעין החום או פונקציית הגרעין של דירייכל.

לגבי חישוב הפיתרון הבסיסי, מוצגים המקרים הבאים שבהם מקובל למצוא את טרנספורמציית פורייה:

תורת האותות

הסיבה הכללית ליישום טרנספורמציית פורייה בענף זה נובעת ברובה מפירוקו האופייני של האות כסופרפוזיציה אינסופית של אותות הניתנים לטיפול בקלות רבה יותר.

זה יכול להיות גל קול או גל אלקטרומגנטי, טרנספורמציית פורייה מבטאת אותו בסופרפוזיציה של גלים פשוטים. ייצוג זה שכיח למדי בהנדסת חשמל.

מצד שני, הן דוגמאות ליישום של טרנספורמציית פורייה בתחום תורת האותות:

דוגמאות

דוגמא 1

הגדר את טרנספורמציית פורייה לביטוי הבא:

אנו יכולים לייצג זאת גם באופן הבא:

F (t) = Sen (t)

הדופק המלבני מוגדר:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

טרנספורמציית פורייה מיושמת על הביטוי הבא שמזכיר את משפט האפנון.

f (t) = p (t) סן (t)

איפה: F = (1/2) i

ושינוי פורייה מוגדר על ידי:

F = (1/2) i

דוגמא 2

הגדר את טרנספורמציית פורייה לביטוי:

מכיוון ש f (h) היא פונקציה אחידה, ניתן לומר כי

שילוב לפי חלקים מיושם על ידי בחירת המשתנים והפרשיהם כדלקמן

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

DV = h (ה ^-h ) ² v = (ה ^-h ) ² /2

תחליף לך

לאחר הערכה תחת המשפט הבסיסי של חשבון

החלת ידע קודם בנוגע למשוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשון, הביטוי מצוין כ-

כדי להשיג K אנו מעריכים

לבסוף, טרנספורמציית פורייה של הביטוי מוגדרת כ-

תרגילים מוצעים

• 

• 

• קבל את הטרנספורמציה של הביטוי W / (1 + w ² )

הפניות

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., ניתוח פורייה. אדיסון - ווסלי איברואמריקנה, האוניברסיטה האוטונומית במדריד, 1995.
2. אריות, JL, ניתוח מתמטי ושיטות נומריות למדע וטכנולוגיה. שפרינגר - ורלאג, 1990.
3. ליבבים, EH, ליבנים גאוסיים יש רק מקסימליסטים גאוסיים. לִהַמצִיא. מתמטיקה. 102 , 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier Series and Integrals. העיתונות האקדמית, ניו יורק, 1972.
5. שוורץ, ל., תיאוריה של התפלגות. אד. הרמן, פריז, 1966.