- הוכחת המשפט היסודי בחשבון
- הייחודיות של פקטורזציה ראשונית
- יישומים
- מספרים ראשוניים בטבע
- מספרים ראשוניים וקניות מקוונות
- תרגילים שנפתרו
- - תרגיל 1
- פִּתָרוֹן
- - תרגיל 2
- פִּתָרוֹן
- הפניות
המשפט היסודי של האריתמטיקה מדינות שכול גדול מספר טבעי מ 1 יכול להיות מפורקת כמוצר של מספרים ראשוניים - כמה ניתן לחזור - וצורה זו הוא ייחודי עבור מספר כי, למרות סדר הגורמים עשוי להיות שונה.
נזכיר שמספר ראשוני p הוא מספר שרק מודה בעצמו ו -1 כמחלקים חיוביים. המספרים הבאים הם פריימים: 2, 3, 5, 7, 11, 13 וכן הלאה, מכיוון שיש אינסוף. המספר 1 אינו נחשב ראשוני, שכן יש לו רק מחלק אחד.
איור 1. איקליד (משמאל) הוכיח את משפט היסוד בחשבון בספרו אלמנטים (350 לפני הספירה), וההוכחה השלמה הראשונה נובעת מקארל פ גאוס (1777-1855) (מימין). מקור: Wikimedia Commons.
המספרים אשר מצידם אינם עומדים באמור לעיל נקראים מספרים מורכבים, כגון 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … בוא ניקח לדוגמא את המספר 10 ומיד אנו רואים שניתן לפרק אותו כתוצר של 2 ו -5:
10 = 2 × 5
שני וגם 5 הם, למעשה, מספרים ראשוניים. המשפט קובע כי הדבר אפשרי לכל מספר n:
כאשר p 1 , p 2 , p 3 … p r הם מספרים ראשוניים ו- k 1 , k 2 , k 3 , … k r הם מספרים טבעיים. אז המספרים הראשוניים משמשים כאבני הבניין שמהם בנו, באמצעות הכפל, המספרים הטבעיים.
הוכחת המשפט היסודי בחשבון
נתחיל בהראות שאפשר לפרק כל מספר לגורמים מרכזיים. לאפשר להיות מספר טבעי n> 1, ראשוני או מורכב.
לדוגמה אם n = 2, זה יכול להתבטא כ: 2 = 1 × 2, שהוא ראשוני. באותו אופן המשך עם המספרים הבאים:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
אנו ממשיכים כך, מפרקים את כל המספרים הטבעיים עד שנגיע למספר n -1. בואו נראה אם נוכל לעשות זאת עם המספר הבא: n.
אם n הוא ראשוני, נוכל לפרק אותו כ- n = 1 × n, אך נניח ש- n הוא מורכב ויש לו מחלק d, באופן הגיוני פחות מ- n:
1 <d <n.
אם n / d = p 1 , כאשר p 1 הוא מספר ראשוני, n נכתב כ:
n = p 1 .d
אם d הוא ראשוני אין יותר מה לעשות, אבל אם זה לא, יש מספר n 2 שהוא מחלק של d ופחות מזה: n 2 <d, כך ש- d יכול להיות כתוצר של n 2 על ידי אחר מספר ראשוני p 2 :
d = p 2 n 2
שכאשר החלפה במספר המקורי n הייתה נותנת:
n = p 1 .p 2 .n 2
כעת נניח שגם n 2 אינו מספר ראשוני ואנחנו כותבים אותו כתוצר של מספר ראשוני p 3 , על ידי המחלק שלו n 3 , כך ש- n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
אנו חוזרים על הליך זה מספר סופי של פעמים עד שנקבל:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
המשמעות היא שאפשר לפרק את כל המספרים השלמים מ -2 למספר n, כתוצר של מספרים ראשוניים.
הייחודיות של פקטורזציה ראשונית
כעת נוודא כי פרט לסדר הגורמים, פירוק זה הוא ייחודי. נניח שאפשר לכתוב את n בשני אופנים:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q ים (עם r ≤ s)
כמובן ש 1 , ש 2 , ש 3 … הם גם מספרים ראשוניים. מכיוון ש- p 1 מתחלק (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ) אז p 1 שווה לכל אחד מה- “q”, זה לא משנה איזה מהם, אז אנחנו יכולים לומר ש- p 1 = q 1 . אנו מחלקים את n על ידי p 1 ומקבלים:
p 2 .p 3 … p r = . ש 2 .q 3 … ..q s
אנו חוזרים על הנוהל עד שנחלק את הכל לפי p r ואז נקבל:
1 = q r + 1 … q s
אך לא ניתן להגיע ל q r + 1 … q s = 1 כאשר r <s, רק אם r = s. אם כי בהודאה כי r = s, מודה גם כי ה" p "וה"ש" זהים. לכן הפירוק הוא ייחודי.
יישומים
כפי שאמרנו בעבר, המספרים הראשוניים מייצגים, אם תרצו, את האטומים של המספרים, את המרכיבים הבסיסיים שלהם. אז למשפט היסודי בחשבון יש יישומים רבים, הברור ביותר: אנו יכולים לעבוד עם מספרים גדולים ביתר קלות אם אנו מבטאים אותם כתוצר של מספרים קטנים יותר.
באותו אופן, אנו יכולים למצוא את הכפול הנפוץ הגדול ביותר (LCM) ואת המחלק המשותף הגדול ביותר (GCF), הליך שעוזר לנו ליצור תוספות של שברים ביתר קלות, למצוא שורשים של מספרים גדולים, או לפעול עם רדיקלים, לתרץ ולפתור בעיות יישום בעלות אופי מגוון מאוד.
יתר על כן, מספרים ראשוניים הם חידתיים ביותר. דפוס עדיין לא מוכר בהם ולא ניתן לדעת איזה מהם יהיה הבא. הגדול ביותר עד כה נמצא על ידי מחשבים וכולל 24,862,048 ספרות, אם כי המספרים הראשוניים החדשים מופיעים בתדירות נמוכה יותר בכל פעם.
מספרים ראשוניים בטבע
הציקדות, הציקדות או הציקדות שחיות בצפון-מזרח ארצות הברית מופיעות במחזורים בני 13 או 17 שנים. שניהם מספרים ראשוניים.
באופן זה הציקדות נמנעות מצירוף מקרים עם טורפים או מתחרים שיש להם תקופות לידה אחרות, וגם הזנים השונים של הציקדות מתחרים זה בזה, מכיוון שהם אינם חופפים באותה שנה.
איור 2. ציקדת מג'יקדה של מזרח ארצות הברית מופיעה כל 13 עד 17 שנים. מקור: Pxfuel.
מספרים ראשוניים וקניות מקוונות
מספרים ראשוניים משמשים בקריפטוגרפיה כדי לשמור על פרטי כרטיס האשראי בסוד בעת ביצוע רכישות דרך האינטרנט. באופן זה, הנתונים שהקונה מגיע לחנות בדיוק מבלי שאבד או ייפול בידי אנשים חסרי מצפון.
אֵיך? הנתונים בכרטיסים מקודדים במספר N שיכול לבוא לידי ביטוי כתוצר של מספרים ראשוניים. מספרים ראשוניים אלה הם המפתח שהנתונים חושפים, אך הם אינם מוכרים לציבור, ניתן לפענח אותם רק באינטרנט שאליו הם מופנים.
פירוק מספר לגורמים זו משימה קלה אם המספרים הם קטנים (ראו התרגילים שנפתרו), אך במקרה זה מספרים ראשוניים של 100 ספרות משמשים כמפתח, שכשכפלים אותם נותנים מספרים גדולים בהרבה, שפירוקם המפורט כרוך במשימה אדירה. .
תרגילים שנפתרו
- תרגיל 1
פירוק 1029 לגורמים עיקריים.
פִּתָרוֹן
1029 ניתן לחלוקה ב -3. זה ידוע כי כשמוסיפים את הספרות שלו הסכום הוא מכפיל של 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. מכיוון שסדר הגורמים לא משנה את המוצר, נוכל להתחיל שם:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
מצד שני 343 = 7 3 , ואז:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
ומכיוון שגם 3 וגם 7 הם מספרים ראשוניים, זהו פירוק 1029.
- תרגיל 2
הגדר את הטרינום x 2 + 42x + 432.
פִּתָרוֹן
הטרינום נכתב מחדש בצורה (x + a). (x + b) ואנחנו צריכים למצוא את הערכים של a ו- b, כך:
a + b = 42; ab = 432
המספר 432 מפורק לגורמים ראשוניים ומשם השילוב המתאים נבחר על ידי ניסוי וטעייה כך שהגורמים הנוספים נותנים 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 = …
מכאן יש כמה אפשרויות לכתוב 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
ואת הכל ניתן למצוא על ידי שילוב של מוצרים בין הגורמים העיקריים, אך כדי לפתור את התרגיל המוצע, השילוב המתאים היחיד הוא: 432 = 24 × 18 מאז 24 + 18 = 42, ואז:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
הפניות
- Baldor, A. 1986. חשבון אקדמי מעשי. Compañía Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. קוד הטבע הנסתר. התאושש מ: bbc.com.
- דה לאון, מנואל. מספרים ראשוניים: שומרי האינטרנט. התאושש מ: blogs.20minutos.es.
- UNAM. תיאוריית המספרים I: משפט יסודי לחשבון. התאושש מ: teoriadenumeros.wikidot.com.
- ויקיפדיה. משפט היסוד של חשבון. התאושש מ: es.wikipedia.org.