הבינום של ניוטון היא משוואה שאומרת לנו איך לפתח ביטוי בצורת (א b +) n עבור חלק n מספר טבעי. בינומיום אינו אלא סכום של שני אלמנטים, כמו (a + b). זה גם מאפשר לנו לדעת לטווח הניתן על ידי k b n-k מהו המקדם שמלווה אותו.
משפט זה מיוחס לרוב לממציא, הפיזיקאי והמתמטיקאי האנגלי סר אייזק ניוטון; עם זאת, רישומים שונים נמצאו המצביעים על קיומה של נודע כבר במזרח התיכון, בערך בשנת 1000.
מספרים משולבים
המשפט הבינוומי אומר לנו באופן מתמטי את הדברים הבאים:
בביטוי זה a ו- b הם מספרים אמיתיים ו- n הוא מספר טבעי.
לפני שנתן את ההדגמה, בואו נראה כמה מושגים בסיסיים הנחוצים.
המספר המשולב או הצירופים של n ב- k מתבטאים באופן הבא:
טופס זה מבטא את הערך של מספר קבוצות המשנה עם אלמנטים k שניתן לבחור מתוך קבוצה של n אלמנטים. הביטוי האלגברי שלה ניתן על ידי:
בואו נראה דוגמא: נניח שיש לנו קבוצה של שבעה כדורים, שניים מהם אדומים והשאר כחולים.
אנו רוצים לדעת כמה דרכים אנו יכולים לסדר אותם ברצף. דרך אחת יכולה להיות להציב את שני האדומים במצב הראשון והשני, ואת שאר הכדורים בעמדות הנותרות.
בדומה למקרה הקודם, יכולנו לתת לכדורים האדומים את המיקום הראשון והאחרון בהתאמה, ולהעסיק את האחרים בכדורים כחולים.
כעת דרך יעילה לספור כמה דרכים שנוכל לסדר את הכדורים ברציפות היא באמצעות מספרים קומבינטוריים. אנו יכולים לראות את כל המיקומים כמרכיב בערכה הבאה:
ואז נותר רק לבחור תת-קבוצה של שני אלמנטים, בהם כל אחד מהאלמנטים הללו מייצג את המיקום בו הכדורים האדומים יתפסו. אנו יכולים לעשות את הבחירה הזו בהתאם למערכת היחסים שניתנה על ידי:
בדרך זו יש לנו שיש 21 דרכים להזמין כדורים אלה.
הרעיון הכללי של דוגמא זו יהיה שימושי מאוד בהוכחת משפט בינומי. בואו נסתכל על מקרה מסוים: אם n = 4, יש לנו (a + b) 4 , שהוא לא יותר מ:
כשאנחנו מפתחים מוצר זה, נותר לנו עם סכום המונחים המתקבלים על ידי הכפלת אלמנט אחד מכל אחד מארבעת הגורמים (a + b). אם כן, יהיו לנו מונחים שיהיו מהצורה:
אם רצינו להשיג את המונח בצורה 4 , אנחנו רק צריכים להכפיל כך:
שים לב שיש רק דרך אחת להשיג אלמנט זה; אבל מה קורה אם אנו מחפשים כעת את המונח של הטופס 2 ב 2 ? מכיוון ש- "a" ו- "b" הם מספרים אמיתיים, ולכן החוק התקנות תקף, יש לנו דרך אחת להשיג מונח זה היא להכפיל את החברים כמצוין על ידי החצים.
ביצוע כל הפעולות האלו בדרך כלל מייגע במקצת, אך אם אנו רואים את המונח "a" כשילוב בו אנו רוצים לדעת כמה דרכים אנו יכולים לבחור שתי "a" מתוך קבוצה של ארבעה גורמים, נוכל להשתמש ברעיון מהדוגמה הקודמת. אז יש לנו את הדברים הבאים:
כך, אנו יודעים כי בהרחבה הסופית של הביטוי (a + b) 4 יהיה לנו בדיוק 6a 2 b 2 . באמצעות אותו רעיון למרכיבים האחרים, עליכם:
ואז נוסיף את הביטויים שהושגו בעבר ויש לנו את זה:
זוהי הוכחה רשמית למקרה הכללי בו "n" הוא כל מספר טבעי.
הפגנה
שים לב שהתנאים שנשארו על ידי הרחבת (a + b) n הם מהצורה k b n-k , כאשר k = 0,1, …, n. בעזרת הרעיון של הדוגמה הקודמת, יש לנו את הדרך לבחור «k» משתנים «a» של הגורמים «n» הוא:
על ידי בחירה בדרך זו אנו בוחרים אוטומטית במשתני ה- nk "b". מכאן יוצא כי:
דוגמאות
בהתחשב ב (a + b) 5 , מה תהיה התפתחותה?
לפי המשפט הבינומי יש לנו:
המשפט הבינומי מועיל מאוד אם יש לנו ביטוי בו אנו רוצים לדעת מה מקדם המונח הספציפי מבלי שנצטרך לבצע את ההרחבה המלאה. כדוגמה אנו יכולים לקחת את הלא ידוע הבא: מהו המקדם של x 7 ו- 9 בהרחבה של (x + y) 16 ?
לפי המשפט הבינומי, יש לנו שהמקדם הוא:
דוגמא נוספת יכולה להיות: מה המקדם של x 5 ו- 8 בהרחבה של (3x-7y) 13 ?
ראשית אנו משכתב את הביטוי בצורה נוחה; זה:
ואז, בעזרת המשפט הבינומי, יש לנו שהמקדם המבוקש הוא כאשר יש לנו k = 5
דוגמא נוספת לשימושים של משפט זה היא בהוכחת כמה זהויות נפוצות, כמו אלה שנזכיר בהמשך.
זהות 1
אם «n» הוא מספר טבעי, יש לנו:
לצורך ההוכחה אנו משתמשים במשפט הבינומי, כאשר גם "a" וגם "b" לוקחים את הערך של 1. ואז יש לנו:
בדרך זו הוכחנו את הזהות הראשונה.
זהות 2
אם "n" הוא מספר טבעי, אז
לפי המשפט הבינומי יש לנו:
הפגנה נוספת
אנו יכולים להוכיח אחרת למשפט הבינומי באמצעות השיטה האינדוקטיבית וזהותו של פסקל, האומרת לנו שאם «n» ו- «k» הם מספרים חיוביים המספקים את n ≥ k, אז:
הוכחת אינדוקציה
בואו נראה קודם שהבסיס האינדוקטיבי מחזיק. אם n = 1, יש לנו:
אכן אנו רואים שהיא מתקיימת. עכשיו, בוא ל n = j כך:
אנו רוצים לראות שעבור n = j + 1 זה נכון ש:
אז עלינו:
על פי השערה אנו יודעים כי:
ואז, באמצעות המאפיין החלוקתי:
לאחר מכן, בפיתוח כל אחת מהסיכומים, יש לנו:
כעת, אם נקבץ בצורה נוחה, יש לנו את זה:
בעזרת זהות פסקאל יש לנו:
לבסוף, שימו לב כי:
לכן אנו רואים שהמשפט הבינומי מחזיק עבור כל "n" השייכים למספרים הטבעיים, ועם זה מסתיימת ההוכחה.
סקרנות
המספר הקומבינטורי (nk) נקרא גם מקדם הבינומי מכיוון שהוא דווקא המקדם שמופיע בהתפתחות הבינומי (a + b) n .
אייזק ניוטון העניק הכללה של משפט זה לגבי המקרה בו המציג הוא מספר אמיתי; משפט זה ידוע כמשפט הבינומיאל של ניוטון.
תוצאה זו נודעה בתקופות קדומות בגלל המקרה המסוים בו n = 2. מקרה זה מוזכר באלמנטים של אוקליד.
הפניות
- ג'ונסונבו ריצ'רד. מתמטיקה נפרדת. PHH
- קנת ה. רוזן. מתמטיקה נפרדת ויישומיה. SAMCGRAW-היל / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- סיימור ליפשוץ דוקטור ומארק ליפסון. מתמטיקה דיסקרטית. מקגרו היל.
- ראלף פ. גרימלדי. מתמטיקה דיסקרטית וקומבינטורית. אדיסון ווסלי איברואמריקנה
- כוכב ירוק לואיס. . מתמטיקה דיסקרטית וקומבינטורית