משפט VARIGNON: דוגמאות ותרגילים שנפתרו - מתמטיקה - 2025

המשפט Varignon קובע כי אם כל מרובע מחובר ברציפות אמצע של הצדדים, מקבילית מופקת. משפט זה גובש על ידי פייר Varignon ופורסם בשנת 1731 בספר אלמנטים של מתמטיקה.

פרסום הספר התרחש שנים לאחר מותו. מכיוון שהיה זה Varignon שהציג את המשפט הזה, המקבילית נקראת על שמו. המשפט מבוסס על הגיאומטריה האוקלידית ומציג מערכות יחסים גיאומטריות של ריבועיות.

מה המשפט של Varignon?

Varignon הצהיר כי דמות המוגדרת על ידי נקודות האמצע של ריבוע תביא תמיד במקביל, ושטח המקביל יהיה תמיד מחצית שטח הריבוע אם הוא שטוח וקמור. לדוגמה:

באיור ניתן לראות ריבוע עם שטח X, בו נקודות האמצע של הצדדים מיוצגות על ידי E, F, G ו- H, וכשמצטרפים אליו, יוצרים מקבילית. שטח המרובע יהיה סכום שטחי המשולשים הנוצרים ומחציתו תואם את שטח המקביל.

מכיוון ששטח המקביל הוא מחצית שטח הריבוע, ניתן לקבוע את היקף אותו מקביל.

לפיכך, ההיקף שווה לסכום אורכי האלכסונים של המרובע; הסיבה לכך היא שהמדיונים של המרובע יהיו האלכסונים של המקביל.

לעומת זאת, אם אורכי האלכסונים של המרובע זהים לחלוטין, המקבילה תהיה מעוין. לדוגמה:

מהדמות ניתן לראות כי על ידי הצטרפות לנקודות האמצע של דפנות המרובע, מתקבל מעוין. לעומת זאת, אם האלכסונים של הריבוע הם בניצב, המקבילית תהיה מלבן.

כמו כן, המקביל יהיה ריבוע כאשר לרבוע יש את האלכסונים באורך זהה והם גם בניצב.

המשפט לא מתגשם רק בארבע ריבועי המטוס, הוא מיושם גם בגיאומטריה מרחבית או בממדים גדולים; כלומר באותם ארבע ריבועים שאינם קמורים. דוגמה לכך יכולה להיות אוקטאהדרון, כאשר נקודות האמצע הן הצנטריואידים של כל פנים ויוצרים מקבילה מקוונת.

בדרך זו, על ידי הצטרפות לנקודות האמצע של דמויות שונות, ניתן להשיג מקבילים. דרך קלה לבדוק אם זה באמת נכון היא שהצדדים הנגדים חייבים להיות מקבילים כשהם מורחבים.

דוגמאות

דוגמא ראשונה

הרחבה של הצדדים הנגדים כדי להראות שמדובר במקביל:

דוגמא שנייה

על ידי הצטרפות לנקודות האמצע של מעוין, מתקבל מלבן:

המשפט משמש באיחוד של נקודות הממוקמות באמצע צידי ריבועיות, והוא יכול לשמש גם לסוגים אחרים של נקודות, כגון חתך, חתך פנטה, או אפילו מספר אינסופי של חלקים ( nth), על מנת לחלק את הצדדים של כל ריבועי לקטעים שהם פרופורציונליים.

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

באיור יש לנו ABCD מרובע של שטח Z, כאשר נקודות האמצע של הצדדים של זה הם PQSR. בדוק כי נוצר מקביל של Varignon.

פִּתָרוֹן

ניתן לראות כי על ידי הצטרפות לנקודות ה- PQSR נוצר מקביל של Varignon, בדיוק משום שנקודות האמצע של ריבועי ניתנות בהצהרה.

כדי להדגים זאת, תחילה מחברים את נקודות האמצע PQSR, כך שניתן לראות שנוצר מרובע נוסף. כדי להראות שמדובר במקביל, צריך רק לצייר קו ישר מנקודה C לנקודה A, כך שניתן יהיה לראות כי CA מקבילה ל- PQ ו- RS.

באותו אופן, בעת הרחבת הצדדים PQRS ניתן לראות כי PQ ו- RS הם מקבילים, כפי שמוצג בתמונה הבאה:

תרגיל 2

יש לנו מלבן כזה שאורכו של כל הצדדים שלו שווים. על ידי הצטרפות לנקודות האמצע של הצדדים הללו נוצר מעוין ABCD, המחולק על ידי שני אלכסונים AC = 7 ס"מ ו- BD = 10 ס"מ, החובקים בקנה אחד עם המדידות של צידי המלבן. קבעו את אזורי המעבר והמלבן.

פִּתָרוֹן

כזכור, כי שטח המקבילה המתקבלת הוא מחצית המרובע, ניתן לקבוע את שטחם בידיעה שמדד האלכסונים חופף לדפנות המלבן. אז עליכם:

AB = D

CD = d

_מלבן = (AB _* CD) = (10 ס"מ _* 7 ס"מ) = 70 ס"מ ²

_מעוין = A _מלבן / 2

_מעוין = 70 ס"מ ² /2 = 35 ס"מ ²

תרגיל 3

באיור יש ריבוע שיש לו איחוד הנקודות EFGH, אורכי הקטעים ניתנים. קבע אם האיחוד של EFGH הוא מקביל.

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

HR = 3.94 HA = 2.77

פִּתָרוֹן

ככל שניתנים אורכי הקטעים, ניתן לאמת זאת אם יש מידתיות בין הקטעים; כלומר, תוכלו לדעת אם הם מקבילים, ומתייחסים לקטעי הריבוע כדלקמן:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

ואז נבדקת המידתיות שכן:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

באופן דומה, כאשר מציירים קו מנקודה B לנקודה D, ניתן לראות כי EH מקביל ל- BD, ממש כמו ש- BD מקביל ל- FG. מצד שני, EF מקבילה ל- GH.

כך ניתן לקבוע כי EFGH הוא מקביל, מכיוון שהצדדים הנגדים מקבילים.

הפניות

1. אנדרס, ט (2010). אולימפיאדת מתמטיקה. שפרינגר. ניו יורק.
2. Barbosa, JL (2006). גיאומטריה אוקלידית מטוס. SBM. ריו דה ז'נרו.
3. Howar, E. (1969). חקר הגיאומטריה. מקסיקו: היספנית - אמריקאית.
4. רמו, רופא כללי (1998). פתרונות לא ידועים לבעיות פרמה-טוריסלי. ISBN - עבודה עצמאית.
5. Vera, F. (1943). אלמנטים של גאומטריה. בוגוטה
6. Villiers, M. (1996). כמה הרפתקאות בגיאומטריה האוקלידית. דרום אפריקה.