משפט שטיינר: הסבר, יישומים, תרגילים - גוּפָנִי - 2025

שטיינר "s משפט , הידוע גם בשם המשפט שטיינר, כדי להעריך את מומנט אינרציה של גוף מורחב, על ציר כי הוא מקביל חולף עוד דרך מרכז המסה של האובייקט.

היא התגלתה על ידי שוויצרי המתמטיקאי יעקב שטיינר (1796 -1863) וקובע את הדברים הבאים: תן לי _{CM להיות} הרגע האינרציה של האובייקט ביחס לציר העובר דרך במרכזו של CM המונית ואני _z מומנט ההתמד ביחס לציר אחר במקביל לזה.

איור 1. לדלת מלבנית המסתובבת על ציריה יש רגע של אינרציה שניתן לחשב באמצעות יישום משפט שטיינר. מקור: Pixabay.

בידיעת המרחק D המפריד בין שני הצירים והמסה M של הגוף המדובר, רגע האינרציה ביחס לציר הלא ידוע הוא:

רגע האינרציה מציין כמה קל לאובייקט להסתובב סביב ציר מסוים. זה לא תלוי רק במסת הגוף, אלא באופן בו הוא מופץ. מסיבה זו ידוע גם בשם אינרציה סיבובית, היות והיחידות שלה במערכת הבינלאומית Kg. מ ' ² .

המשפט מראה כי רגע האינרציה I _z תמיד גדול מרגע האינרציה I _CM בכמות שניתנה על ידי MD ² .

יישומים

מכיוון שאובייקט מסוגל להסתובב סביב צירים רבים, ובטבלאות בדרך כלל ניתן רק רגע האינרציה ביחס לציר העובר דרך צנטירואיד, משפט שטיינר מקל על החישוב כאשר יש צורך לסובב גופים על צירים שלא תואמים את זה.

לדוגמה, בדרך כלל דלת אינה מסתובבת סביב ציר דרך מרכז המסה שלה, אלא על ציר לרוחב, שבו הצירים דבקים.

על ידי הכרת רגע האינרציה ניתן לחשב את האנרגיה הקינטית הקשורה לסיבוב סביב הציר האמור. אם K היא האנרגיה הקינטית, אני רגע האינרציה סביב הציר המדובר ω המהירות הזוויתית, יוצא ש:

משוואה זו דומה מאוד לנוסחה המוכרת מאוד לאנרגיה קינטית עבור אובייקט של מסה M הנע במהירות v: K = ½ Mv ² . וזה שרגע האינרציה או האינרציה הסיבובית אני ממלא את אותו תפקיד בסיבוב כמו המסה M בתרגום.

הוכחת משפט שטיינר

רגע האינרציה של אובייקט מורחב מוגדר כ:

I = ∫ r ² dm

כאשר dm הוא חלק אינסופי של המסה ו- r הוא המרחק בין dm לציר הסיבוב z. באיור 2 ציר זה חוצה את מרכז המסה CM, עם זאת הוא יכול להיות כל אחד.

איור 2. חפץ המורחב בסיבוב סביב שני צירים מקבילים. מקור: פ. זפטה.

סביב ציר ז 'אחר, רגע האינרציה הוא:

I _z = ∫ (r ') ² dm

כעת, על פי המשולש שנוצר על ידי הווקטורים D , r ו- r ' (ראה איור 2 מימין), יש סכום וקטורי:

r + r ' = D → r' = D - r

שלושת הווקטורים שוכבים על מטוס האובייקט שיכול להיות ה- xy. מקור מערכת הקואורדינטות (0,0) נבחר ב- CM בכדי להקל על החישובים הבאים.

באופן זה המודול בריבוע של הווקטור r ' הוא:

כעת החלפת פיתוח זו נשלפת באינטגרל של רגע האינרציה I _z וגם משתמשים בהגדרת הצפיפות dm = ρ.dV:

המונח M. D ² המופיע במשפט שטיינר מגיע מהאינטגרל הראשון, השני הוא רגע האינרציה ביחס לציר שעובר ב- CM.

האינטגרלים השלישי והרביעי מצידם שווים 0, מכיוון שהם מעצם הגדרתם מהווים את עמדת ה- CM שנבחרה כמקור מערכת הקואורדינטות (0,0).

תרגילים שנפתרו

תרגיל מסויים 1

לדלת המלבנית באיור 1 יש מסה של 23 ק"ג, רוחב 1.30 וגובהה 2.10 מ '. קבע את רגע האינרציה של הדלת ביחס לציר העובר דרך הצירים, בהנחה שהדלת דקה ואחידה.

איור 3. תרשים 3. דוגמה מעובדת 1. מקור: שונה מ- Pixabay.

פִּתָרוֹן

משולחן רגעי האינרציה, עבור לוח מלבני במסה M וממדים a ו- b, רגע האינרציה ביחס לציר העובר במרכז המסה שלו הוא: I _CM = (1/12) M (a ² + ב ² ).

יש להניח שער הומוגני (קירוב, מכיוון שהשער באיור כנראה לא כך). במקרה כזה מרכז המסה עובר במרכזו הגיאומטרי. באיור 3 נמשך ציר העובר במרכז המסה והוא מקביל גם לציר העובר דרך הצירים.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1.30 ² +2.10 ² ) m ² = 11.7 Kg.m ²

החלת משפט שטיינר לציר הסיבוב הירוק:

I = I _CM + MD ² = 11.7 Kg.m ² + 23 Kg x 0.652 m ² = 21.4 Kg.

תרגיל מסויים 2

מצא את רגע האינרציה של מוט דק הומוגני כשהוא מסתובב סביב ציר שעובר באחד מקצותיו, ראה איור. האם זה גדול או פחות מרגע האינרציה כשהוא מסתובב סביב מרכזו? למה?

איור 4. תרשים לדוגמה שנפתרה. 2. מקור: F. Zapata.

פִּתָרוֹן

על פי טבלת רגעי האינרציה, רגע האינרציה I _CM של מוט דק בעל מסה M ואורך L הוא: I _CM = (1/12) ML ²

ומשפט שטיינר קובע שכאשר הוא מסתובב סביב ציר שעובר בקצה אחד D = L / 2 הוא נשאר:

הוא גדול יותר, אם כי לא פשוט פעמיים, אלא פי 4 יותר, מכיוון שהמחצית השנייה של המוט (לא מוצלת בתמונה) מסתובבת ומתארת ​​רדיוס גדול יותר.

השפעת המרחק לציר הסיבוב אינה ליניארית, אלא ריבועית. מסה שנמצאת במרחק כפול מהאחרת, תהיה רגע של אינרציה ביחס ל- (2D) ² = 4D ² .

הפניות

1. Bauer, W. 2011. פיזיקה להנדסה ומדעים. כרך 1. מק גריי היל. 313-340.
2. אוניברסיטת ג'ורג'יה. תנועה סיבובית. התאושש מ: phys.nthu.edu.tw.
3. משפט ציר מקביל. התאושש מ: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. יסודות הפיזיקה. פירסון. 190-200.
5. ויקיפדיה. משפט ציר מקביל. התאושש מ: en.wikipedia.org